Tại sao chúng ta có thể bỏ qua thuật ngữ quán tính (nhưng không nhớt) trong Navier-Stokes ở lưu lượng thấp và độ nhớt cao?

Tại sao chúng ta có thể bỏ qua thuật ngữ quán tính (nhưng không nhớt) trong Navier-Stokes ở lưu lượng thấp và độ nhớt cao?

Hoàn thành Navier-Stokes: $\rho \frac{D\vec{v}}{Dt}=\rho g - \nabla P+ \mu \nabla ^2 \vec{v}$

Thuật ngữ quán tính: .$\frac{D\vec{v}}{Dt}= \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}v_x+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}v_y+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}v_z$

Và như chúng ta giả định một dòng chảy văn phòng phẩm và tỷ lệ thấp: . Và do đó, theo sau đó thuật ngữ quán tính có thể được bỏ qua.$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}\approx0$

Tuy nhiên, trong tài liệu của tôi cũng nói rằng sẽ là thuật ngữ thống trị trong những trường hợp này. Tại sao nó sẽ không như vậy mà ∇ 2 → v → ∂ 2 → $\mu \nabla ^2 \vec{v}$không?$\nabla ^2 \vec{v} \rightarrow \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial x^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial y^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial z^2}\approx0 \rightarrow \mu \nabla ^2 \vec{v} \approx 0$

Thông thường những gì được ngụ ý bởi lưu lượng thấp và độ nhớt cao là chúng ta đang xử lý một luồng được gọi là lưu lượng số Reynold thấp. Số Reynold là số không thứ nguyên là tỷ lệ của lực quán tính ( ) và lực nhớt ( μ U / L ): R e = ρ U $\rho U U$$\mu U/L$ Ví thấpRelực lượng nhớt thống trị (chế độ laminar) và caoRequán tính lực lượng thống trị (chế độ hỗn loạn). Các số không thứ nguyên nhưRehiển thị một cách tự nhiên thông qua một quá trình được gọi là 'chia tỷ lệ' trong đó các phương trình được thực hiện không theo chiều; thông qua quá trình này, sau đó có thể nói thuật ngữ nào không đáng kể dựa trên các giá trị của các số không thứ nguyên có liên quan. Để biết thêm thông tin kiểm tra câu trả lời của tôi chocâu hỏinày.

Về mặt kỹ thuật, nói rằng 'dòng chảy thấp và độ nhớt cao' không đủ để nói rằng chúng ta đang đối phó với một thấp dòng chảy vì nó cũng phụ thuộc vào quy mô chiều dài L (thường là một đường kính ống, vv) và mật độ ρ (không khí hoặc nước ), nhưng nó thường được ngụ ý đó là trường hợp.$\mathrm{Re}$$L$$\rho$

Bây giờ nói cho một lưu lượng thấp mà là không chính xác; những gì bạn có thể có nghĩa là u β ∂ β u α « L ∂ 2 β u α . Đây biện minh cho việc đơn giản hoá các phương trình bằng cách nói rằng u beta ∂ beta u alpha ≈ 0 mà chất phương tiện đó về quán tính là hoàn toàn không đáng kể so với các điều khoản nhớt. u beta ∂ beta u alpha ≈ 0 không bao hàm ∂ beta $\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha \ll \mu\partial_\beta^2u_\alpha$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$ thay vì lưu lượng thấp có nghĩa u beta ≈ 0 trong khi ∂ beta u α có thể là đáng kể. Hãy xem xét các lệnh của độ richter ước tính ∂ beta u α ~ U / L ; đối với các giá trị nhỏ của L (đóng góp vào R e thấp), nó có thể lớn hơn nhiều so với thứ tự O ( U ) . Một lệnh của độ richter phân tích tương tự của các điều khoản nhớt ∂ 2 β u α ~ U / L $\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\approx0$$\partial_\beta u_\alpha$$\partial_\beta u_\alpha \sim U/L$$L$$\mathrm{Re}$$O(U)$$\partial_\beta^2 u_\alpha \sim U/L^2$cho thấy những điều này sẽ còn quan trọng hơn Do đó, lý do tại sao các điều khoản quán tính là không đáng kể nhưng các điều khoản nhớt thì không.

$\nabla ^2 \vec{v}$$|\vec{v}|$$v$$w$$u$

$u$$\nabla u$$\nabla u$

$\nabla ^2 \vec{v} = \{-|\nabla ^2 u|, 0, 0\}$