Năng lượng của chùm tia Timoshenko 3D

Tôi quan tâm đến động năng T và thế năng U tiềm năng của chùm tia Timoshenko ba chiều.

Đối với chùm tia Timoshenko 2D, các năng lượng đọc: $$ T = \ dfrac {1} {2} \ int \ terms_o ^ l \ left (\ rho A \ left (\ dfrac {\ part w} {\ part t} \ right) ^ 2 + \ rho I \ left (\ dfrac {\ part \ Phi} {\ part t} \ right) ^ 2 \ right) dx $$ $$ U = \ dfrac {1} {2} \ int \ terms_o ^ l \ left (EI \ left (\ dfrac {\ part \ Phi} {\ part x} \ right) ^ 2 + kAG \ left (\ dfrac {\ part w} {\ part x} - \ Phi \ right) ^ 2 \ right) dx $$

Nhưng trong các công thức này, $ w $ và $ \ Phi $ chỉ được định nghĩa trong x-y-Plane. Làm thế nào tôi có thể lấy được năng lượng để uốn theo cả hai hướng (x-y-Plane và y-z-Plane) và xoắn (quanh trục x)?

EDIT: Tôi đã tự mình tìm ra một phần của câu hỏi: Bởi vì chùm Timoshenko là một lý thuyết tuyến tính, người ta có thể chỉ cần thêm năng lượng của hai biến dạng và lấy năng lượng của sự chồng chất của các biến dạng. Vì thế: $$ T = \ dfrac {1} {2} \ int \ terms_o ^ l \ left (\ rho A \ left (\ dfrac {\ part v} {\ part t} \ right) ^ 2 + \ rho A \ left (\ dfrac {\ part w} {\ part t} \ right) ^ 2 + \ rho I \ left (\ dfrac {\ part \ theta} {\ part t} \ right) ^ 2 + \ rho I \ left ( \ dfrac {\ part \ Phi} {\ part t} \ right) ^ 2 \ right) dx $$ $$ U = \ dfrac {1} {2} \ int \ terms_o ^ l \ left (EI \ left (\ dfrac {\ part \ Phi} {\ part x} \ right) ^ 2 + EI \ left (\ dfrac {\ part \ theta} {\ part x} \ right) ^ 2 + kAG \ left (\ dfrac {\ part v} {\ part x} - \ theta \ right) ^ 2 + kAG \ left (\ dfrac {\ một phần w} {\ một phần x} - \ Phi \ phải) ^ 2 \ phải) dx $$ Trong đó $ w: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {R} $ là độ lệch trong mặt phẳng xy và $ \ Phi: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {R} $ là độ dốc trong mặt phẳng xy. Tương ứng $ v $ và $ \ theta $ cho mặt phẳng y-z. Ai đó có thể vui lòng xác nhận điều này?

Vẫn còn thiếu năng lượng cho xoắn. Lý thuyết của Saint-Venant có thể áp dụng ở đây không?

Tôi có thể không hiểu chính xác, nhưng mô hình Timoshenko đã được phát triển để mở rộng lý thuyết với sự đóng góp của hiệu ứng cắt (thường không đáng kể đối với các chùm mảnh).

Xoắn là trực giao với uốn cong và do đó bạn sẽ không xem xét nó trong tính toán của năng lượng biến dạng uốn.

Cũng như để tham khảo, hãy kiểm tra lý thuyết chùm vlasov để xem xét ảnh hưởng của khớp nối chuyển vị xoắn-trục.

Các mô hình thông minh khác có thể tính đến cả khớp nối xoắn và uốn cong, nhưng ít nhất chúng là một phần mở rộng của mô hình Timoshenko.

Tôi hy vọng điều này có thể giúp đỡ.