Giải thích vật lý của thuật ngữ thứ hai trong ứng suất căng nhớt trong phương trình Navier-Stokes là gì?

Tôi đã tìm kiếm câu trả lời này một lúc. Tôi đã đọc rất nhiều văn bản và thậm chí đã xem một số bài giảng trực tuyến, nhưng thường thì điều này không bao giờ được giải thích và chỉ đưa ra. Thuật ngữ căng thẳng nhớt trong các phương trình Navier-Stokes trông giống như

$$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$$

Bây giờ thuật ngữ đủ dễ hiểu vì nó chỉ là sự khuếch tán vận tốc, nhưng tôi gặp khó khăn khi đưa ra một cách giải thích vật lý về thuật ngữ . Sau khi tôi mở rộng thuật ngữ này, tôi đã kết thúc với$\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$$\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

$$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$$

điều này dường như ngụ ý rằng hiệu ứng này không có trong trường vận tốc không phân kỳ, nhưng tôi vẫn không thể tìm ra hoặc tìm thấy bất kỳ trực giác vật lý nào về ý nghĩa của thuật ngữ này. Có ai hiểu thuật ngữ này thể hiện điều gì không?

Bạn không nên tách hai thuật ngữ đó để tìm kiếm giải thích vật lý. Thuật ngữ là thang đo tốc độ biến dạng . Thông lượng động lượng (hoặc căng thẳng) do thực tế chúng ta có một chất lỏng chảy được tính bằng toàn bộ thuật ngữ . Trong phương trình NS, cả hai thuật ngữ có thể được coi là mật độ lực (lực trên một đơn vị thể tích). Bạn đã đúng, rằng thuật ngữ thứ hai bằng không đối với các luồng không thể nén được (xem tại đây ).˙ γ μ ( ∇ → u + ( ∇ → u ) T $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$$\dot{\gamma}$$\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

CẬP NHẬT: Việc tạo ra hoàn toàn của tenxơ tốc độ biến dạng rất phức tạp và nó có thể nằm ngoài phạm vi ở đây. Nếu bạn quan tâm tôi đã thấy rằng một nguồn tài nguyên tốt là Giới thiệu về Cơ học chất lỏng của Whitaker. Tóm lại, hãy chấp nhận rằng tenxơ đại diện cho tốc độ biến dạng và rắn như chuyển động quay. Bất kỳ tenor nào cũng có thể được phân tách theo cách sau: $\nabla \vec{u}$

$$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$$ Thuật ngữ đầu tiên thường được gọi là tenxơ tốc độ biến dạng, đối xứng và có thể chỉ ra rằng nó không bao gồm chuyển động quay cứng. Thuật ngữ thứ hai thường được gọi là tenxơ xoáy, nó đối xứng và nó có thể được chứng minh rằng nó không đóng góp vào tốc độ biến dạng và nó thể hiện cứng nhắc như chuyển động quay.

Tôi đồng ý với @sturgman người ta không nên nhìn vào các phần riêng lẻ mà cố gắng hiểu nó trong bối cảnh ints.

Nhìn vào phiên bản rất cơ bản của Navier-Stokes-Equation (sử dụng ký hiệu Einstein ):

$$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$$

Phần gạch chân trong bản gốc của nó có thể được viết lại.

$$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$$

Điều này dẫn đến:

$$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$$

Trong ký hiệu tượng trưng, ​​nó sẽ trông giống như:

$$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$$

Phần không phải lúc nào cũng được hiển thị như thế này tùy thuộc vào cách thức ứng suất căng của Newton được giới thiệu. Vì là một tính chất lỏng rất khó đo lường nhưng chỉ thay đổi rất ít, Giả thuyết Stokes đặt nó thành (Điều này chỉ đúng về mặt kỹ thuật đối với các khí đơn sắc).$\text{III}$$\lambda^*$$-2/3 \eta$

Phần mô tả một tính năng của chất lỏng trong đó cấu trúc nguyên tử của phân tử chất lỏng có thể hấp thụ năng lượng, đôi khi nó được gọi là độ nhớt áp suất. Trong khi Phần mô tả điện trở của dòng chảy khi bị cắt, thì phần mô tả điện trở của thể tích chất lỏng khi nó được mở rộng hoặc nén "đẳng hướng".$\text{III}$$\text{IV}$$\text{III}$