Làm thế nào để mô phỏng tần số tự nhiên của hộp số hành tinh?

Tôi có một mô hình động của hộp số hành tinh có dạng:

$\mathbf{M{\ddot q}+{\Omega_c}G{\dot q}+{[K_b+K_m-\Omega_c^2K_\Omega]q}=T(t)+F(t)}$

: ma trận đối xứng độ cứng mang : ma trận độ cứng hỗn độn : ma trận độ cứng hướng tâm chéo : mô men ngoài áp dụng : kích thích lỗi truyền tĩnh : vectơ với tọa độ xoay và tọa độ cho mặt trời, vành và sóng mang $K_b$ $K_m$ $K_\Omega$ $T$ $F$ $q$

Đối với các dao động tự do, tôi có phương trình:

$\mathbf{M{\ddot q}+{[K_b+K_m]q}=0}$

$\mathbf{-\omega_i^2M{\phi_i}+{[K_b+K_m]\phi_i}=0}$

Trong là các chế độ rung. $\phi_i$

$\mathbf{\omega_i^2M{\phi_i}={[K_b+K_m]\phi_i}}$

Tôi biết rằng dài cho hiệu lực hồi chuyển được bỏ qua lúc đầu và không có đầu vào kích thích bởi vì nó rung miễn phí. Nhưng sau đó tôi không hiểu nơi đến từ đâu. $\Omega_c$ $\phi_i$

Tôi có kiến thức cơ bản về lý thuyết rung động cho một hệ thống bằng cấp duy nhất, nhưng không phải cho nhiều DOF là trường hợp này.

Tôi cần xác định tần số tự nhiên và chế độ rung của hệ thống từ phương trình này nhưng tôi không biết bắt đầu từ đâu và như thế nào. Tôi có các giá trị số ban đầu cho Độ cứng, khối lượng, góc đảm bảo của tàu sân bay, mặt trời và bánh răng hành tinh.

Về mặt số lượng, làm thế nào để tôi biết tôi có bao nhiêu chế độ rung và cách xác định chúng với tần số tự nhiên của chúng? Giống như tôi đã nói đây là lần đầu tiên tôi làm việc với một hệ thống MDOF và tôi đã đọc rất nhiều nhưng mô hình này quá phức tạp và toán học làm tôi bối rối.

— spe4ker
nguồn

Sẽ thật lý tưởng nếu bạn có thể xác định từng biến trong phương trình ma trận. Ví dụ:

là ma trận giảm xóc (đối xứng), ma trận quay (đối xứng) hay kết hợp giữa giảm xóc và xoay (không đối xứng)? Tôi sẽ đi trả lời, nhưng chắc chắn sẽ có ích nếu bạn xác định các ký hiệu.

G

$\mathbf G$

— Involutius

@SprocketsAreNotGears Tôi đã học mathjax và bao gồm tất cả các phương trình khác mà tôi có, tôi nên nói chúng từ việc cầu xin, vấn đề chính bây giờ là tôi không biết cách thay thế tất cả các giá trị hoặc biểu diễn dạng cuối cùng của phương trình , từ đó tôi cho rằng tôi chỉ có thể giải quyết các tần số và chế độ rung tự nhiên?

— spe4ker

Để có được các hình dạng chế độ và tần số cộng hưởng, bạn bắt đầu từ phương trình chuyển động của mình mà không có lực tác dụng bên ngoài, điều này thực sự như bạn đã nêu.

M \ddot{q} + K q = 0 (1)

$\mathbf M \mathbf{\ddot q} + \mathbf K \mathbf q = \mathbf 0 \qquad (1)$

$\mathbf K = \mathbf K_b + \mathbf K_m$

$\mathbf q(t)$ $i$ $\omega_i$

q (t) = u^{(i)} \exp (j ω_{i} t) (2)

$\mathbf q(t) = \mathbf u^{(i)}\exp{(j\omega_i t)}\qquad(2)$

j

$j$

\sqrt{- 1}

$\sqrt{-1}$

u^{(i)}

$\mathbf u^{(i)}$

i

$i$

\exp (j ω_{i} t)

$\exp{(j\omega_i t)}$

q (t)

$\mathbf q(t)$

ω_{i}

$\omega_i$

q (t) = u^{(i)} (A \sin ω_{i} t + B \cos ω_{i} t)

$\mathbf q(t) = \mathbf u^{(i)} (A \sin{\omega_i t} + B \cos{\omega_i t})$

Lưu ý rằng:

\ddot{q} (t) = \frac{d}{d t} (u^{(i)} \exp (j ω_{i} t)) = - ω_{i}^{2} u^{(i)} \exp (j ω_{i} t) (3)

$\mathbf {\ddot q}(t) = \frac{d}{dt}\left(\mathbf u^{(i)}\exp{(j\omega_i t)}\right)=-\omega_i^2\mathbf u^{(i)}\exp{(j\omega_i t)}\qquad (3)$

Việc thay thế các phương trình (2) và (3) thành (1) sẽ cung cấp cho bạn những điều sau đây, lưu ý rằng các hàm số mũ sẽ hủy bỏ:

(- ω_{i}^{2} M + K) u^{(i)} = 0 (4)

$\left(-\omega_i^2 \mathbf M + \mathbf K \right) \mathbf u^{(i)}=0 \qquad (4)$

$\mathbf A \mathbf x = \lambda \mathbf B \mathbf x$ $\mathbf A \mathbf x = \lambda \mathbf x$ $\omega_i^2$ $\mathbf u^{(i)}$ . Để có được giá trị riêng và hàm riêng liên quan đến việc giải quyết vấn đề eigenvalue tổng quát. Có hai cách tiếp cận chính: tính toán tay hoặc tính toán số. Đối với vấn đề của bạn, cái sau chắc chắn sẽ là lựa chọn được đề xuất, tuy nhiên, cái trước sẽ giúp giải quyết các vấn đề nhỏ hơn và cho vay một số cái nhìn sâu sắc về cách giải quyết các vấn đề eigenvalue tổng quát.

