Nguyên lý của công việc ảo so với định lý (thứ hai) của Castigliano

Tôi đã có một cái nhìn trực tuyến và vào một số tài liệu tuy nhiên tôi dường như không tìm thấy một so sánh tốt cho hai phương pháp khác nhau. Cả hai đều được sử dụng để xác định chuyển vị và độ dốc (xoay theo theta) tại một điểm trong tính liên tục. Cái trước sử dụng một lực đơn vị ảo tương đương với năng lượng biến dạng trong phần tử (khi được nhân với sự dịch chuyển của lãi suất) và sau đó sử dụng vi phân đối với một lực ảo có xu hướng bằng không.

Cái nào hiệu quả hơn và cái nào chính xác hơn? Tại sao người ta lại chọn Công việc ảo thay vì của Castigliano hay ngược lại?

Trả lời ngắn gọn: Castigliano đưa ra các giải pháp chính xác nhanh chóng tại một vài điểm chính trong một cấu trúc phức tạp lớn, trong khi công việc ảo cung cấp các mô hình gần đúng có thể sử dụng cho các hệ thống phức tạp mà nếu không sẽ không thể giải quyết được.

Định lý và công việc ảo của Castigliano là hai mặt của cùng một đồng tiền toán học. Phương pháp của Castigliano có trước công việc ảo, nhưng bắt đầu các nguyên tắc cơ bản của công việc ảo. Nó tạo thành một nửa công việc ảo đơn giản hơn, trong đó các chuyển vị có thể được giải quyết thông qua phân tích tuyến tính, nhưng chúng tôi sử dụng công việc ảo để có câu trả lời nhanh hơn. Công việc ảo được mô tả cho nửa sau, trong đó chúng tôi không thể giải quyết các chuyển vị bằng phân tích tuyến tính (không giải phương trình vi phân và đưa vào một loạt các hệ số) và thay vào đó chúng tôi dựa vào công việc ảo để tìm ra câu trả lời gần đúng phù hợp với nhiều các điều kiện biên.

Như đã nói ở trên, hầu hết các ứng dụng của những gì các kỹ sư sử dụng cho phương pháp của Castigliano, nguyên tắc chính là sử dụng những gì đã biết từ lý thuyết dầm đàn hồi tuyến tính hoặc lý thuyết giàn (nó có thể được sử dụng trong nhiều khía cạnh cho các cấu trúc này) và giải quyết nhanh chóng cho một cấu trúc chịu các lực lượng rất bất thường. Một phương trình cho các lực được viết theo nhiều lực chưa biết của cấu trúc xác định tĩnh, và sau đó các lực chưa biết được loại bỏ. Một trong những lực chưa biết (hoặc bất thường, nhưng đã biết) được áp dụng, và các mô hình và bảng tuyến tínhđược sử dụng cho các lực đơn lẻ có thể nhanh chóng cho chúng ta biết sự dịch chuyển thực tế tại các điểm khác nhau trong cấu trúc. Một lực có thể tạo ra 500 lực mới tại một điểm phản ứng trên mỗi lực mới của lực ban đầu, hoặc 5 lực mới. Điều này được ghi lại. Các lực chưa biết được loại bỏ, và một lực mới được thêm vào và kiểm tra. Khi tất cả các phản ứng và lực này được tìm thấy, phương pháp của Castigliano có thể giải quyết độ lệch cuối cùng cho toàn bộ trạng thái tải, có thể không tìm thấy trong bảng trạng thái tải đã giải quyết. Điều này đặc biệt hữu ích trong trường hợp có các hỗ trợ đàn hồi, các hỗ trợ làm lệch hướng dựa trên mức độ chúng áp dụng, xảy ra trong bất kỳ hệ thống thực nào. Giới hạn duy nhất cho phương pháp này là mức độ chi tiết của các bảng và nguyên tắc xếp chồng. Miễn là hệ thống có thể được xử lý bằng cách sử dụng chồng chất,

Nguyên tắc của công việc ảo vượt ra ngoài nguyên tắc này - thay vào đó, ý tưởng chỉ đơn giản là viết một phương trình cho các chuyển vị với các hệ số chưa biết. Nó có thể là giải pháp cho DE cai trị, hoặc nó có thể hoàn toàn không chính xác, nhưng nó cần có khả năng giải quyết tất cả các điều kiện biên (tại điểm A, độ dịch chuyển là 0, v.v.). Đối với dầm, lấy đạo hàm thứ hai của phương trình chuyển vị dẫn đến phương trình mô men, lấy kết quả thứ ba trong phương trình cắt. Đối với các tấm và liên tục khác, chuyển vị là biến dạng nhân với chiều dài. Bất kỳ thuật ngữ căng thẳng có thể được viết là tenxơ độ cứngnhân đôi sức căng, do đó, toàn bộ công việc ảo có thể được thể hiện đơn giản theo phương trình chuyển vị chưa biết của chúng tôi, theo nguyên tắc. Do đó, công việc chỉ đơn giản là giải quyết các hệ số chưa biết đó để chúng giảm thiểu công việc ảo (cả về năng lượng tiềm năng cho hệ tĩnh, hoặc tổng năng lượng tiềm năng và động năng cho hệ động lực).

Một ví dụ về điều này thường được đưa ra với các phương trình được sử dụng để phân tích phần tử hữu hạn, trong đó thay vì các phương trình chuyển vị tứ phương thông thường, một phương trình bậc ba được sử dụng cho chuyển vị. Điều này là do chúng ta có nhiều nhất hai bậc tự do cho phép quay và hai bậc tự do cho các chuyển vị, do đó, phần lớn chúng ta có thể có là bốn hệ số chưa biết - một phương trình bậc ba. Lưu ý điều này có nghĩa là FEA cần phân chia một tải phân tán thành các tải điểm cho phép phương trình bậc ba có cùng độ lệch với tứ phân vị ban đầu. Đây là nguyên nhân khiến các phần tử đơn lẻ không hiển thị cùng độ lệch giữa nhịp như phần tư gốc:

Ngay cả khi không có sự chồng chất, hiệu trưởng của công việc ảo vẫn được áp dụng, miễn là độ căng cứng của bạn tính đến sự thay đổi ứng suất liên quan đến căng thẳng. Điều này có thể mất một phương trình ứng suất chưa biết độc lập , để sử dụng thay cho tenxơ độ cứng. Các biến thể của loại này được sử dụng trong nhiều lĩnh vực bởi các kỹ sư, những người cần tạo ra các mô hình toán học của hệ thống của họ, tạo thành cơ sở cho thực tế tất cả các phương pháp phần tử hữu hạn. Tóm lại, Castigliano đưa ra các giải pháp chính xác nhanh chóng tại một vài điểm chính trong một cấu trúc phức tạp lớn, trong khi công việc ảo cung cấp các mô hình gần đúng có thể sử dụng cho các hệ thống phức tạp mà nếu không sẽ không thể giải quyết được.