Timoshenko ban đầu đã giải phương trình với hệ số $ k $. Yếu tố $ c ^ 2 $ xuất phát từ kết quả phân tích của Timoshenko. Mục tiêu là giữ $ k $ là một hằng số, điều này sẽ làm cho các phương trình dễ dàng hơn. Thật không may, $ k $ thực sự là một hàm của tần số, không rõ. Điều này có thể được nhìn thấy từ một phần tử hữu hạn hoặc phân tích độ co giãn khác của mặt cắt ngang với tải trọng động và phân tích ứng suất cắt trong khu vực cắt ngang.
Trong hầu hết các ứng dụng tần số thấp (như chúng ta thấy ngày nay), các hiệu ứng từ k có thể bị bỏ qua, vì vậy Timoshenko đã bỏ qua các giá trị này. Thay vào đó, anh tập trung vào khi phương trình Euler bắt đầu lệch. Ví dụ, các phương trình Euler không thể dự đoán hiện tượng sóng dọc. Điều này xảy ra khi một sóng truyền dọc theo trục của chùm tia - giống như khi kéo dài lò xo:
Do đó, tần số sóng dọc cơ bản, do đó được coi là rất quan trọng. Vì đây là một tài sản dựa trên chính vật liệu, vì $ c $ trong $ c ^ 2 $ là "tốc độ âm thanh trong vật liệu", nên tìm giá trị của $ k $ sao cho phương trình của Timoshenko dự đoán tần số này. Nói cách khác, vì $ k $ là một hàm của tần số, khi các phương trình của Timoshenko được đặt để mô tả sóng dọc, giá trị cho $ k $ sẽ dự đoán chính xác tần số cơ bản đầu tiên. Kết quả cuối cùng là thuật ngữ $ c ^ 2 $, chính xác cho giá trị mong muốn này là $ k $. Các giá trị khác của k có thể xảy ra. Để biết thêm thông tin, có một tài nguyên được giải mật từ Dịch vụ Quân đội mà tôi có thể tham khảo - AD013061