Mô hình cánh như dầm đúc (chùm tia) để phân tích rung động không cân bằng

Gần đây tôi đã rơi vào một câu hỏi khá cơ bản nhưng thú vị về tính không ổn định. Tôi đã học được cách rút ra tốc độ tới hạn từ lý thuyết của Pines nhưng nó liên quan đến độ cứng của lò xo như đối với lò xo bình thường và lò xo xoắn K t .$K_h$$K_t$

Tuy nhiên, tôi muốn xem liệu tôi có thể rút ra điều tương tự hay không nếu cánh hiện được coi là mô hình thanh truyền liên tục (nghĩa là xoắn và uốn). Các phương trình của chuyển động là:

$\frac{\partial^2}{\partial y^2} \left( EI \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} \right) + m \frac{\partial^2 h}{\partial t^2} + m x_\alpha \frac{\partial^2 \alpha}{\partial t^2}+L=0$

$-\frac{\partial}{\partial y} \left( GJ \frac{\partial \alpha}{\partial y} \right) + I_\alpha \frac{\partial^2 \alpha}{\partial t^2} + mx_\alpha \frac{\partial^2 h}{\partial t^2} - M = 0$

Để đơn giản, hãy để và α = s ( y ) e p t để chúng ta có thể tập trung hoàn toàn vào phản ứng động xoắn. Đặt L = q c a 0 ( α + α 0 ) và M = q c e a 0 ( α + α 0 ) . Nhưng bây giờ mọi thứ vượt khỏi tầm kiểm soát của tôi vì tôi không biết làm thế nào để giải quyết cho $h(y,t)=0$$\alpha=s(y)e^{pt}$$L=qca_0(\alpha+\alpha_0)$$M=qcea_0(\alpha+\alpha_0)$$p$(để cho phần thực của nó dương), cho chưa được giải quyết.$s(y)$

$\alpha=s(y) e^{pt}$$e^{pt}$$s(y) = A \cos(kpy)+B \sin(kpy)$, trong đó A và B là hằng số chưa biết và k là số sóng. Sau đó chỉ cần cắm vào và giải quyết. Sẽ có một số lượng vô hạn các giải pháp cho phương trình. Mỗi giải pháp là sự kết hợp của k, A, B để giải phương trình (và các điều kiện biên) và đại diện cho một mã riêng của dao động. Thông thường, bạn sẽ chỉ giữ một vài mã đầu tiên (hoặc có thể chỉ một đầu tiên), sau đó tìm phản hồi thời gian của các chế độ.

Trang này có thể giúp đỡ, http://www1.aucegypt.edu/facemony/mharafa/MENG%20475/Continupt%20Systems%20Fall%202010.pdf hoặc chọn bất kỳ sách giáo khoa nào về "rung động của các hệ thống liên tục".