Làm thế nào để xác định độ dài đặc trưng trong tính toán số reynold nói chung?

Tôi hiểu rằng số reynold được cho bởi biểu thức , trong đó là mật độ, là vận tốc chất lỏng và là độ nhớt động. Đối với bất kỳ vấn đề động lực học chất lỏng nhất định, , và đều được đưa ra một cách tầm thường. Nhưng chính xác chiều dài đặc trưng là gì? Làm thế nào chính xác để tôi tính toán nó? Tôi có thể sử dụng gì từ một vấn đề nhất định để tự động xác định độ dài đặc trưng? $Re=\frac{\rho v L}{\mu}$ $\rho$ $v$ $\mu$ $\rho$ $v$ $\mu$ $L$

fluid-mechanics

— Paul
nguồn

Bạn có thể giải thích tại sao Reynoldsnumber là điểm tương đồng mô tả vấn đề dòng chảy của bạn không?

— rul30

Câu trả lời:

Tôi muốn tiếp cận câu hỏi này từ góc độ toán học có thể có kết quả như được thảo luận trong một số ý kiến và câu trả lời. Các câu trả lời là hữu ích, tuy nhiên tôi muốn thêm:

Nói chung, thang đo chiều dài nhỏ nhất có sẵn là thang đo chiều dài đặc trưng.
Đôi khi (ví dụ: trong các hệ thống động) không có thang đo chiều dài cố định để chọn làm thang đo chiều dài đặc trưng. Trong những trường hợp như vậy thường có thể tìm thấy thang đo chiều dài động.

Thang đo chiều dài đặc trưng:

TL; DWTR: đối với,là thang đo chiều dài đặc trưng; đối với,là thang đo chiều dài đặc trưng. Điều này ngụ ý rằng thang đo chiều dài nhỏ hơn (thường) là thang đo chiều dài đặc trưng. $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

Xem xét trường hợp dòng chảy ống được thảo luận trong các câu trả lời khác; có bán kính nhưng cũng có chiều dài của ống. Thông thường chúng ta lấy đường kính ống là thang đo chiều dài đặc trưng nhưng điều này có luôn luôn như vậy không? Chà, hãy xem xét điều này từ góc độ toán học; hãy xác định tọa độ không thứ nguyên: $R$ $L$

\bar{x} = \frac{x}{L} \bar{y} = \frac{y}{R} \bar{u} = \frac{u}{U} \bar{v} = \frac{v}{V} \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}

$\bar{x}=\frac{x}{L} \quad \bar{y}=\frac{y}{R} \quad \bar{u}=\frac{u}{U} \quad \bar{v}=\frac{v}{V} \quad \bar{p}=\frac{p}{\rho U^2}$

Ở đây, , , , là tọa độ - và thang đo vận tốc nhưng không nhất thiết là thang đo đặc trưng của chúng. Lưu ý rằng lựa chọn thang áp suất chỉ hợp lệ cho . Trường hợp yêu cầu thay đổi kích thước. $L$ $R$ $U$ $V$ $x$ $y$ $P=\rho U^2$ $\mathrm{Re}\gg1$ $\mathrm{Re}\ll1$

Chuyển đổi phương trình liên tục thành số lượng không thứ nguyên:

\nabla \cdot u = 0 \to \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \partial_{\bar{y}} \bar{v} = 0

$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}=0 \rightarrow \partial_{\bar{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\bar{v}=0$

đó chỉ có thể là trường hợp khi chúng ta giả sử hoặc . Biết điều này, số Reynold có thể được xác định lại: $\frac{U}{V}\frac{R}{L}\sim1$ $\frac{V}{U}\sim\frac{R}{L}$

R e = \frac{U R}{ν} = \frac{U}{V} \frac{R}{L} \frac{V L}{ν} = \frac{V L}{ν} = \hat{R e}

$\mathrm{Re}=\frac{UR}{\nu}=\frac{U}{V}\frac{R}{L}\frac{VL}{\nu}=\frac{VL}{\nu}=\hat{\mathrm{Re}}$

