Sự khác biệt giữa các hình thức mạnh, yếu và khác biệt?

Gần đây chúng tôi đã đề cập đến các luật cơ bản trong khóa học Cơ học liên tục tính toán của chúng tôi nhiệm kỳ trước. Có nhiều hình thức của các luật này và tôi bối rối không biết nên sử dụng luật nào và khi nào.

Ví dụ, trong tính liên tục hàng loạt, chúng ta có thể viết phiên bản tách rời (tôi sẽ không viết nó ở đây) như bình thường. Sau đó chúng ta có thể sử dụng Jacobian để viết nó như thế này $$ \ int_ {V_0} \ rho_0 - J \ rho \ \ dV $$ có thể nói là dạng yếu. Sau đó bằng cách bản địa hóa, chúng ta có thể có $$ J (\ pmb {x}, t) = \ frac {\ rho_0 (t)} {\ rho (\ pmb {y}, t)} $$ trong đó $ \ pmb {y} (\ pmb {x}, t) $ là vị trí cấu hình bị biến dạng và $ \ pmb {x} $ là vị trí cấu hình không biến dạng (nếu có ý nghĩa) hiện là dạng mạnh. Vậy điều này đã đủ tốt chưa? Tại sao chúng ta không sử dụng mã này trong mã của mình, vì đây cũng là điểm khôn ngoan.

Chúng ta cũng có thể rút ra dạng khác biệt của khóa học đó là $$ \ frac {\ part \ rho} {\ part t} + \ nabla \ cdot (\ rho \ pmb {u}) $$ trong đó $ u $ là vận tốc.

Nếu tôi chỉ muốn mật độ theo thời gian, tốt hơn là sử dụng hình thức mạnh mẽ? Tôi sẽ chỉ sử dụng hình thức vi phân nếu tôi muốn bao gồm vận tốc hoặc cái gì đó? Ngoài ra, giảng viên của chúng tôi đã đề cập rằng dạng mạnh Jacobian ở dạng Lagrangian nhưng vi phân ở dạng Euler. Tôi biết ý nghĩa của cả hai nhưng tôi không chắc nó có nghĩa gì trong bối cảnh này.

Nếu khóa học của bạn bắt đầu với một phép tính đa chiều khó hiểu mà không cần thảo luận nhiều về cách toán học liên quan đến vật lý (và chắc chắn có sách giáo khoa về CFD tính toán bắt đầu theo cách đó!) Thì câu trả lời cho những câu hỏi này có thể trở nên rõ ràng hơn khi bạn bắt đầu phát triển các phương pháp số thực tế và xem cách chúng thực hiện giải quyết các vấn đề "thực".

Có hai cách cơ bản để đưa ra sơ đồ giải pháp số. Một cách là xem xét các giá trị của số lượng được xác định tại điểm cụ thể trong không gian (ví dụ: các điểm lưới của lưới sai phân hữu hạn). Phương pháp tính toán bỏ qua những gì xảy ra với các đại lượng "ở giữa" các điểm lưới và bạn hy vọng rằng khi bạn tăng số điểm, các giá trị được tính sẽ hội tụ vào giải pháp của các phương trình vi phân cơ bản. (Đôi khi, bạn có thể chứng minh giải pháp sẽ hội tụ theo nghĩa này, nhưng đối với hầu hết các vấn đề "thế giới thực" liên quan đến phương trình vi phân phi tuyến bạn không thể chứng minh được).

Một cách khác là xem xét giá trị của các thuộc tính trên vùng của không gian - ví dụ như khối lượng, năng lượng và động lượng của một "ô đơn vị" được xác định bởi các điểm lưới bao quanh nó và dòng chảy vào và ra khỏi ô qua các ranh giới của nó. Điều này có lợi thế là phương pháp giải pháp có thể đảm bảo rằng nó thỏa mãn một số định luật vật lý cơ bản như bảo tồn khối lượng và năng lượng. Thông thường, một phương pháp giải pháp chỉ dựa trên các giá trị tại các điểm cụ thể sẽ không tự động đáp ứng các luật bảo tồn như vậy, mặc dù (nếu đó là một phương pháp giải pháp hữu ích!) Việc tăng số lượng điểm giải pháp sẽ giảm các lỗi.

Nhưng việc đáp ứng các luật bảo tồn toàn cầu không nhất thiết có nghĩa là các giá trị điểm lưới là "chính xác" - ví dụ, có thể có dao động phi vật lý tại các điểm lưới liền kề không ảnh hưởng đến năng lượng, động lượng "trung bình", v.v.

Ngoài ra giảng viên của chúng tôi đã đề cập rằng hình thức mạnh mẽ của Jacobian là trong   Hình thức Lagrangian nhưng khác biệt là ở dạng Euler. Tôi biết   ý nghĩa của cả hai nhưng tôi không chắc nó có nghĩa gì trong bối cảnh này.

Không biết chính xác những gì đã được nói (hoặc trong các ghi chú bài giảng) Tôi cũng không chắc điều đó có nghĩa gì. Bạn chắc chắn có thể tạo bốn phiên bản của công thức toán học, tức là các dạng yếu và mạnh của cả hai phương trình Lagrangian hoặc Euleran - mặc dù một số phiên bản "rõ ràng" hơn bằng trực giác so với các dạng khác. Trong thực tế, một số phương pháp số sử dụng kết hợp nhiều hơn một trong bốn tùy chọn.