Tại sao định luật cosin lại thích hợp hơn haversine khi tính khoảng cách giữa hai điểm kinh độ vĩ độ?

Trên thực tế, khi Sinnott công bố công thức haversine, độ chính xác tính toán bị hạn chế. Ngày nay, JavaScript (và hầu hết các máy tính & ngôn ngữ hiện đại) sử dụng các số dấu phẩy động 64 bit 64 bit, cung cấp 15 số liệu chính xác. Với độ chính xác này, định luật hình cầu đơn giản của công thức cosin ( cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C) cho kết quả được điều hòa tốt xuống khoảng cách nhỏ khoảng 1 mét. Theo quan điểm này, có lẽ đáng giá, trong hầu hết các tình huống, sử dụng định luật cosin đơn giản hơn hoặc công thức Vincenty ellipsoidal chính xác hơn để ưu tiên cho haversine! (ghi chú dưới đây về những hạn chế về độ chính xác của mô hình hình cầu).
Nguồn: http://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong.html

Lý do tại sao luật của vũ trụ là thích hợp hơn?

Lưu ý: Văn bản trích dẫn đã được cập nhật bởi tác giả của nó như được đề cập dưới đây .

Vấn đề được chỉ định bởi từ "điều hòa tốt." Đây là một vấn đề của số học máy tính, không phải toán học.

Dưới đây là những sự thật cơ bản cần xem xét:

1. Một radian trên trái đất kéo dài gần 10 ^ 7 mét.

2. Hàm cosine cho các đối số x gần 0 xấp xỉ bằng 1 - x ^ 2/2.

3. Điểm nổi chính xác kép có khoảng 15 chữ số thập phân chính xác.

Điểm (2) và (3) ngụ ý rằng khi x ở khoảng một mét, hoặc 10 ^ -7 radian (điểm 1), gần như tất cả độ chính xác bị mất: 1 - (10 ^ -7) ^ 2 = 1 - 10 ^ - 14 là một phép tính trong đó 14 chữ số đầu tiên trong số 15 chữ số có nghĩa đều bị hủy, chỉ còn lại một chữ số để biểu thị kết quả. Lật cái này xung quanh (đó là cái mà cosin nghịch đảo, "acos", có nghĩa là) tính toán acos cho các góc tương ứng với khoảng cách chiều dài mét có thể được thực hiện với bất kỳ độ chính xác có ý nghĩa nào. (Trong một số trường hợp xấu nhất định, việc mất độ chính xác mang lại giá trị trong đó acos thậm chí không được xác định, do đó mã sẽ bị hỏng và không có câu trả lời, câu trả lời vô nghĩa hoặc làm hỏng máy.) Các cân nhắc tương tự cho thấy bạn nên tránh sử dụng cosin nghịch đảo nếu khoảng cách dưới vài trăm mét có liên quan, tùy thuộc vào độ chính xác mà bạn sẵn sàng mất.

Vai trò của acos trong công thức định luật cosin ngây thơ là chuyển đổi một góc thành một khoảng cách. Vai trò đó được chơi bởi atan2 trong công thức haversine. Tiếp tuyến của một góc nhỏ x xấp xỉ bằng x chính nó. Do đó, tiếp tuyến nghịch đảo của một số, xấp xỉ số đó, được tính toán cơ bản mà không mất độ chính xác. Đây là lý do tại sao công thức haversine, mặc dù về mặt toán học tương đương với định luật công thức cosin, vượt trội hơn nhiều so với khoảng cách nhỏ (theo thứ tự từ 1 mét trở xuống).

Dưới đây là so sánh hai công thức sử dụng 100 cặp điểm ngẫu nhiên trên toàn cầu (sử dụng phép tính chính xác kép của Mathicala).

Bạn có thể thấy rằng với khoảng cách dưới 0,5 mét, hai công thức phân kỳ. Trên 0,5 mét họ có xu hướng đồng ý. Để cho thấy họ đồng ý chặt chẽ như thế nào, âm mưu tiếp theo cho thấy các tỷ lệ của định luật cosin: kết quả haversine cho 100 cặp điểm ngẫu nhiên khác, với vĩ độ và kinh độ của chúng khác nhau ngẫu nhiên tới 5 mét.

Điều này cho thấy luật công thức cosin tốt đến 3-4 chữ số thập phân một khi khoảng cách vượt quá 5-10 mét. Số lượng vị trí thập phân của độ chính xác tăng bậc hai; do đó ở 50-100 mét (một bậc độ lớn) bạn có được độ chính xác 5-6 dp (hai bậc độ lớn); ở 500-1000 mét bạn nhận được 7-8 dp, v.v.

Một chú thích lịch sử:

Các haversine là một cách để tránh các lỗi làm tròn lớn trong các tính toán như

1 - cos(x)

khi x nhỏ. Về mặt haversine chúng ta có

1 - cos(x) = 2*sin(x/2)^2
           = 2*haversin(x)

và 2 * sin (x / 2) ^ 2 có thể được tính toán chính xác ngay cả khi x nhỏ.

Vào thời xưa, công thức haversine có một lợi thế bổ sung là tránh bổ sung (trong đó đòi hỏi phải tra cứu antimon, bổ sung và tra cứu nhật ký). Một công thức lượng giác chỉ đòi hỏi phép nhân được gọi là "dạng logarit".

Ngày nay, việc sử dụng các công thức haversine là hơi lỗi thời. Có thể là góc x được biểu thị bằng thuật ngữ sin(x)và cos(x)(và x có thể không được biết rõ ràng). Trong trường hợp đó, tính toán 1 - cos(x)thông qua công thức haversine đòi hỏi một arctangent (để có được góc x), giảm một nửa (để có được x/2), một sin (để có được sin(x/2)), một hình vuông (để có được sin(x/2)^2) và nhân đôi cuối cùng. Bạn tốt hơn nhiều khi sử dụng đánh giá

1 - cos(x) = sin(x)^2/(1 + cos(x))

trong đó đòi hỏi không có đánh giá của các hàm lượng giác. (Rõ ràng chỉ sử dụng phía bên tay phải nếu cos(x) > 0; nếu không, bạn có thể sử dụng 1 - cos(x)trực tiếp.)

Công thức cosine có thể được thực hiện trong một dòng:

  Distance = acos(SIN(lat1)*SIN(lat2)+COS(lat1)*COS(lat2)*COS(lon2-lon1))*6371

Công thức haversine có nhiều dòng:

  dLat = (lat2-lat1)
  dLon = (lon2-lon1)
  a = sin(dLat/2) * sin(dLat/2) + cos(lat1) * cos(lat2) * sin(dLon/2) * sin(dLon/2)
  distance = 6371 * 2 * atan2(sqrt(a), sqrt(1-a))

Về mặt toán học, có sự giống hệt nhau, vì vậy sự khác biệt duy nhất là một trong thực tiễn.