Một trong những đồng nghiệp của tôi đang làm việc với dữ liệu trải rộng trên hai vùng UTM. Phần lớn dữ liệu nằm trong một khu vực, với một vài ngoại lệ ở khu vực khác. Anh ta muốn biết sự biến dạng khu vực của những ngoại lệ đó sẽ là gì nếu họ ở trong khu vực UTM chính.
Có một công thức để tính toán độ méo khu vực khi biết các tính năng của vùng UTM khác bao xa không?
Câu trả lời:
UTM sử dụng phép chiếu Mercator ngang với hệ số tỷ lệ 0,9996 tại kinh tuyến trung tâm. Trong Mercator, các khoảng cách yếu tố quy mô là đường cát tuyến của vĩ độ (một nguồn: http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection ), đâu là yếu tố quy mô diện tích là vuông của yếu tố quy mô này (vì nó áp dụng trong tất cả các hướng, Mercator là phù hợp). Hiểu về vĩ độ là khoảng cách hình cầu đến xích đạo và xấp xỉ ellipsoid với một hình cầu, chúng ta có thể áp dụng công thức này cho bất kỳ khía cạnh nào của phép chiếu Mercator. Như vậy:
Hệ số tỷ lệ là 0,9996 lần so với khoảng cách (góc) đến kinh tuyến trung tâm. Hệ số tỷ lệ diện tích là bình phương của số lượng này.
Để tìm khoảng cách này, hãy xem xét tam giác hình cầu được hình thành bằng cách đi dọc theo trắc địa từ một điểm tùy ý tại (lon, lat) = (lambda, phi) thẳng về phía kinh tuyến trung tâm ở kinh độ mu, dọc theo kinh tuyến đó đến cực gần nhất, và sau đó trở lại dọc theo kinh tuyến lambda đến điểm ban đầu. Lượt đầu tiên là một góc vuông và góc thứ hai là một góc của lambda-mu. Số lượng đi dọc theo phần cuối cùng là 90 độ. Định luật hình cầu áp dụng cho các trạng thái tam giác này
sin (lambda-mu) / sin (khoảng cách) = sin (90 độ) / sin (90-phi)
với giải pháp
khoảng cách = ArcSin (sin (lambda-mu) * cos (phi)).
Khoảng cách này được đưa ra dưới dạng một góc, thuận tiện cho việc tính toán secant.
Thí dụ
Xem xét UTM khu 17, với kinh tuyến trung tâm ở -183 + 17 * 6 = -81 độ. Đặt vị trí xa xôi ở kinh độ -90 độ, vĩ độ 50 độ. Sau đó
Bước 1: Khoảng cách hình cầu từ (-90, 50) đến kinh tuyến -81 độ bằng ArcSin (sin (9 độ) * cos (50 độ)) = 0.1007244 radian.
Bước 2: Độ méo diện tích bằng (0,9996 * giây (0,1007244 radian)) ^ 2 = 1,009406.
.
Xấp xỉ
Để cảm nhận về cách khu vực thay đổi, chúng ta có thể sử dụng một số nhận dạng trig để đơn giản hóa biểu thức tổng thể và mở rộng như một chuỗi Taylor trong lambda-mu (sự dịch chuyển giữa kinh độ điểm và kinh độ của kinh tuyến trung tâm UTM). Nó hoạt động ra
Hệ số tỷ lệ diện tích ~ 0,9992 * (1 + cos (phi) ^ 2 * (lambda-mu) ^ 2).
Như với tất cả các mở rộng như vậy, góc lambda-mu phải được đo bằng radian. Lỗi nhỏ hơn 0,9992 * cos (phi) ^ 4 * (lambda-mu) ^ 4, gần với bình phương của sự khác biệt giữa xấp xỉ và 1 - nghĩa là bình phương của giá trị sau dấu thập phân .
Trong ví dụ với phi = 50 độ (với cosin là 0,642788) và lambda-mu = -9 độ = -0,15708 radian, phép tính gần đúng cho 0,9992 * (1 + 0,642788 ^ 2 * (-0,15708) ^ 2) = 1,009387. Nhìn qua dấu thập phân và bình phương, chúng tôi suy luận (ngay cả khi không biết giá trị chính xác) rằng sai số của nó không thể lớn hơn (0,009387) ^ 2 = nhỏ hơn 0,0001 (và trên thực tế, lỗi chỉ bằng 1/5 kích thước đó).
Từ phân tích này, rõ ràng là ở vĩ độ cao (nơi cos (phi) nhỏ), sai số tỷ lệ sẽ luôn nhỏ; và ở vĩ độ thấp hơn, sai số tỷ lệ diện tích sẽ hoạt động giống như bình phương của sự khác biệt về kinh độ.
Công cụ GeographicLib của GeoConvert
http://geographiclib.sf.net/html/GeoConvert.1.html
cho phép sự chồng chéo hào phóng giữa các khu vực UTM (cụ thể, chuyển đổi sang khu vực lân cận được cho phép với điều kiện là hướng đông kết quả nằm trong phạm vi [0km, 1000km]). GeoConvert cũng có thể báo cáo sự hội tụ và tỷ lệ kinh tuyến và, như ghi chú của người đánh bóng, biến dạng khu vực là bình phương của thang đo.
Ví dụ: vùng "chính" của bạn là 42 và bạn được cho một điểm nhất định
41N 755778 3503488
(Đại học Kandahar), cách khu 42, khoảng 29km về phía tây. Để chuyển đổi thành khu 42, hãy sử dụng
tiếng vang 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 ==> 42N 186710 3505069
Để xác định sự hội tụ và tỷ lệ kinh tuyến trong khu vực 42, hãy thêm cờ -c
tiếng vang 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 -c ==> -1.73405 1.0008107
Vậy độ méo diện tích là 1.0008107 ^ 2 = 1.0016221.