Phản hồi của hệ thống đối với chức năng bước (chức năng Heaviside)

Tôi muốn tính toán đáp ứng với chức năng bước của hệ thống điện / nhiệt. Nói chung tôi có thể "dễ dàng" tính toán hàm truyền : $H$

H (ω) = \frac{V_{o u t} (ω)}{V_{i n} (ω)}

$H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$

Vì biến đổi Fourier ( ) của hàm Heaviside là (được tính với WA): $\mathcal{F}$

F (θ (t)) = V_{i n} (ω) = \sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}

$\mathcal{F}(\theta(t)) = V_{in}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega}$

Do đó, lưu ý biến đổi Fourier ngược: $\mathcal{IF}$

V_{o u t} (t) = I F {(\sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}) H (ω)}

$V_{out}(t) = \mathcal{IF} \left\{ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega} \right) H(\omega) \right\}$

Để kiểm tra toán của tôi, tôi đã cố gắng tính toán đáp ứng cho một hệ thống RC đơn giản:

Tôi sẽ nhận được điện tích nổi tiếng của các tụ điện. Hàm chuyển:

H (ω) = \frac{1}{1 + i ω R C}

$H(\omega) = \frac{1}{1+i\omega R C}$

Tính toán biến đổi nghịch đảo Fourier ( ) với WA ( ) tôi nhận được: $\mathcal{IF}$ $R=C=1$

Điều này sẽ đúng nếu chúng ta đi ngược thời gian: /. Vì vậy, câu hỏi là ... Tôi đang làm gì sai?

Tôi đã làm tương tự bằng cách sử dụng Laplace Transforms và mọi thứ đều hoạt động tốt ... Nhưng tôi không hiểu tại sao.

Tái bút Tôi không muốn một phương pháp khác, tôi chỉ muốn hiểu những gì sai trong cách tiếp cận của tôi.

PS lý do tại sao tôi sử dụng WA là vì hệ thống phức tạp hơn của tôi, tôi cần tính toán các biến đổi Fourier bằng WA.

— Thế giới
nguồn

Đây không phải là câu trả lời mà bạn đang tìm kiếm, nhưng bài viết này về cách thực hiện Chuyển đổi đảo ngược Laplace rời rạc cho hầu như mọi chức năng chuyển có thể khiến bạn quan tâm.

— user5108_Dan

Cảm ơn bạn đã liên kết thú vị! Tôi vẫn đang cố gắng để hiểu tại sao cần phải biến đổi Laplace. Hoặc tốt hơn, tại sao các biến đổi Fourier không hoạt động ...

— Worldsheep

Bạn có quen thuộc với Laplace Transforms không? Biến đổi Laplace và Fourier khá giống nhau, nhưng tôi không phải là nhà toán học đủ giỏi để mô tả sự khác biệt chính xác. EE thường hoạt động trong miền s (biến đổi Laplace) sẽ giống như phương trình H (w) của bạn nếu bạn thay thế jw bằng s. Ngoài ra, bạn có thể sẽ nhận được câu trả lời tốt hơn nếu bạn đăng câu hỏi này trên trang web dsp.stackexchange.com. Những kẻ đó đang đồng điệu với những thứ này.

— user5108_Dan

Có, tôi nhận thấy rằng EE luôn hoạt động với Laplace trong những trường hợp này và khi tôi đã thử điều đó, nó đã hoạt động tốt! Nhưng theo trực giác, tôi sẽ sử dụng Fourier. Tôi sẽ làm theo lời khuyên của bạn và tôi sẽ truy cập trang web khác!

— Worldsheep

Bạn có thể tìm thấy câu trả lời cho câu hỏi này tại đây: dsp.stackexchange.com/questions/27896/iêu

— Worldsheep

Lý do chính có thể là do Wolfram Alpha áp dụng biến đổi Fourier ngược như một biến đổi Fourier thứ hai. Trong thực tế, làm như vậy "lật thời gian" - như có thể được hiển thị về mặt toán học :

$\mathcal{P}$ $\mathcal{P}[f(t)] ↦ f(−t)$

\begin{aligned} F^{0} & = I d, F^{1} = F, \\ F^{2} & = P, F^{4} = I d, \\ F^{3} & = F^{- 1} = P \circ F = F \circ P \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{F}^0 &= \mathrm{Id}, \quad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \\ \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P}, \quad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}, \\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P} \end{align}$

Áp dụng biến đổi fourier 3 lần vào hệ thống sẽ giúp bạn có được phiên bản trong thời gian bình thường. Vì sóng là thời gian nhất quán, nó thường không thành vấn đề.

— dấu
nguồn