tính toán vị trí đỉnh mới cho một ma trận biến đổi?

Làm cách nào tôi có thể nhận được vị trí mới của đỉnh của mình với ma trận biến đổi 4 x 4 hoặc chỉ đơn giản là 9 số float (vị trí X, vị tríY, vị tríZ, rotationH, rotationP, rotationR, scaleX, scaleY, scaleZ)? Thông thường tôi có thể gán ma trận cho lưới cuối cùng của mình (hoặc "nút" hoặc "đối tượng" hoặc "geom"), nhưng ngay bây giờ tôi cần phải thực hiện thủ công.

Để áp dụng ma trận biến đổi 4 x 4 chung cho một đỉnh được biểu thị dưới dạng vectơ 3 chiều, bạn cần phải:

1. Mở rộng vectơ vào chiều thứ 4 bằng cách thêm 1 làm thành phần w:

   (x, y, z) => (x, y, z, 1)

2. Nhân ma trận biến đổi với vectơ 4 chiều ở trên. Kết quả sẽ là một vectơ 4 chiều khác:

   ( 4x4 matrix ) * (x, y, z, 1) => (tx, ty, tz, w)

   Công thức chung để nhân ma trận 4 x 4 với vectơ 4x1 là (nếu tôi không làm hỏng):

   [ m11 m12 m13 m14 ][ x ]   [ m11 * x + m12 * y + m13 * z + m14 * w ]
   [ m21 m22 m23 m24 ][ y ]   [ m21 * x + m22 * y + m23 * z + m24 * w ]
   [ m31 m32 m33 m34 ][ z ] = [ m31 * x + m32 * y + m33 * z + m34 * w ]
   [ m41 m42 m43 m44 ][ w ]   [ m41 * x + m42 * y + m43 * z + m44 * w ]
   

   Hoặc nếu bạn xem xét cấu hình thông thường của ma trận biến đổi:

   [ m11 m12 m13 px ][ x ]   [ m11 * x + m12 * y + m13 * z + px ]
   [ m21 m22 m23 py ][ y ]   [ m21 * x + m22 * y + m23 * z + py ]
   [ m31 m32 m33 pz ][ z ] = [ m31 * x + m32 * y + m33 * z + pz ]
   [ 0   0   0   1  ][ 1 ]   [ 1 ]
   

3. Chuyển đổi nó trở lại chiều thứ 3 bằng cách đồng nhất hóa vectơ, tức là chia mọi thứ cho thành phần thứ tư w:

   (tx, ty, tz, w) => (tx/w, ty/w, tz/w)

   Vấn đề là nếu ma trận biến đổi của bạn chỉ thực hiện một bản dịch / xoay / tỷ lệ đơn giản, giá trị của wsẽ là 1 và bạn chỉ có thể bỏ thành phần thứ tư vì nó sẽ giống như chia cho 1.

   Nhưng thật tốt khi nhớ rằng việc thả thành phần w không hoạt động cho mọi trường hợp, ví dụ với ma trận chiếu bạn phải nhớ để thực hiện bước thứ ba này.

Phép nhân vectơ ma trận:

[ rxx rxy rxz px ] [ vx ]   [ vx' ]
[ ryx ryy ryz py ] [ vy ]   [ vy' ]
[ ryx ryy ryz pz ] [ vz ] = [ vz' ]
[   0   0   0  1 ] [  1 ]   [  1  ]

Xem trang trên wikipedia để biết thêm