Bản đồ một chiều của thế giới?

59

Một chút của một câu hỏi lạ nhưng hy vọng điều này là ổn để hỏi ở đây.

Có ai đã nghe nói về phép chiếu "1 chiều" của bản đồ thế giới - đó là ánh xạ tất cả các điểm trên quả địa cầu thành một đường duy nhất?

Tôi đã nghĩ đến việc làm một việc như vậy - cố gắng giữ cho các thành phố 'gần gũi' trên toàn cầu 'gần gũi' trên đường dây.

Trước khi tôi làm điều này, tôi đã tự hỏi trạng thái của nghệ thuật có thể là gì trong lĩnh vực này?

cartography coordinate-system

— utunga
nguồn

Ý tưởng hay, nhưng tôi muốn nói rằng dòng đó là tính năng '2 chiều'.

— Vent Lam

16

Các dòng là 1 chiều vì chỉ mất một tọa độ để xác định vị trí bất kỳ điểm nào dọc theo nó. Điểm là 0 chiều và đa giác là 2 chiều.

— blah238

5

phép chiếu Apple Peel: t1.thpservice.com/fotos/thum4/013/881/sfd-362035.jpg , mặc dù tôi chưa gặp bất kỳ thuật toán sẵn sàng sử dụng nào cho nó ... ;-)

— matt wilkie

2

@Matt Thật là dễ thương. Theo một xấp xỉ tốt, phép chiếu này ánh xạ các điểm gần (lat, lon) = (f, l) đến (Int ((90-f) / e), l) trong đó e là số "xoắn ốc" trong vỏ. (Tôi hơi khó hiểu một chút, nhưng đây là ý chính của nó.) Vấn đề là khi e càng lớn, các điểm không liên tục càng dày đặc, ngụ ý rằng nó hoàn toàn ngược lại với hành vi mong muốn: gần như tất cả các cặp điểm gần trái đất được ánh xạ xa nhau.

— whuber

49

Một kỹ thuật chung để ánh xạ một tập hợp các điểm (trong đó khoảng cách được đưa ra) vào một không gian Euclide (chẳng hạn như ba không gian, một mặt phẳng hoặc thậm chí là một đường) với độ méo tối thiểu của khoảng cách được gọi là Thang đo đa chiều (MDS). Có một số thuật toán. Các giải pháp có sẵn miễn phí trong R và thường được cung cấp với các gói thống kê thương mại.

20 thành phố lớn nhất ở Mỹ được ánh xạ ở đây với cài đặt MDS mặc định của Stata 11. Các con bọ biểu thị khoảng cách 100 km.

Mỹ một chiều

— whuber
nguồn

tuyệt vời - vâng, đây chính xác là những gì tôi dự định làm - mặc dù tôi đã hy vọng sử dụng thuật toán MDS có tên là "Stochastic Neighbor Embpping" nhưng về bản chất thì cũng vậy. Tôi thấy rằng bạn đã làm điều này, tuy nhiên. Điều chính tôi nghĩ, là nó trông khá logic / tốt với tôi! Ý tôi là thú vị, đó là cách riêng của nó. Cảm ơn!

— utunga

Chia tỷ lệ đa chiều là công cụ 2D!

— huckfinn

@huckfinn Nó có thể được thực hiện ở bất kỳ số lượng kích thước nào; 2 chỉ là một ứng dụng phổ biến. Xem, liên alia , Buja et al. người không cung cấp giới hạn cho kích thước k và có ví dụ đầu tiên (Hình 1, bên trái) rõ ràng hoạt động theo một chiều. Hoặc chỉ cần tìm kiếm giải pháp MDS 1D của tôi!

— whuber

Đúng là như vậy, nhưng dưới IMO 2D, điều đó không có nghĩa gì, MDS sẽ bị suy giảm thành phép đo khoảng cách thông thường và chiếu lại cho chuỗi số. Thông thường biến thành sắp xếp Tôi không shure?

— huckfinn

Bạn có thực sự tuyên bố rằng bản đồ tôi trình bày trong câu trả lời này "không có ý nghĩa"? Đó là sẽ cần lời giải thích đáng từ phía bạn, như bất cứ ai rõ ràng có thể thấy rằng (1) nó không truyền đạt thông tin địa lý hữu ích và (2) nó không giảm để "đo khoảng cách bình thường."

