Sự khác biệt giữa mô quán tính cực, và hằng số xoắn, của một mặt cắt là gì?

9

Câu hỏi này về cơ bản là cơ bản đến nỗi tôi gần như lúng túng khi hỏi nhưng nó đã xuất hiện tại nơi làm việc vào ngày khác và gần như không ai trong văn phòng có thể cho tôi một câu trả lời hay. Tôi đã tính toán ứng suất cắt trong một thành viên bằng phương trình, và nhận thấy rằng đối với một trục có tiết diện tròn, . $\frac{Tr}{J_T}$ $J_T = I_P$

Cả và đều được sử dụng để mô tả khả năng chống xoắn của một đối tượng. được định nghĩa là, trong đó = khoảng cách xuyên tâm đến trục mà đang được tính toán. Nhưng không có phương trình phân tích chính xác và được tính toán phần lớn với các phương trình gần đúng mà không có tài liệu tham khảo nào tôi nhìn vào thực sự được xây dựng trên. $I_P$ $J_T$ $I_P$ $\int_{A} \rho^2 dA$ $\rho$ $I_P$ $J_T$

Vì vậy, câu hỏi của tôi là, sự khác biệt giữa mô quán tính cực, và hằng số xoắn, gì? Không chỉ về mặt toán học, mà còn thực tế. Mỗi thuộc tính vật lý hoặc hình học là một đại diện của? Tại sao rất khó tính? $I_P$ $J_T$ $J_T$

— William S. Godfrey-SE
nguồn

9

Hằng số xoắn liên quan góc xoắn với mô men xoắn ứng dụng thông qua phương trình: trong đó là mô men xoắn ứng dụng, là chiều dài của thành viên, là mô đun đàn hồi khi cắt và là hằng số xoắn. $J_T$

ϕ = \frac{T L}{J_{T} G}

$\phi = \frac{TL}{J_T G}$

T

$T$

L

$L$

G

$G$

J_{T}

$J_T$

Mặt khác, quán tính cực tính là một thước đo điện trở của mặt cắt đối với xoắn với mặt cắt bất biến và không có cong vênh đáng kể .

Trường hợp của một thanh tròn dưới xoắn là đặc biệt vì đối xứng tròn, có nghĩa là nó không cong vênh và mặt cắt ngang của nó không thay đổi dưới xoắn. Do đó . $J_T = I_P$

Khi một thành viên không có đối xứng tròn thì chúng ta có thể mong đợi rằng nó sẽ cong vênh dưới sự xoắn và do đó . $J_T \neq I_P$

Mà để lại vấn đề làm thế nào để tính . Thật không may, điều này không đơn giản, đó là lý do tại sao các giá trị (thường là gần đúng) cho các hình dạng phổ biến được lập bảng. $J_T$

Một cách tính hằng số xoắn là sử dụng Hàm ứng suất Prandtl (một cách khác là sử dụng các hàm cong vênh ).

Không đi sâu vào chi tiết, người ta phải chọn hàm ứng suất Prandtl đại diện cho phân phối ứng suất trong thành viên và thỏa mãn các điều kiện biên (nói chung không dễ!). Nó cũng phải thỏa mãn phương trình tương thích của Poisson: Trong đó là góc xoắn trên mỗi đơn vị chiều dài. $\Phi$

\nabla^{2} Φ = - 2 G θ

$\nabla^2 \Phi = -2 G \theta$

θ

$\theta$

Nếu chúng ta đã chọn hàm ứng suất sao cho trên đường biên (điều kiện biên không có lực kéo), chúng ta có thể tìm thấy hằng số xoắn bằng cách: $\Phi = 0$

J_{T} = 2 \int_{A} \frac{Φ}{G θ} d A

$J_T = 2\int_A \frac{\Phi}{G\theta} dA$

Ví dụ: Thanh tiết diện tròn

Do tính đối xứng của tiết diện tròn, chúng ta có thể lấy: trong đó R là bán kính ngoài. Sau đó, chúng tôi nhận được:

Φ = \frac{G θ}{2} (R^{2} - r^{2})

$\Phi = \frac{G\theta}{2} (R^2-r^2)$

J_{T} = 2 π \int_{0}^{R} (R^{2} - r^{2}) r d r = \frac{π R^{4}}{2} = (I_{P})_{c i r c l e}

$J_T = 2\pi\int_0^R (R^2-r^2)rdr = \frac{\pi R^4}{2} = (I_P)_{circle}$

Ví dụ: Thanh tiết diện hình elip

Φ = G θ \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1)

