Câu hỏi này giả định một mô hình ellipsoidal của trái đất. Bề mặt tham chiếu của nó thu được bằng cách xoay một hình elip xung quanh trục nhỏ của nó (được vẽ theo chiều dọc theo quy ước). Một hình elip như vậy chỉ là một vòng tròn được kéo dài theo chiều ngang bởi một yếu tố a và theo chiều dọc bởi một yếu tố b . Sử dụng tham số tiêu chuẩn của vòng tròn đơn vị,
t --> (cos(t), sin(t))
( định nghĩa cosine và sin), chúng ta có được một tham số hóa
t --> (a cos(t), b sin(t)).
(Hai thành phần của tham số hóa này mô tả một chuyến đi quanh đường cong: chúng chỉ định, theo tọa độ của Cartesian, vị trí của chúng tôi tại "thời gian" t .)
Các vĩ độ trắc địa , f , của bất kỳ điểm nào là góc mà "lên" làm cho với mặt phẳng xích đạo. Khi a khác với b , giá trị của f khác với giá trị của t (ngoại trừ dọc theo đường xích đạo và ở hai cực).
Trong ảnh này, đường cong màu xanh là một góc phần tư của hình elip như vậy (được phóng đại rất nhiều so với độ lệch tâm của trái đất). Dấu chấm màu đỏ ở góc dưới bên trái là trung tâm của nó. Đường đứt nét chỉ định bán kính đến một điểm trên bề mặt. Hướng "lên" của nó được hiển thị với một đoạn màu đen: theo định nghĩa, nó vuông góc với hình elip tại điểm đó. Do độ lệch tâm phóng đại, dễ dàng thấy rằng "lên" không song song với bán kính.
Theo thuật ngữ của chúng tôi, t liên quan đến góc tạo bởi bán kính so với phương ngang và f là góc tạo bởi đoạn màu đen đó. (Lưu ý rằng bất kỳ điểm nào trên bề mặt đều có thể được xem từ phối cảnh này. Điều này cho phép chúng tôi giới hạn cả t và f nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ; cosin và sin của chúng sẽ dương, vì vậy chúng tôi không phải lo lắng về tiêu cực căn bậc hai trong công thức.)
Bí quyết là để chuyển đổi từ các t -parameterization đến một trong các điều khoản của f , bởi vì trong điều kiện của t bán kính R là dễ dàng để tính toán (thông qua định lý Pythagore). Hình vuông của nó là tổng bình phương của các thành phần của điểm,
R(t)^2 = a^2 cos(t)^2 + b^2 sin(t)^2.
Để thực hiện chuyển đổi này, chúng ta cần liên kết hướng "lên" f với tham số t . Hướng này vuông góc với tiếp tuyến của hình elip. Theo định nghĩa, một tiếp tuyến của một đường cong (được biểu thị dưới dạng vectơ) có được bằng cách phân biệt tham số hóa của nó:
Tangent(t) = d/dt (a cos(t), b sin(t)) = (-a sin(t), b cos(t)).
(Sự khác biệt tính toán tốc độ thay đổi. Tốc độ thay đổi vị trí của chúng ta khi chúng ta di chuyển quanh đường cong dĩ nhiên là vận tốc của chúng ta và luôn luôn chỉ dọc theo đường cong.)
Xoay theo chiều kim đồng hồ 90 độ để có được đường vuông góc, được gọi là vectơ "bình thường":
Normal(t) = (b cos(t), a sin(t)).
Độ dốc của vectơ bình thường này, bằng (a sin (t)) / (b cos (t)) ("tăng lên khi chạy"), cũng là tiếp tuyến của góc mà nó tạo ra theo phương ngang, từ đó
tan(f) = (a sin(t)) / (b cos(t)).
Tương đương,
(b/a) tan(f) = sin(t) / cos(t) = tan(t).
(Nếu bạn có cái nhìn sâu sắc tốt vào Euclid, bạn có thể có được mối quan hệ này trực tiếp từ định nghĩa của một hình elip mà không cần trải qua bất kỳ trang điểm hay tính toán, đơn giản bằng cách công nhận rằng mở rộng theo chiều ngang và thẳng đứng kết hợp bởi một và b tương ứng có tác dụng thay đổi tất cả các độ dốc theo yếu tố này b / a .)
Nhìn lại công thức của R (t) ^ 2: chúng ta biết a và b - họ xác định hình dạng và kích thước của hình elip - vì vậy chúng ta chỉ cần tìm cos (t) ^ 2 và sin (t) ^ 2 về mặt f , phương trình trước cho phép chúng ta thực hiện dễ dàng:
cos(t)^2 = 1/(1 + tan(t)^2)
= 1 / (1 + (b/a)^2 tan(f)^2)
= a^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2);
sin(t)^2 = 1 - cos(t)^2
= b^2 tan(f)^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2).
(Khi tan (f) là vô hạn, chúng ta ở cực, vì vậy chỉ cần đặt f = t trong trường hợp đó.)
Đây là kết nối chúng ta cần. Thay thế các giá trị này cho cos (t) ^ 2 và sin (t) ^ 2 vào biểu thức cho R (t) ^ 2 và đơn giản hóa để có được
R(f)^2 = ( a^4 cos(f)^2 + b^4 sin(f)^2 ) / ( a^2 cos(f)^2 + b^2 sin(f)^2 ).
Một phép biến đổi đơn giản cho thấy phương trình này giống như phương trình được tìm thấy trên Wikipedia. Bởi vì a ^ 2 b ^ 2 = (ab) ^ 2 và (a ^ 2) ^ 2 = a ^ 4,
R(f)^2 = ( (a^2 cos(f))^2 + (b^2 sin(f))^2 ) / ( (a cos(f))^2 + (b sin(f))^2 )
(b^4 sin(f))^2nên thay đổi thành(b^4 sin(f)^2)?