Tương tự, hãy biến đổi các phương trình Navier-Stokes (chỉ -component để giữ cho nó ngắn): Chúng ta thấy ở đây số Reynold xuất hiện tự nhiên như một phần của quy trình nhân rộng. Tuy nhiên, tùy thuộc vào tỷ lệ hình học , các phương trình có thể yêu cầu thay đổi kích thước. Hãy xem xét hai trường hợp: $x$

u \cdot \nabla u = - \frac{1}{ρ} \nabla p + ν △ u

$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla u}=-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p+\nu\triangle\boldsymbol{u}$

\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} [\frac{R}{L} \partial_{\bar{x}}^{2} \bar{u} + \frac{L}{R} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}]

$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left[\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}+\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}\right]$

R / L

$R/L$

Bán kính ống nhỏ hơn nhiều so với chiều dài ống (tức là ): $R/L\ll1$

Phương trình được chuyển đổi sau đó đọc: Ở đây chúng ta có một vấn đề vì thuật ngữ có thể rất lớn và một phương trình tỷ lệ đúng chỉ có hệ số hoặc nhỏ hơn. Vì vậy, chúng tôi yêu cầu thay đổi lại tọa độ , vận tốc và áp suất:
$\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} \frac{L}{R} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}$ $O(1)$ $\bar{x}$ $\bar{v}$ $\bar{p}$ $\hat{x} = \bar{x} {(\frac{R}{L})}^{α} \hat{v} = \bar{v} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{x}=\bar{x}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}\quad\hat{v}=\bar{v}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ Sự lựa chọn số lượng thay đổi này đảm bảo rằng phương trình liên tục vẫn có dạng: Navier-Stokes phương trình tính theo số lượng thay đổi mang lại: được chia tỷ lệ chính xác với hệ số của hoặc nhỏ hơn khi chúng ta lấy các giá trị . Điều này cho thấy thang áp suất không cần thay đổi kích thước nhưng thang đo chiều dài và vận tốc đã được xác định lại: $\partial_{\hat{x}} \bar{u} + \partial_{\bar{y}} \hat{v} = 0$ $\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\hat{v}=0$ $\bar{u} \partial_{\hat{x}} \bar{u} + \hat{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\hat{x}} \hat{p} + \frac{1}{R e} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\hat{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\hat{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $O(1)$ $\alpha=-1,\,\beta=0$ $\hat{x} = \bar{x} \frac{L}{R} = \frac{x}{R} \hat{v} = \bar{v} \frac{R}{L} = \bar{v} \frac{V}{U} = \frac{v}{U} \hat{p} = \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}$ $\hat{x}=\bar{x}\frac{L}{R}=\frac{x}{R}\quad\hat{v}=\bar{v}\frac{R}{L}=\bar{v}\frac{V}{U}=\frac{v}{U}\quad\hat{p}=\bar{p}=\frac{p}{\rho U^{2}}$ và chúng ta thấy rằng độ dài đặc trưng và quy mô vận tốc cho tương ứng và không phải là và như giả định ngay từ đầu nhưng và . $x$ $v$ $L$ $V$ $R$ $U$
Bán kính ống lớn hơn nhiều so với chiều dài ống (tức là ) $R/L\gg1$ :