$\Phi = G\theta\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)$ và chắc chắn không bằng mômen quán tính cực của một hình elip:

J_{T} = \int_{A} \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - 1) d A = \frac{π a^{3} b^{3}}{a^{2} + b^{2}}

$J_T = \int_A \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)dA = \frac{\pi a^3 b^3}{a^2+b^2}$

(I_{P})_{e l l i p s e} = \frac{1}{4} π a b (a^{2} + b^{2}) \neq (J_{T})_{e l l i p s e}

$(I_P)_{ellipse} = \frac{1}{4}\pi a b(a^2+b^2) \neq (J_T)_{ellipse}$

Vì nói chung , nếu bạn sử dụng mômen quán tính cực thay vì hằng số xoắn, bạn sẽ tính được các góc xoắn nhỏ hơn. $J_T < I_P$

— mg4w
nguồn

3

Điều này gần như là một sự trùng hợp ngẫu nhiên, và nó chỉ đúng với các mặt cắt tròn rắn hoặc rỗng. Tất nhiên các trục mang xoắn thường là hình tròn, vì những lý do độc lập với câu hỏi!

Sự xoắn của trục tròn là đơn giản về mặt vật lý vì tính đối xứng của hình tròn. Theo đối xứng, ứng suất và biến dạng tại bất kỳ điểm nào chỉ có thể là một hàm của khoảng cách xuyên tâm từ đường tâm của trục. Theo định lý của Pythagoras, bạn có thể lấy một cặp trục tùy ý và biểu thị bán kính là . $r^2 = x^2 + y^2$

Sử dụng thực tế đó, bạn có thể chuyển đổi tích phân trên mặt cắt ngang thành tổng của hai tích phân theo hướng và , và một lần nữa bằng cách đối xứng hai tích phân đó phải bằng nhau. $x$ $y$

Dạng tích phân xảy ra chính xác là dạng toán học tương tự như đối với khoảnh khắc thứ hai của diện tích của chùm tia tròn, dẫn đến kết quả mà bạn đã hỏi.

Điều này không làm việc cho các phần không tròn, bởi vì phân phối ứng suất không đối xứng hoàn toàn. Ví dụ: nếu bạn so sánh hằng số xoắn và mô men cực của tiết diện vuông, bạn sẽ thấy "hằng số" trong hai công thức là khác nhau. Mặt cắt càng lệch khỏi một vòng tròn, sự khác biệt sẽ càng lớn.

Hằng số xoắn cho một phần có hình dạng phức tạp (ví dụ như dầm chữ I) rất khó tính vì phân bố ứng suất trên phần này rất phức tạp và không có "công thức" đơn giản nào cho bạn về mặt tích hợp toán học. Nhiều công thức cho xoắn trong sổ tay kỹ thuật dựa trên các giả định đơn giản hóa hơn là các giải pháp toán học "chính xác".

Nhưng trong thực tế, "lỗi" không quá quan trọng, bởi vì khi tải xoắn được áp dụng cho cấu trúc không tròn, các mặt cắt ngang "cong vênh", tức là chúng không còn là mặt phẳng . Trong cuộc sống thực, số lượng cong vênh thường không được biết, bởi vì các hạn chế ở hai đầu của trục ảnh hưởng đến nó. Nếu bạn thực sự cần một ước tính chính xác về độ cứng xoắn của một thành phần không tròn, bạn phải tạo một mô hình 3 chiều đầy đủ của chính thành phần đó và cách nó được cố định với phần còn lại của cấu trúc. Nếu bạn tạo một mô hình với mức độ chi tiết đó, sẽ không có nhiều điểm trong việc giảm câu trả lời xuống một số chỉ để bạn có thể gọi nó là "độ cứng xoắn".

— alephzero
nguồn

0

Khoảnh khắc cực của quán tính, Ip, là lực cản của vật rắn bị xoắn. Tuy nhiên, mômen quán tính quay của quán tính, J, là mômen quán tính của vật rắn quay. Xem trang web này .

Theo tôi hiểu, J giống như thời điểm quán tính bình thường, nhưng đối với các vật thể quay.

— galtor
nguồn

1

Đừng nhầm lẫn với . Ông đang hỏi về khoảnh khắc cực của khu vực , chứ không phải khoảnh khắc cực của quán tính .

I_{z z} = \int r^{2} d A

$I_{zz} = \int r^2 {\rm d}A$

I_{z z} = \int r^{2} d m

$I_{zz} = \int r^2 {\rm d}m$

— ja72