Tại sao Mach 0,3 ngăn cách dòng chảy nén và không nén được?

Tôi đã đọc rằng Mach 0,3 gần như là giới hạn trên để coi không khí là chất lỏng không thể nén được. Các nguồn mà tôi đã đọc dường như coi đây là một nguồn nhất định, không có bằng chứng hay biện minh.

Tại sao đây là giới hạn? Có một sự biện minh toán học cho điều này? Ngoài ra, giới hạn này chỉ áp dụng cho không khí? Nếu không, thì giới hạn phụ thuộc vào cái gì?

fluid-mechanics

— Paul
nguồn

Wikipedia đưa ra lý do cho Mach 0,3 là do thực tế là điều này đạt được sự thay đổi mật độ ~ 5%.

Tôi tìm thấy một trang NASA mô tả (phân tích!) Mối quan hệ. Tôi đã trích dẫn nguồn, nhưng tôi sẽ tái tạo tác phẩm ở đây cho hậu thế, trong trường hợp các liên kết của chúng thay đổi.

Bắt đầu với bảo toàn động lượng:

(ρ V) d V = - d p

$(\rho V) dV = -dp \\$

Trong đó $\rho$ là mật độ chất lỏng, $V$ là vận tốc và $p$ là áp suất. cho dòng chảy đẳng hướng:

\frac{d p}{p} = γ \frac{d ρ}{ρ} d p = (\frac{γ p}{ρ}) d ρ

$\frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho} \\ dp = \left( \frac{\gamma p}{\rho} \right) d\rho \\$

$\gamma$

p = ρ R T

$p = \rho R T \\$

$R$ $T$

d p = γ R T d ρ

$dp = \gamma R T d\rho$

Tốc độ của âm thanh có thể được tính bằng:

γ R T = a^{2}

$\gamma R T = a^2 \\$

$a$

d p = a^{2} d ρ

$dp = a^2 d\rho \\$

Thay thế biểu thức trên vào bảo toàn phương trình động lượng cho:

(ρ V) d V = - a^{2} d ρ - (\frac{V^{2}}{a^{2}}) d V / V = d ρ / ρ - M^{2} d V / V = d ρ / ρ

$(\rho V)dV = -a^2 d\rho \\ -\left(\frac{V^2}{a^2}\right)dV/V = d\rho/\rho \\ -M^2 dV/V = d\rho/\rho \\$

$M$

Lưu ý, điều này dựa trên số Mach, do đó phụ thuộc vào tốc độ âm thanh trong khí, do đó, nó tự động được điều chỉnh trên cơ sở mỗi khí.

— Chuck
nguồn

@Paul điều này có nguồn gốc từ việc bảo tồn động lượng. đó không phải là một "quy tắc" như một gợi ý. nếu bạn không quan tâm đến khoảng 10% (hoặc cao hơn) thay đổi về mật độ (hoặc số lượng khác), hãy tiếp tục và sử dụng các mối quan hệ không thể nén cho số Mach cao. nếu bạn làm việc chăm sóc về những thay đổi nhỏ về mật độ, sau đó sử dụng các mối quan hệ nén ngay cả đối với số Mach thấp

— costrom

Đó không chỉ là mật độ. Khi chúng ta không kích thước các phương trình, chúng ta sẽ nhận được các nhóm không thứ nguyên. Nguyên tắc chung là nếu một nhóm không thứ nguyên nhỏ hơn 0,1 chúng ta có thể bỏ qua các điều khoản liên quan. Trong trường hợp số Mach, nó hiện lên bình phương. Vì vậy, chúng tôi muốn (số Mach) ^ 2 <0,1. Điều này xấp xỉ 0,3. Đó không chỉ là mật độ - về cơ bản, tất cả những thứ thay đổi ở tốc độ cao hơn sẽ bị ảnh hưởng khoảng 10% khi số Mach đạt 0,3.

— Joel

@Joel - Đối với ngữ cảnh, OP đã hỏi về khả năng nén cụ thể, đó là lý do tại sao câu trả lời này chỉ bao gồm mật độ.

— Chuck

Tôi sẽ nói rõ hơn rằng đó không phải là một đường phân chia sắc nét. Nếu bạn có sai số thấp hơn cho các lỗi, hãy bắt đầu sử dụng giải pháp có thể nén ở số mach thấp hơn. Nếu bạn không quan tâm nhiều, hãy tiếp tục giả sử không thể nén được ở số mach cao hơn. 10% chỉ là một lựa chọn tùy ý về mức độ "thực sự quan trọng" và 0,3 rơi ra khỏi điều đó về mặt toán học, nhưng không kém phần tùy tiện.

— hobbs 9/2/2016

@chuck - nitpicking ở đây, nhưng coi một thứ gì đó là chất lỏng không thể nén có nghĩa là tôi có thể nói rằng độ phân kỳ của trường vận tốc là 0. Điều đó ảnh hưởng rất nhiều đến mật độ - đến mức khi tôi đi nói chuyện và ai đó nói anh ta cho rằng đó là một chất lỏng không thể nén được, nó thường không phải là một tuyên bố về mật độ.

— Joel