TÍNH TOÁN TAY

$\mathbf A \mathbf u^{(i)} = \mathbf 0$ $\mathbf u^{(i)}=\mathbf 0$ $\mathbf u^{(i)}\ne\mathbf 0$ $\mathbf A$ $\mathbf A$ $\mathbf u^{(i)} = \mathbf A^{-1} \mathbf 0 = \mathbf 0$

| A | = | - ω_{i}^{2} M + K | = 0

$\left| \mathbf A \right| = \left| -\omega_i^2 \mathbf M + \mathbf K \right| = 0$

$\omega_i^2$

Ví dụ: nói:

M = [\begin{matrix} m & 0 \\ 0 & m \end{matrix}] K = [\begin{matrix} 2 k & - k \\ - k & 2 k \end{matrix}]

$\mathbf M = \left[\begin{matrix} m & 0\\ 0 & m\\ \end{matrix}\right] \qquad \mathbf K = \left[\begin{matrix} 2k & -k\\ -k & 2k\\ \end{matrix}\right]$

Yếu tố quyết định lợi ích sẽ là:

| \begin{matrix} 2 k - ω_{i}^{2} m & - k \\ - k & 2 k - ω_{i}^{2} m \end{matrix} | = 0

$\left|\begin{matrix} 2k-\omega_i^2 m & -k\\ -k & 2k-\omega_i^2 m\\ \end{matrix}\right| =0$

Bằng cách mở rộng biểu thức xác định, chúng ta thu được đa thức:

(2 k - ω_{i}^{2} m)^{2} - k^{2} = 0

$(2k-\omega_i^2 m)^2-k^2=0$

Hai gốc trong số đó là:

ω_{i}^{2} = \frac{k}{m}, \frac{3 k}{m}

$\omega_i^2 = \frac{k}{m},\frac{3k}{m}$

Vì vậy, hai tần số cộng hưởng là:

ω_{1} = \sqrt{\frac{k}{m}} ω_{2} = \sqrt{\frac{3 k}{m}}

$\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}} \qquad \omega_2 = \sqrt{\frac{3k}{m}}$

$\mathbf M$ $\mathbf K$

Để có được hàm riêng tương ứng với một giá trị riêng, hãy thay thế trở lại vào phương trình (4), để có được một loạt phương trình đồng thời, việc giải quyết phải xác định hàm riêng.

$\omega_1^2$ $\omega_i=\omega_1$

[\begin{matrix} 2 k - k & - k \\ - k & 2 k - k \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1}^{(1)} \\ u_{2}^{(1)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k u_{1}^{(1)} - k u_{2}^{(1)} \\ - k u_{1}^{(1)} + k u_{2}^{(1)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}]

$\left[\begin{matrix} 2k-k & -k\\ -k & 2k-k\\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} u^{(1)}_1\\ u^{(1)}_2\\ \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} k u^{(1)}_1-k u^{(1)}_2\\ -k u^{(1)}_1+k u^{(1)}_2\\ \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0\\ 0\\ \end{matrix}\right]$

$u^{(1)}_1 = u^{(1)}_2$

u^{(1)} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]

$\mathbf u^{(1)} = \left[\begin{matrix} 1\\ 1\\ \end{matrix}\right]$

TÍNH TOÁN SỐ

Vấn đề của bạn dường như không thực tế để làm bằng tay. Rất may, có rất nhiều thuật toán giải quyết bản địa khác nhau được dành riêng để giải quyết vấn đề này.

Một vài trong số này bao gồm:

Phương pháp lặp công suất
Phương pháp Lanczos
Phương pháp Krylov-Schur
Phương pháp Jacobi-Davidson

Để giải thích cách mỗi thuật toán này hoạt động sẽ tốn nhiều thời gian hơn tôi hiện có, tuy nhiên tôi chắc chắn sẽ khuyên bạn nên theo dõi các thuật toán này, đọc cách chúng hoạt động và sử dụng chúng để giải quyết vấn đề eigenvalue tổng quát.

Hi vọng điêu nay co ich.

— Bất khả xâm phạm
nguồn

Giải thích tuyệt vời. Tuy nhiên, đối với một số người trong chúng ta, những người chủ yếu làm chất lỏng và rung động chỉ khi có ai đó hỏi "có ME ở đây không?", Một câu chuyện về làm ẩm và giảm chấn nghiêm trọng sẽ khiến đây trở thành một điểm tham chiếu rất hay để quay trở lại.

— Đánh dấu

@SprocketsAreNotGears Lời giải thích này thật tuyệt! và về cơ bản là những gì tôi cần để bắt đầu. Một câu hỏi, về lý thuyết, các tần số tự nhiên mà tôi tính toán từ phương pháp phân tích / số này, có giống như tôi nhận được với Phân tích phương thức thử nghiệm không? hoặc có những yếu tố khác tôi nên xem xét?

— spe4ker