Phương trình được chuyển đổi sau đó đọc: Tương tự như trường hợp trước, có thể rất lớn và yêu cầu thay đổi kích thước. Ngoại trừ lần này, chúng tôi yêu cầu thay đổi lại tọa độ , vận tốc và áp suất: Lựa chọn số lượng được định cỡ lại một lần nữa đảm bảo rằng phương trình liên tục vẫn có dạng:
$\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} \frac{R}{L} \partial_{\bar{x}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}$ $\bar{y}$ $\bar{u}$ $\bar{p}$ $\hat{y} = \bar{y} {(\frac{R}{L})}^{α} = \frac{y}{L} \hat{u} = \bar{u} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{y}=\bar{y}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ $\partial_{\bar{x}} \hat{u} + \partial_{\hat{y}} \bar{v} = 0$ $\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\partial_{\hat{y}}\bar{v}=0$ Phương trình Navier-Stokes theo các đại lượng được định cỡ lại mang lại: được chia tỷ lệ chính xác với các hệ số của hoặc nhỏ hơn khi chúng ta lấy các giá trị . Điều này cho biết chiều dài, vận tốc và thang đo áp suất đã được xác định lại: $\hat{u} \partial_{\bar{x}} \hat{u} + \bar{v} \partial_{\hat{y}} \hat{u} = - \partial_{\bar{x}} \hat{p} + \frac{1}{\hat{R e}} \partial_{\bar{x}}^{2} \hat{u}$ $\hat{u}\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\bar{v}\partial_{\hat{y}}\hat{u}=-\partial_{\bar{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{\hat{\mathrm{Re}}}}\partial_{\bar{x}}^{2}\hat{u}$ $O(1)$ $\alpha=1\,\beta=-2$ $\hat{y} = \bar{y} \frac{R}{L} = \frac{y}{L} \hat{u} = \bar{u} \frac{L}{R} = \bar{u} \frac{U}{V} = \frac{u}{V} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{L}{R})}^{2} = \bar{p} {(\frac{U}{V})}^{2} = \frac{p}{ρ V^{2}}$ $\hat{y}=\bar{y}\frac{R}{L}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\frac{L}{R}=\bar{u}\frac{U}{V}=\frac{u}{V}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{L}{R}\right)^{2}=\bar{p}\left(\frac{U}{V}\right)^{2}=\frac{p}{\rho V^{2}}$ và chúng ta thấy rằng các thang đo chiều dài, vận tốc và áp suất đặc trưng cho lần lượt , và không phải là , , như được giả định ở đầu nhưng , và . $x$ $v$ $p$ $R$ $U$ $\rho U^{2}$ $L$ $V$ $\rho V^{2}$

Trong trường hợp bạn đã quên điểm của tất cả những điều này: với , là thang đo chiều dài đặc trưng; đối với , là thang đo chiều dài đặc trưng. Điều này ngụ ý rằng thang đo chiều dài nhỏ hơn (thường) là thang đo chiều dài đặc trưng. $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

Thang đo chiều dài động:

Xem xét sự khuếch tán của một loài vào miền bán vô hạn. Vì nó là vô hạn theo một hướng, nó không có tỷ lệ chiều dài cố định. Thay vào đó, một thang đo chiều dài được thiết lập bởi 'lớp ranh giới' từ từ thâm nhập vào miền. 'Độ dài thâm nhập' này theo tỷ lệ chiều dài đặc trưng đôi khi được gọi là:

δ (t) = \sqrt{π D t}

$\delta\left(t\right) = \sqrt{\pi D t}$

Trong đó là hệ số khuếch tán và là thời gian. Như đã thấy, không có thang đo liên quan vì nó được xác định hoàn toàn bởi động lực khuếch tán của hệ thống. Để biết ví dụ về một hệ thống như vậy, hãy xem câu trả lời của tôi cho câu hỏi này . $D$ $t$ $L$

— nluigi
nguồn

Chính xác ý bạn là gì khi có sẵn khi bạn nói " tỷ lệ chiều dài có sẵn nhỏ nhất "? Điều gì xác định chính xác những gì có sẵn và những gì không?

— Paul

@Paul 'có sẵn' có nghĩa liên quan đến các thang đo chiều dài hình học rõ ràng như chiều dài, chiều cao, chiều rộng, đường kính, v.v ... Điều này trái ngược với thang đo chiều dài động ít rõ ràng hơn và được xác định bởi động lực học của hệ thống.

— nluigi

Có bất kỳ biện minh cụ thể nào cho việc sử dụng "chiều dài có sẵn nhỏ nhất" trái ngược với bất kỳ độ dài khác có sẵn không?

— Paul

@Paul Độ dốc nói chung là lớn nhất ở đó vì vậy hầu hết các phương tiện giao thông xảy ra ở quy mô nhỏ

— nluigi

Cám ơn đã đưa này lại với nhau. idk nếu nó đúng tho

— Dan Powers

Đây là một câu hỏi thực tế, thực nghiệm, không phải là một câu hỏi lý thuyết có thể được "giải quyết" bằng toán học. Một cách để trả lời là bắt đầu từ số Reynold có nghĩa vật lý: nó đại diện cho tỷ lệ giữa lực quán tính "điển hình" và lực nhớt trong trường dòng chảy.

Vì vậy, bạn nhìn vào một mô hình dòng chảy điển hình và chọn phép đo chiều dài tốt nhất để biểu thị tỷ lệ lực đó.

