Làm thế nào người ta có thể tính toán sự thay đổi năng lượng nhiệt khi nhiệt dung riêng thay đổi theo nhiệt độ?

Nhiều vật liệu có nhiệt dung riêng thay đổi theo nhiệt độ, đặc biệt là khi nhiệt độ thay đổi lớn. Làm thế nào để tính toán năng lượng nhiệt mà một đối tượng nhận được trong trường hợp này? Chúng ta có thể đơn giản sử dụng công suất nhiệt cụ thể ở nhiệt độ đầu hoặc nhiệt độ cuối không?

Theo cách tương tự với câu trả lời của tôi về việc tính toán lực đòn bẩy trong một tình huống liên tục ; bạn cần sử dụng tích hợp.

Bạn bắt đầu bằng cách lấy luật nhiệt tiêu chuẩn mà bạn đã quen thuộc với và thay thế Δ s với chênh lệch: d Q = c ( T ) m d T . Phương trình mới này ghi: Đối với sự thay đổi nhiệt độ vô cùng (rất nhỏ), tôi nhận được một sự thay đổi vô hạn (rất nhỏ) trong nhiệt. Trong giới hạn của infinitesimals, mọi thứ đều tuyến tính nên phương trình tuyến tính đơn giản này vẫn giữ. Bây giờ bạn chỉ đơn giản là tổng hợp tất cả những thay đổi vô cùng nhỏ trong cái nóng Flux sử dụng tích hợp Δ Q = m ∫ T

$$\Delta Q=c\ m\ \Delta T$$ $\Delta$ $$dQ=c(T)\ m\ dT.$$ Nếu bạn không thực sự muốn thực hiện việc tích hợp, điều đó cũng ổn. Matlab sẽ không có vấn đề gì khi làm điều này cho bạn và phương pháp Matlab hoạt động ngay cả khi bạn không có chức năng phân tích để mô tảc(T)(tức là bạn chỉ có dữ liệu). Nếu bạn không có quyền truy cập vào Matlab, thì hãy sử dụngPython. Nó miễn phí, mã nguồn mở và vô cùng mạnh mẽ. $$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}c(T)\ \ dT.$$ $c(T)$

Cũng không. Trong tình huống này, không có giải pháp tuyến tính "đơn giản"; bạn cần sử dụng phép tính tích phân để cộng nhiệt tăng dần được hấp thụ ở mỗi nhiệt độ trên đường đi. Thời gian duy nhất mà phép tính này trở thành phép nhân đơn giản là khi đại lượng được tích hợp (nhiệt dung riêng) là một hằng số trong phạm vi tích hợp.

Cũng không.

Như đã được chỉ ra, đây không phải là chuyện nhỏ để làm, nhưng đây là một phương pháp được đề xuất:

1. đo chính xác một lượng nhiên liệu nhất định, sau đó đốt nhiên liệu đó và sử dụng vật liệu có công suất nhiệt cụ thể rất không đổi hoặc được biết đến để xác định lượng năng lượng mà mẫu thử của bạn nhận được qua thời gian bằng cách ghi lại nhiệt độ.
2. sử dụng cùng một lượng nhiên liệu, trong cùng một thiết bị, với một mẫu thử có các tính chất hình học giống hệt nhau nhưng là một vật liệu khác và lặp lại thí nghiệm. Lần này, bạn giả sử năng lượng mà mẫu thử của bạn nhận được dựa trên bước 1 và sử dụng nhiệt độ được ghi lại để xác định công suất nhiệt cụ thể của vật liệu.
3. bây giờ bạn có đường cong công suất nhiệt cụ thể cho vật liệu này, sử dụng nó như bất kỳ vật liệu nào khác nhưng tích hợp đường cong của bạn trên khoảng nhiệt độ bạn đo để xác định lượng năng lượng nhiệt hấp thụ.

Phương pháp này không hoàn hảo, nó phụ thuộc vào sự chồng chất tuyến tính không hoàn toàn hợp lệ đối với nhiệt độ vì một số yếu tố trao đổi nhiệt có sự phụ thuộc phi tuyến tính, nhưng nó không phải là một phương pháp tồi để "hiệu chỉnh" vật liệu của bạn ở mức cơ bản.

Tôi sẽ thử và phù hợp với vật liệu cho một mô hình.
Các mô hình Debye là "tiêu chuẩn". (xin lỗi, bài viết wiki hơi vượt trội.) Trong mô hình Debye, vật liệu có thể phù hợp với một "nhiệt độ Debye".

Chỉnh sửa theo yêu cầu. (mặc dù, tôi sẽ tin vào bài viết wiki về câu trả lời của tôi.) Ở nhiệt độ cao, các vật liệu (nhưng không quá cao) có công suất nhiệt tương đương với 3kT * N, trong đó N là số nguyên tử. (Đó chỉ là các nguyên tử chứ không phải các electron tính công suất nhiệt, điều này rất thú vị ...) Khi nhiệt độ giảm, các nguyên tử ngừng rung lắc rất nhiều và một số chế độ rung "đóng băng". Các chế độ ở mức năng lượng cao đến mức không có đủ năng lượng nhiệt để kích thích chúng. Nhiệt độ Debye là một thước đo sơ bộ về nơi các chế độ đóng băng và công suất nhiệt bắt đầu giảm.

$Cp=f(T)$

$$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}Cp(T)\ \ dT$$

$Cp(T_i)$$Cp(T_f)$

$$Cp(T)=Cp(T_i)+\frac{Cp(T_f)-Cp(T_i)}{T_f-T_i} (T-T_i)$$ $$\Delta Q=m\, \frac{Cp(T_f)+Cp(T_i)}2 \,(T_f-T_i)$$ $Cp$