— whuber

17

Cảm ơn rất nhiều cho @whuber cho câu trả lời ban đầu. nghĩ rằng tôi nên tải lên kết quả của tôi làm nhiều như vậy ...

Đối với giá trị của nó, dạng MDS cụ thể mà tôi đã sử dụng là thứ gọi là t-SNE (hay còn gọi là 'Stochastic Neihbor Nhúng' ) để đạt được các hình ảnh sau.

Dưới đây là hình ảnh của tất cả các thành phố theo thứ tự - trên trục trái là vị trí 1-d thực tế cho thành phố đó và các thành phố được sắp xếp theo thứ tự từ trên xuống dưới, từ trái sang phải qua trục đó .. color = country

Đây là một hình ảnh khác khi tôi chụp dòng thành phố nhưng vẽ nó trên bản đồ thế giới .. Tôi đoán vấn đề mấu chốt này giảm xuống một vấn đề khá gần với vấn đề nhân viên bán hàng du lịch - nhưng với sự khác biệt đó không chỉ là việc đặt hàng các thành phố mà là ánh xạ các thành phố đến đường 1-d ...

con đường xuyên qua bản đồ thế giới

Nếu bất cứ ai muốn dữ liệu đầu ra đầy đủ hoặc phương pháp được sử dụng ở đây, xin vui lòng nhắn tin cho tôi.

-

BIÊN TẬP:

Đáp lại cam kết của @ whuber ..

Có bạn đúng khi bạn nhấn mạnh khoảng cách địa phương (nghĩa là khoảng cách địa phương của hàng xóm ngay lập tức phải càng gần với khoảng cách thực tế trên bản đồ thế giới), vấn đề MDS giảm xuống cho vấn đề nhân viên bán hàng du lịch. Tuy nhiên, nếu bạn nhấn mạnh việc tối ưu hóa (hoặc khớp) khoảng cách trên một phạm vi rộng hơn / vừa phải hơn, bạn có thể nhận được các kết quả khác nhau. Ví dụ: đây là những gì thuật toán t-sne mang lại khi bạn sử dụng giá trị cao hơn cho 'perplexity': nhập mô tả hình ảnh ở đây

— utunga
nguồn

Cám ơn vì đã chia sẻ. Điều này thực sự giống với nhân viên bán hàng du lịch: đó không phải là MDS. Một giải pháp MDS sẽ có nhiều biến dạng hơn nhưng nhiều hơn về mối quan hệ thường xuyên, có thể dự đoán được giữa thế giới và bản đồ. Như vậy, trả lời của bạn tạo thành một giải pháp khác cho vấn đề ban đầu.

— whuber

cập nhật câu trả lời của tôi để đưa ra một biến thể khác, hãy quan tâm đến quan điểm của bạn.

— utunga

Thứ hai là một giải pháp tò mò và thú vị, thực sự. Có vẻ như thuật toán "t-sne" của bạn cố gắng truy cập chính xác từng điểm . Trong trường hợp 2D, đây là một dạng tương tự, để tạo ra một phép chiếu cục bộ có độ chính xác cao xung quanh mỗi điểm và sau đó cho phép phép chiếu giữa các điểm, làm biến dạng khoảng cách và định hướng của chúng một cách đáng tiếc trong khi duy trì độ trung thực cục bộ gần như hoàn hảo. Tôi cho rằng có thể có một số sử dụng chuyên dụng, nhưng trong thực tế, người ta thường cho phép một chút lỗi chiếu vì nó cho phép đủ độ chùng để cải thiện đáng kể giải pháp toàn cầu.

— whuber

12

Những gì bạn có thể làm là che khoảng trống 2 chiều của bạn bằng đường cong lấp đầy không gian 1 chiều, chẳng hạn như đường cong Peano hoặc Đường cong Hilbert. Sau đó, bạn ánh xạ các điểm của bạn vào điểm gần nhất trên đường cong. Mở đường cong và bạn ở một mức độ nhất định có được một đường với các thành phố gần nhất trong không gian gần nhất trên đường.