Ví dụ, trong dòng chảy qua một ống tròn, lực nhớt (lực cắt) phụ thuộc vào cấu hình vận tốc từ trục của ống đến các bức tường. Nếu vận tốc dọc theo trục của ống vẫn giữ nguyên, nhân đôi bán kính sẽ (giảm khoảng một nửa) tốc độ cắt giữa trục và tường (trong đó vận tốc bằng 0). Vì vậy, bán kính, hoặc đường kính, là một lựa chọn tốt cho chiều dài đặc trưng.

Rõ ràng Re sẽ khác (theo hệ số 2) nếu bạn chọn bán kính hoặc đường kính, vì vậy trong thực tế, mọi người đều đưa ra lựa chọn giống nhau và mọi người đều sử dụng cùng một giá trị tới hạn của Re cho quá trình chuyển đổi từ dòng chảy sang dòng chảy rối. Từ quan điểm kỹ thuật thực tế, kích thước của một đường ống được chỉ định bởi đường kính của nó vì đó là những gì dễ đo, do đó bạn cũng có thể sử dụng đường kính cho Re.

Đối với đường ống xấp xỉ hình tròn, bạn có thể quyết định (bằng một loại đối số vật lý tương tự) rằng chu vi của đường ống thực sự là chiều dài quan trọng nhất, và do đó so sánh kết quả với đường ống tròn bằng cách sử dụng "đường kính tương đương" được định nghĩa là (chu vi / pi).

Mặt khác, chiều dài của đường ống không ảnh hưởng nhiều đến kiểu dòng chảy chất lỏng, do đó, đối với hầu hết các mục đích sẽ là sự lựa chọn kém về chiều dài đặc trưng cho Re. Nhưng nếu bạn đang xem xét dòng chảy trong một "ống" rất ngắn trong đó chiều dài nhỏ hơn nhiều so với đường kính, thì độ dài có thể là số tốt nhất để sử dụng làm tham số mô tả dòng chảy.

— alephzero
nguồn

Tôi không đồng ý với tuyên bố của bạn rằng toán học không thể giúp đỡ ở đây. Quy trình bạn mô tả sẽ không được sử dụng trong nhiều trường hợp không có thang đo chiều dài rõ ràng, chẳng hạn như một lớp ranh giới. Đó là câu hỏi trong tầm tay. Phân tích thứ nguyên của các phương trình quản lý đã tỏ ra khá hữu ích trong việc tìm ra các thang đo chiều dài có liên quan trong các lớp ranh giới tầng và hỗn loạn, ví dụ, tỷ lệ độ dày lớp ranh giới lớp tương ứng và tỷ lệ chiều dài nhớt, tương ứng. Sự phân chia phạm vi rộng của các luồng nhiệt là một trường hợp khác trong đó cách phân tích mà bạn đề xuất ít rõ ràng hơn, nhưng phân tích thứ nguyên giúp ích.

— Ben Trettel

@BenTrettel - Tôi đồng ý rằng phân tích thứ nguyên có thể giúp ích rất nhiều trong việc xác định thang đo chiều dài đặc trưng. Xem câu trả lời của tôi cho một ví dụ 'đơn giản'.

— nluigi

Có ba cách chính để xác định nhóm thuật ngữ nào (tổng quát hơn là chỉ độ dài hoặc thang thời gian) có liên quan. Đầu tiên là bằng toán học, có thể liên quan đến việc giải quyết một vấn đề hoặc một vấn đề tương tự hoặc phù hợp về mặt phân tích và xem thuật ngữ nào xuất hiện và đưa ra các lựa chọn đơn giản hóa mọi thứ khi thích hợp (nhiều hơn về điều này dưới đây). Cách tiếp cận thứ hai là bằng thử nghiệm và lỗi, nhiều hay ít. Thứ ba là do tiền lệ, thường là khi người khác trong quá khứ đã thực hiện một số phân tích được đề cập trước đây trong vấn đề này hoặc những vấn đề liên quan.

