Làm thế nào để đối phó với sự quay của một yếu tố trong lý thuyết đàn hồi?

3

Như bạn đã biết trong lý thuyết tuyến tính về phương trình đàn hồi cho các chủng được đưa ra là (theo hình):

Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu một phần tử sẽ chỉ xoay (phương trình biến dạng nằm trên hình):

Theo trực giác tôi nghĩ không nên có chủng. Câu hỏi chính là làm thế nào để đối phó với nó?

— Eugene
nguồn

Trên thiết bị di động nên không thể đưa ra câu trả lời đầy đủ, nhưng hãy tìm vòng tròn của Mohr. Bạn sẽ có các chủng riêng lẻ ở cả x và y, nhưng bạn sẽ tìm thấy một trục x 'và y' nơi bạn có thể xác định không có biến dạng.

— Đánh dấu

Tôi đoán bạn đang tìm kiếm xoắn .

— JMac

\cos φ

$\cos \varphi$

\cos φ = 1 - \frac{1}{2} φ^{2}

$\cos\varphi = 1 - \frac 1 2 \varphi^2$

φ^{2}

$\varphi^2$

ϵ_{x} = 0

$\epsilon_x = 0$

ϵ_{x} = 0

$\epsilon_x = 0$

φ

$\varphi$

1

Từ hình ảnh của bạn, bản đồ biến dạng của bạn sẽ giống như

φ (x) = [\begin{matrix} x c o s (φ) - y s i n (φ) \\ x s i n (φ) + y c o s (φ) \\ z \end{matrix}]

$\varphi(x) = \left[\begin{array}{c} xcos(\varphi) - ysin(\varphi) \\ xsin(\varphi) + ycos(\varphi) \\ z \\ \end{array}\right]$

F = [\begin{array}{ccc} c o s (φ) & - s i n (φ) & 0 \\ s i n (φ) & c o s (φ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$F = \left[\begin{array}{ccc} cos(\varphi) & -sin(\varphi) & 0 \\ sin(\varphi) & cos(\varphi) & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right]$

G = [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$G = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right]$

∴ E = \frac{1}{2} [G - I] = 0

$\therefore E = \frac{1}{2} [G - I] = 0$

G = F F^{T} = (\nabla u + I) (\nabla u + I)^{T} = \nabla u + \nabla u^{T} + \nabla u \nabla u^{T} + I

$G = FF^T = (\nabla u + I)(\nabla u + I)^T = \nabla u + \nabla u^T + \nabla u \nabla u ^T + I$

\nabla u < 1

$\nabla u < 1$

\nabla u \nabla u^{T} ≪ 1

$\nabla u \nabla u ^T \ll 1$

φ

$\varphi$ là rất nhỏ, vì vậy chúng tôi có thể bỏ qua các điều khoản bậc cao hơn của chúng tôi. Hãy tuyến tính hóa độ dốc biến dạng: Điều này tạo ra bởi vì nếu nhỏ, nhỏ hơn nhiều và chúng ta có thể chấp nhận lỗi giả sử hành vi tuyến tính hình học.

c o s (φ) \approx 1, s i n (φ) \approx φ F = [\begin{array}{ccc} 1 & - φ & 0 \\ φ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] G = [\begin{array}{ccc} 1 + φ^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 + φ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] ∴ E = \frac{1}{2} [\begin{array}{ccc} φ^{2} & 0 & 0 \\ 0 & φ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] \approx 0

$cos(\varphi) \approx 1, sin(\varphi) \approx \varphi \\ F = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -\varphi & 0 \\ \varphi & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \\ G = \left[\begin{array}{ccc} 1 + \varphi ^2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 + \varphi ^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \\ \therefore E = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{ccc} \varphi ^2 & 0 & 0 \\ 0 & \varphi ^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right] \approx 0$

φ

$\varphi$

φ^{2}

$\varphi^2$

Nguồn:

Nguyên tắc cơ bản của cơ học kết cấu thứ 2, Keith D. Hjelmstad

— Khốn khổ
nguồn

3

Câu trả lời cho điều này nằm trong phương trình xác định các chủng mà bạn đã cung cấp. Độ dốc dịch chuyển đầy đủ (trong đó đại diện cho đạo hàm ) có thể được phân tách tuyến tính thành một đối xứng và thành phần chống đối xứng: , theo cách thông thường như đối với tất cả các thang đo hạng 2. $u_{i,j}$ $\bullet_{,j}$ $j^{\rm th}$ $u_{i,j} = \epsilon_{i,j} + \omega_{i,j}$

Phần đối xứng, đại diện cho biến dạng, thứ duy nhất tính cho năng lượng đàn hồi, trong khi đó là đối xứng part thể hiện sự xoay thân cứng nhắc. Và như bạn nhận xét, điều này không tốn năng lượng cho hệ thống. Do đó, về độ co giãn, chúng ta chỉ nói về . $\epsilon_{i,j} = \frac{u_{i,j}+u_{j,i}}{2}$ $\omega_{i,j} = \frac{u_{i,j}-u_{j,i}}{2}$ $\epsilon_{i,j}$

— ngày 21
nguồn

1

Chào mừng bạn đến trao đổi kỹ thuật ngăn xếp. Đây là một đóng góp lớn.

— Đánh dấu