Nó không hoàn hảo (tôi không nghĩ bất cứ điều gì có thể), nhưng tôi đã thấy nó được sử dụng làm cơ sở cho thuật toán nhân viên bán hàng du lịch - ý tưởng là nếu bạn thực hiện chuyến đi của nhân viên bán hàng dọc theo tuyến thì đó sẽ là một xấp xỉ tốt giải pháp tốt nhất.

— Spainedman
nguồn

4

Điều này không có tác dụng, nhưng hãy cẩn thận: các thành phố gần nhất một đường sẽ ở gần trong không gian, nhưng các thành phố gần trong không gian nói chung sẽ không gần nhau trên đường (bản đồ đường cong-> ℝ² liên tục, bởi không có nghịch đảo liên tục).

— leftaroundabout

2

câu trả lời này sẽ được hưởng lợi từ một ví dụ đồ họa về đường cong Peano / Hilbert trông như thế nào (và / hoặc liên kết đến các định nghĩa)

— matt wilkie

1

hoặc bạn có thể tự mình truy cập wikipedia ... tất cả đều ở đó, tôi không thực sự thấy điểm lặp lại của wikipedia ở đây quá nhiều ...

— Spainedman

1

Vâng, tôi nghĩ rằng bạn có thể lặp lại một chút! Làm thế nào về một liên kết hoặc hai và một hình ảnh?

— blah238

Đối với mục đích minh họa, người ta có thể xem bản đồ Internet XKCD của Randall Munroe , sử dụng chính xác kỹ thuật này (mặc dù ngược lại, tức là ánh xạ một đường thẳng tới một mặt phẳng)

— waldyrious

9

Những câu hỏi kỳ lạ thường là những câu hỏi thú vị nhất!

Nếu bạn đang tìm kiếm một trạng thái của nghệ thuật theo cách các kích thước được sử dụng trong bản đồ học, bạn có thể bắt đầu với sơ đồ bán đồ họa của Bertin . Theo Bertin, một mảnh giấy (hoặc bề mặt ipad) có 3 kích thước: Hai kích thước phẳng, cộng với giá trị / kết cấu. Cấu trúc bán đồ họa cung cấp các quy tắc để ánh xạ kích thước thông tin theo các kích thước đại diện này. Khi hai kích thước phẳng là kích thước không gian, đồ họa là bản đồ và kích thước thứ ba được sử dụng cho thông tin cần biểu thị.

Nếu bạn muốn tạo bản đồ 1 chiều, điều đó có nghĩa là bạn chọn hạn chế không sử dụng một trong các kích thước của giấy để thể hiện thông tin bạn muốn (khoảng cách giữa các thành phố). Có thực sự cần thiết để áp đặt các ràng buộc như vậy và không tạo ra một bản đồ bình thường?

Nếu nó thực sự cần thiết, như đã nói trong các câu trả lời khác, nó không thể được thực hiện! Mối quan hệ gần gũi giữa các thành phố không thể được thể hiện trong một chiều. Đối với điều đó, bạn có thể:

Sử dụng "phương pháp lấy người dùng làm trung tâm": Nếu đối tượng bản đồ được đặt ở đâu đó hoặc có một địa điểm cụ thể để tập trung vào, địa điểm này có thể được lấy làm nguồn gốc và tất cả các thành phố khác có thể được sắp xếp theo khoảng cách của họ với nguồn gốc này.
Sắp xếp các thành phố không chỉ theo khoảng cách tương đối của chúng, mà theo các tiêu chí tương tự khác (dân số, lục địa, số lượng xe trên mỗi cư dân, v.v.). Sau đó, một số phương pháp điều trị thống kê như phân tích thành phần chính có thể đưa ra một dòng thứ nguyên duy nhất mà các thành phố có thể được xếp hạng cùng.

— tháng bảy
nguồn

Tất cả các câu trả lời ở đây cho đến nay đều rất thú vị và được chiếu sáng. Viên đạn đầu tiên trong số này, chọn một điểm gốc và tất cả các viên đạn khác là "khoảng cách từ điểm gốc", dường như là thực tế ngay lập tức nhất.

