Những loại phân đoạn / cạnh nào đòi hỏi độ chính xác cao trong một biểu diễn bề mặt thực sự của ellipsoid?


8

Tôi đã tập trung (và thực hiện mã hóa nguyên mẫu) cho một cơ sở mã địa lý 'không chiếu' với các nguyên hàm điểm, đường và đa giác cơ bản của bạn.

Tuy nhiên, thay vì xử lý tất cả các hy sinh đi kèm với việc phóng lên mặt phẳng, tôi đang viết các thuật toán hoạt động trực tiếp trên bề mặt của ellipsoid.

Một trong những biến chứng tiềm ẩn là có nhiều loại "đường" khác nhau:

  • (vòng cung) vòng tròn lớn: khoảng cách ngắn nhất dọc theo bề mặt (độ cao không đổi) giữa hai điểm; nên tương ứng chính xác với đường dẫn tầm nhìn.
  • các đường thẳng: kết nối hai điểm với một đường có hướng không đổi - ví dụ: một số đường viền trạng thái theo các đường vĩ độ (không phải là các đường tròn lớn).
  • đường cong: cung tròn (đường đi có khoảng cách không đổi từ một điểm trung tâm nhất định); Bezier (không chắc chắn về giải thích lại chính xác trong bối cảnh của một bề mặt cong), v.v.

Trong số các loại đường dẫn khác nhau (bao gồm cả những đường dẫn tôi đã bỏ lỡ), đủ quan trọng để chúng có đại diện 'chính xác', so với đại diện trong một giới hạn lỗi bằng các đoạn ngắn của một đường dẫn đơn giản hơn (ví dụ: các đoạn vòng cung trắc địa ngắn)?

Chỉnh sửa làm rõ: bởi 'chính xác' ở trên, ý tôi là tham số. Nói cách khác: tính toán với bất kỳ độ chính xác mong muốn nào, mà không cần bước tăng cường nhập khẩu.

Một bản chỉnh sửa , sau đó, để thêm một trích dẫn mà tôi đã bắt gặp gần giống với suy nghĩ của riêng tôi về việc sử dụng các vectơ đơn vị 3D như một nguyên thủy địa lý: Biểu diễn vị trí ngang không đơn ( liên kết alt ). Phần tốt nhất? Tôi đã không phải tự viết ra tất cả!


Các đại diện chính xác thực sự của bất kỳ đối tượng nào trong số các đối tượng này trên bất kỳ hình elip nào (không phải là hình cầu) là không thể. Các trắc địa không còn là một phần của các vòng tròn lớn nói chung; các đường thẳng sẽ khó chịu bất kể điều gì; vòng cung trắc địa sẽ đặc biệt lộn xộn. Có thực sự có bất kỳ điểm nào để làm điều này đáng giá một vài đơn đặt hàng tính toán bổ sung cho mỗi hoạt động không?
whuber

Không có gì chính xác với cách giải thích của từ đó - làm thế nào về "tham số" thay vì là một lựa chọn từ tốt hơn? . Tôi không quan tâm đến một hệ thống phá hủy chất lượng dữ liệu hiện có, nhưng tôi không cảm thấy cần phải thể hiện các đường cong mà không ai đang sử dụng.
Dan S.

Tôi đã làm việc với các phân đoạn đường tròn tuyệt vời trên một hình cầu được biểu thị dưới dạng cực xoay (điểm tại lat / long) với góc bắt đầu và góc kết thúc. Tôi thấy thật khó để hình dung toán học được sử dụng để thao túng chúng (tứ phương). scTHERirect.com/ từ
Kirk Kuykendall

@Kirk: Một cách biểu diễn dễ thực hiện hơn (ý kiến ​​ở đây!) Là sử dụng tọa độ 3D chính tả và biểu diễn các điểm bắt đầu / kết thúc dưới dạng vectơ - bạn vẫn đang sử dụng các bậc bốn (để biểu diễn các phép quay trong 3D) nhưng chúng ' dễ dàng hơn nhiều để suy nghĩ về.
Dan S.

@Dan - nhưng với coords 3d, bạn cần tăng mật độ để duy trì độ cao không đổi, phải không?
Kirk Kuykendall

Câu trả lời:


6

Câu hỏi liên quan đến những loại đường cong xứng đáng là một đại diện chính xác hoàn toàn chứ không phải là một xấp xỉ rời rạc. Mấu chốt của vấn đề là: để thành công, lớp đường cong bạn hỗ trợ theo cách này phải được đóng lại dưới lớp các hoạt động tạo đường cong và đa giác được hỗ trợ trong GIS.

Những hoạt động này bao gồm:

  • Đệm. Trong quá trình này, bạn cần xây dựng các đường cong song song với các tính năng. ( "Song song" có nghĩa là theo nghĩa của việc duy trì một khoảng cách cố định.) Điều này bao gồm các vòng tròn và các phần từ đó (ví đệm điểm), song song xiên (mà là đường cong cách đều để trắc địa trên hình cầu, và có thể giảm đến các điểm bị cô lập trong các trường hợp đặc biệt) và các vòng tròn đồng tâm. Trên mặt cầu (nhưng không, nói chung, trên một hình elip), các vĩ tuyến xiên là chính các vòng tròn.

  • Đa giác ảnh hưởng (đa giác Thiessen; đa giác Voronoi; tế bào Dirichlet). Để xây dựng các đa giác Thiessen cho một tập hợp các tính năng điểm, chúng ta cần tìm các đường chia đôi, đó là trắc địa (chúng thẳng); nhưng đối với một tập hợp các loại tính năng khác, chẳng hạn như các điểm và phân đoạn, ranh giới của đa giác Thiessen bao gồm các phần của parabolas (trong mặt phẳng). Có lẽ bạn không muốn hỗ trợ điều này ...

