Làm thế nào chính xác là xấp xỉ Trái đất như một hình cầu?

Mức độ lỗi nào tôi gặp phải khi xấp xỉ trái đất là một hình cầu? Cụ thể, khi xử lý vị trí của các điểm và, ví dụ, khoảng cách vòng tròn lớn giữa chúng.

Có nghiên cứu nào về lỗi trung bình và trường hợp xấu nhất so với ellipsoid không? Tôi đang tự hỏi tôi sẽ hy sinh bao nhiêu độ chính xác nếu tôi đi bằng một quả cầu để tính toán dễ dàng hơn.

Kịch bản cụ thể của tôi liên quan đến việc ánh xạ trực tiếp tọa độ WGS84 như thể chúng là tọa độ trên một hình cầu hoàn hảo (với bán kính trung bình được xác định bởi IUGG) mà không có bất kỳ biến đổi nào.

Nói tóm lại, khoảng cách có thể bị lỗi lên tới khoảng 22km hoặc 0,3%, tùy thuộc vào các điểm trong câu hỏi. Đó là:

• Lỗi có thể được biểu thị theo nhiều cách tự nhiên, hữu ích , chẳng hạn như lỗi (i) (dư), bằng với chênh lệch giữa hai khoảng cách tính toán (tính bằng km) và (ii) lỗi tương đối, bằng với chênh lệch chia cho Giá trị "chính xác" (ellipsoidal). Để tạo ra các số thuận tiện để làm việc, tôi nhân các tỷ lệ này với 1000 để biểu thị sai số tương đối tính theo phần nghìn .

• Các lỗi phụ thuộc vào các điểm cuối. Do sự đối xứng quay của ellipsoid và hình cầu và đối xứng hai bên (bắc-nam và đông-tây) của chúng, chúng ta có thể đặt một trong những điểm cuối ở đâu đó dọc theo kinh tuyến gốc (kinh độ 0) ở bán cầu bắc (vĩ độ từ 0 đến 90 ) và điểm cuối khác ở bán cầu đông (kinh độ từ 0 đến 180).

Để khám phá những phụ thuộc này, tôi đã vẽ các lỗi giữa các điểm cuối tại (lat, lon) = (mu, 0) và (x, lambda) là một hàm của vĩ độ x trong khoảng từ -90 đến 90 độ. (Tất cả các điểm trên danh nghĩa ở độ cao ellipsoid bằng 0.) Trong các hình, các hàng tương ứng với các giá trị của mu ở {0, 22,5, 45, 67,5} độ và các cột đối với các giá trị của lambda ở {0, 45, 90, 180} độ. Điều này cho chúng ta một cái nhìn tốt về phổ của các khả năng. Theo dự kiến, kích thước tối đa của chúng xấp xỉ bằng phẳng (khoảng 1/300) lần so với trục chính (khoảng 6700 km), hoặc khoảng 22 km.

Lỗi

Lỗi tương đối

Đường viền

Một cách khác để hình dung các lỗi là sửa một điểm cuối và để cho điểm khác thay đổi, tạo đường viền cho các lỗi phát sinh. Ở đây, ví dụ, là một đường đồng mức trong đó điểm cuối đầu tiên ở 45 độ vĩ bắc, 0 độ kinh độ. Như trước đây, các giá trị lỗi được tính bằng km và lỗi dương có nghĩa là phép tính hình cầu quá lớn:

Nó có thể dễ đọc hơn khi được bao quanh toàn cầu:

Dấu chấm màu đỏ ở phía nam nước Pháp cho thấy vị trí của điểm cuối đầu tiên.

Đối với bản ghi, đây là mã Mathicala 8 được sử dụng để tính toán:

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

Và một trong các lệnh vẽ:

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]

Tôi đã khám phá câu hỏi này gần đây. Tôi nghĩ mọi người muốn biết

1. Tôi nên sử dụng bán kính hình cầu nào?
2. lỗi kết quả là gì?

Một số liệu hợp lý cho chất lượng của xấp xỉ là sai số tương đối tuyệt đối tối đa trong khoảng cách vòng tròn lớn

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

với đánh giá tối đa trên tất cả các cặp điểm có thể.

Nếu độ phẳng f nhỏ, bán kính hình cầu giảm thiểu sai số rất gần với (a + b) / 2 và kết quả là lỗi

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

(được đánh giá với 10 ^ 6 cặp điểm được chọn ngẫu nhiên). Đôi khi nó được đề xuất sử dụng (2 * a + b) / 3 làm bán kính hình cầu. Điều này dẫn đến một lỗi lớn hơn một chút, err = 5 * f / 3 = 0,56% (đối với WGS84).

Trắc địa có chiều dài được đánh giá thấp nhất bởi phép tính gần đúng hình cầu nằm gần một cực, ví dụ: (89.1,0) đến (89.1.180). Trắc địa có chiều dài được đánh giá cao nhất bằng phép tính gần đúng hình cầu là kinh tuyến gần xích đạo, ví dụ, (-0,1,0) đến (0,1,0).

ĐỊA CHỈ : Đây là một cách khác để tiếp cận vấn đề này.

Chọn các cặp điểm phân bố đồng đều trên ellipsoid. Đo khoảng cách ellipsoidal s và khoảng cách trên một quả cầu đơn vị t . Đối với bất kỳ cặp điểm nào, s / t cho bán kính hình cầu tương đương. Trung bình đại lượng này trên tất cả các cặp điểm và điều này cho bán kính hình cầu tương đương trung bình. Có một câu hỏi về chính xác làm thế nào trung bình nên được thực hiện. Tuy nhiên tất cả các lựa chọn tôi đã thử

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

tất cả xuất hiện trong một vài mét bán kính trung bình được đề xuất của IUGG, R ₁ = (2 a + b ) / 3. Do đó, giá trị này giảm thiểu sai số RMS trong tính toán khoảng cách hình cầu. (Tuy nhiên, nó dẫn đến một lỗi tương đối tối đa lớn hơn một chút so với ( a + b ) / 2; xem ở trên.) Vì R ₁ có thể được sử dụng cho các mục đích khác (tính toán diện tích và tương tự), có lý do chính đáng để gắn bó với sự lựa chọn này để tính toán khoảng cách.

Điểm mấu chốt :

• Đối với bất kỳ loại công việc có hệ thống nào, trong đó bạn có thể chịu được sai số 1% trong tính toán khoảng cách, hãy sử dụng một hình cầu có bán kính R ₁ . Sai số tương đối tối đa là 0,56%. Sử dụng giá trị này một cách nhất quán khi bạn ước chừng trái đất bằng một hình cầu.
• Nó bạn cần độ chính xác bổ sung, giải quyết vấn đề trắc địa ellipsoidal.
• Để tính toán lại đường bao, sử dụng R ₁ hoặc 6400 km hoặc 20000 / pi km hoặc a . Những kết quả này trong một lỗi tương đối tối đa khoảng 1%.

PHỤ LỤC KHÁC : Bạn có thể thu được độ chính xác cao hơn một chút từ khoảng cách vòng tròn lớn bằng cách sử dụng μ = tan ¹ ((1 - f ) ^3/2 tanφ) (vĩ độ chỉnh lưu của một người nghèo) làm vĩ độ trong phép tính vòng tròn lớn. Điều này giúp giảm sai số tương đối tối đa từ 0,56% xuống 0,11% (sử dụng R ₁ làm bán kính của hình cầu). (Không rõ liệu có thực sự đáng để thực hiện phương pháp này hay không so với việc tính toán trực tiếp khoảng cách trắc địa hình elip.)