Có một số cách để phân tích lý thuyết, nhưng một cách hữu ích trong kỹ thuật là phương trình không điều chỉnh kích thước. Đôi khi, chiều dài đặc trưng là rõ ràng, như trường hợp trong một dòng chảy ống. Nhưng những lần khác, không có độ dài đặc trưng rõ ràng , như trường hợp trong các dòng cắt tự do, hoặc một lớp biên. Trong những trường hợp này, bạn có thể biến độ dài đặc trưng thành một biến miễn phí và chọn một biến đơn giản hóa vấn đề . Dưới đây là một số lưu ý tốt về không kích thước , có các gợi ý sau để tìm thang đo thời gian và chiều dài đặc trưng:

(luôn luôn) Tạo càng nhiều hằng số không giới hạn bằng một càng tốt.

(thông thường) Tạo các hằng số xuất hiện trong các điều kiện ban đầu hoặc biên bằng một.

(thông thường) Nếu có một hằng số không giới hạn, nếu chúng ta đặt nó bằng 0, sẽ đơn giản hóa vấn đề một cách đáng kể, cho phép nó duy trì tự do và sau đó xem khi nào chúng ta có thể làm cho nó nhỏ đi.

Cách tiếp cận chính khác là giải quyết vấn đề hoàn toàn và xem nhóm thuật ngữ nào xuất hiện. Nói chung độ dài có liên quan là rõ ràng nếu bạn đang nắm bắt thuật ngữ từ loại phân tích lý thuyết này, mặc dù loại phân tích này thường dễ nói hơn là thực hiện.

Nhưng làm thế nào để bạn tìm ra một chiều dài tốt nếu bạn không có một phân tích lý thuyết để đi ra? Thông thường, nó không quan trọng quá nhiều mà bạn chọn chiều dài. Một số người dường như nghĩ rằng điều này là khó hiểu, bởi vì họ được dạy rằng quá trình chuyển đổi nhiễu loạn xảy ra vào của 2300 (cho một đường ống), hoặc 500.000 (cho một tấm phẳng). Nhận ra rằng trong trường hợp đường ống, sẽ không có vấn đề gì nếu bạn chọn đường kính hoặc bán kính. Điều đó chỉ quy mô số Reynold quan trọng theo hệ số hai. Điều quan trọng là đảm bảo rằng bất kỳ tiêu chí nào bạn sử dụng đều phù hợp với định nghĩa về số Reynold bạn sử dụng và vấn đề bạn đang nghiên cứu . Đó là truyền thống chỉ ra rằng chúng ta sử dụng đường kính cho dòng chảy ống. $Re$

Ngoài ra, để nói chung, phân tích hoặc thử nghiệm có thể đề xuất một số khác, giả sử số Biot, cũng có "chiều dài đặc trưng" trong đó. Các thủ tục trong trường hợp này là giống hệt như đã được đề cập.

Đôi khi bạn có thể thực hiện một phân tích heuristic để xác định độ dài liên quan. Trong ví dụ về số Biot, chiều dài đặc trưng này thường được đưa ra là thể tích của một vật thể chia cho diện tích bề mặt của nó, bởi vì điều này có ý nghĩa đối với các vấn đề truyền nhiệt. (Khối lượng lớn hơn = truyền nhiệt chậm hơn đến trung tâm và diện tích bề mặt lớn hơn = truyền nhiệt nhanh hơn đến trung tâm.) Nhưng tôi cho rằng có thể lấy được điều này từ các xấp xỉ nhất định. Bạn có thể đưa ra một lập luận tương tự biện minh cho đường kính thủy lực .

— Ben Trettel
nguồn

Nếu tôi chọn L một cách tùy tiện và vấn đề là không chính tắc sao cho các chế độ dòng chảy và giải pháp phân tích không được biết đến một tiên nghiệm, thì thử và sai có thực sự là cách duy nhất?

— Paul

Tôi không nghĩ vậy. Bạn có thể có được một cái gì đó hữu ích bằng cách không kích thước các phương trình quản lý có liên quan với các thang đo thời gian và độ dài tùy ý. Đây thường là bước đầu tiên của tôi khi phân tích một vấn đề với các phương trình quản lý rõ ràng nhưng không có thang đo thời gian hoặc thời gian rõ ràng. Nếu bạn bối rối về cách làm điều này trong trường hợp cụ thể của bạn, hãy đăng nó dưới dạng câu hỏi ở đây và tôi sẽ cung cấp cho nó một shot.

— Ben Trettel