— matt wilkie

Chiếu vào hai chiều "cũng không thể thực hiện được", như đã biết! BTW, có vô số ứng dụng cho các phép chiếu 1D, chẳng hạn như bản đồ dải cho các chuyến đi lập kế hoạch.

— whuber

7

trying to keep cities that are 'close' on the globe 'close' on the line

Tưởng tượng ba thành phố có cùng khoảng cách với nhau, ví dụ tại các đỉnh của một tam giác đều. Làm thế nào bạn sẽ đại diện cho điều đó trên một dòng? Một số thông tin sẽ bị mất.

Hoặc bạn loại bỏ hoàn toàn một chiều, ví dụ: chiếu tất cả các thành phố song song hoặc theo kinh tuyến (cái sau sẽ thú vị vì chúng ta không quen so sánh vị trí tương đối bắc / nam của các thành phố giữa các quốc gia khác nhau) hoặc bạn chọn một thành phố cụ thể thước đo chiều, ví dụ "khoảng cách từ New York".

Đường cong Peano được đề xuất bởi Spacesman rất thú vị và sẽ tạo ra một bản đồ gốc, nhưng các thành phố lân cận có thể kết thúc rất xa trên đường cong đó.

— Chú
nguồn

5

... giữ cho các thành phố của bạn gần gũi và các quả địa cầu của bạn gần hơn ...

— Thomas

1

+1 Nhận xét tốt. Tuy nhiên, đó không phải là một hoặc một đề xuất: bạn không phải chiếu đến một dòng hoặc giảm nó xuống khoảng cách từ một điểm chuẩn. Các giải pháp phi tuyến có sẵn, giống như chúng được sử dụng cho các phép chiếu 2D (thông thường). Mục tiêu là để giảm thiểu một số thước đo về sự khác biệt giữa khoảng cách dự kiến và khoảng cách thực tế. Về mặt này, đường cong Peano sẽ đặc biệt kém, nhưng các biến thể của nó (thích nghi để vượt qua tất cả các điểm mong muốn ở giai đoạn đầu của quá trình xây dựng) có thể hoạt động - loại.

— whuber

3

Tôi chưa bao giờ sử dụng nó, nhưng tôi nghĩ GeoHash có thể hoạt động cho việc này.

Geohash cung cấp các thuộc tính như độ chính xác tùy ý và khả năng loại bỏ dần các ký tự khỏi phần cuối của mã để giảm kích thước của nó (và mất dần độ chính xác).

Do hậu quả của sự xuống cấp chính xác dần dần, những nơi gần đó sẽ thường (nhưng không phải luôn luôn) xuất hiện các tiền tố tương tự. Ngược lại, tiền tố được chia sẻ càng dài thì hai địa điểm càng gần nhau.

— Kirk Kuykendall
nguồn

Các giá trị băm này có xu hướng hoạt động bằng cách mã hóa các phân vùng tinh chế trên bề mặt của hình cầu thành các từ và do đó vốn là hai chiều. Không rõ người ta sẽ trích xuất tọa độ một chiều từ họ như thế nào (theo bất kỳ cách có ý nghĩa nào).

— whuber

@whuber Vì vậy, nếu tôi có một danh sách các thành phố và tạo ra các giá trị băm cho chúng bằng cách chuyển lat / long của chúng cho geohash.org, sau đó sắp xếp các thành phố dựa trên hàm băm, thì thứ tự của các thành phố sẽ thể hiện ánh xạ một chiều ( bất kể nó chính xác đến mức nào)?

— Kirk Kuykendall

1

Nó phụ thuộc hoàn toàn vào hàm băm. Một đơn đặt hàng không phải là một chiều, nó chỉ là một đơn đặt hàng. Ngoài ra, bạn cần một tọa độ số có ý nghĩa. Nếu điều đó cũng xuất phát từ hàm băm, thì thực sự bạn có phép chiếu 1D, nhưng nó có thể có các thuộc tính khủng khiếp. Toàn bộ vấn đề đối với các dự đoán là bỏ qua các biến dạng không quan trọng đối với việc hình dung hoặc phân tích và giảm thiểu những điều đó. Rất khó có khả năng bất kỳ hàm băm nào sẽ hữu ích như một phép chiếu cho hầu hết các mục đích.

— whuber