  • Lớp phủ lý thuyết tập hợp (giao nhau, kết hợp, khác biệt, bổ sung). Các hoạt động này không tạo ra bất kỳ loại đường cong mới.

  • Dịch song song và xoay vòng . Chúng thường không thể thực hiện chính xác trên một ellipsoid (vì nó không phải là không gian đồng nhất ), nhưng đơn giản trên hình cầu. Trên mặt cầu, các thao tác này không tạo ra các loại đường cong mới.

Lớp đường cong thực sự có vấn đề mà bạn đề xuất bao gồm các đường thẳng chung (loxodromes). Các đường vĩ độ là các đường thẳng nhưng ít nhất (trên mặt cầu) chúng cũng là các vòng tròn, vì vậy chúng không có vấn đề gì thêm. Nhưng đường thẳng hình thoi nói chung là những con thú phức tạp: nếu chúng không phải là kinh tuyến hoặc vĩ tuyến, chúng xoắn ốc thành cực này hay cực kia. Bộ đệm và bản dịch song song của các đường thẳng sẽ là các loại đường cong thực sự mới. Bạn sẽ phải biểu diễn các kết quả này dưới dạng các đoạn đường và vòng tròn bị hỏng, điều này sẽ đánh bại mục đích của bạn (và khá khó để tính toán). Vì vậy, tôi đề nghị không cố gắng để hỗ trợ chính xác các dòng rhumb.

Tóm lại, có vẻ như bạn có thể thành công trong chương trình của mình nếu (a) bạn làm việc trên một mô hình hình cầu của trái đất chứ không phải là mô hình ellipsoidal ("hình cầu") tổng quát hơn và (b) bạn giới hạn một số cấu trúc nhất định như đa giác Thiessen (và các trục trung gian, có liên quan chặt chẽ) với các bộ sưu tập các điểm.


Tôi thực sự thích cách nghĩ này về nó. Một vài suy nghĩ ngẫu nhiên trong các bình luận sau đây ...
Dan S.

Nit: Bộ đệm là khoảng cách cố định, không song song (ngoại trừ các dòng vô hạn).
Dan S.

Trên mặt phẳng, các khu vực ảnh hưởng đối với các đặc điểm của mặt thẳng có các đường cong thẳng và mặt cắt hình nón trong đường viền của chúng - nhưng tôi nghi ngờ rằng nó bị đóng. Tôi thực sự không biết đường cong nào tạo thành ranh giới ảnh hưởng cho các đặc điểm cong (phần hình nón); có thể một số suy nghĩ / nghiên cứu sâu sắc sẽ tiết lộ rằng chúng cũng là những phần hình nón, nhưng tôi nghi ngờ. Việc đóng cửa nói chung dưới các hoạt động này dường như rất khó xảy ra.
Dan S.

Các hoạt động theo lý thuyết tập hợp: Các hệ thống GIS phẳng thường không được đóng dưới phần bổ sung do nó tạo ra một đa giác có kích thước vô hạn; sphere / sphereoid / ellipsoid có thể làm tốt hơn. Lưu ý rằng đôi khi các điểm giao nhau không thể (hoặc khó) đại diện cho rất nhiều kiểu chữ đường cong, mặc dù, ngay cả trên mặt phẳng.
Dan S.

Dịch / xoay: Các phép biến đổi affine có thể có trên mặt phẳng, mặc dù có các phép biến đổi phi affine khác có thể thực sự ý nghĩa hơn bằng cách làm cho chúng đặc biệt không liên kết. Ví dụ: "di chuyển tất cả các điểm do phía bắc bởi 150 mét" thường là những gì có nghĩa là một bản dịch đơn giản trong rất nhiều dự báo, nhưng tất nhiên những biến dạng của giá trị trung bình dự báo rằng ý định là hơi suy yếu ...
Dan S.

4

Dân,

Bạn có thể quan tâm đến một số công việc tôi đã làm về trắc địa. Điều này được mô tả trong bản in này . Đặc biệt, lưu ý:

  • Các vấn đề trắc địa trực tiếp và nghịch đảo có thể được giải quyết với độ chính xác của máy. Điều này có nghĩa là khoảng 15nm cho độ chính xác gấp đôi. Tôi có thể chuyển sang nhân đôi dài, thêm một thuật ngữ bổ sung trong chuỗi và nhận được độ chính xác là 6 giờ chiều. Đặc biệt lưu ý rằng giải pháp cho vấn đề nghịch đảo luôn hội tụ (không giống như phương pháp của Vincenty). Tốc độ tương đương với phương pháp của Vincenty (giải pháp trực tiếp có phần nhanh hơn, giải pháp ngược có phần chậm hơn).

  • Tôi tính toán chiều dài giảm và quy mô trắc địa. Các đại lượng này cung cấp các tính chất khác biệt của trắc địa và cho phép các vấn đề trắc địa khác nhau (giao điểm, đường trung tuyến, v.v.) được giải quyết nhanh chóng và chính xác bằng phương pháp của Newton. Độ cong của ranh giới của các vùng đệm có thể được biểu thị theo các đại lượng này. Xem ghi chú này mà tôi đã gửi đến danh sách gửi thư proj.4.

  • Tôi xác định một phép chiếu gnomonic hình elip trong đó trắc địa gần như thẳng. Điều này cho phép các vấn đề trên bề mặt của ellipsoid được ánh xạ tới các vấn đề trong hình học phẳng. Ví dụ, giao điểm của hai trắc địa có thể được tìm thấy chính xác bằng cách ước tính một điểm giao nhau, thực hiện phép chiếu gnomonic về điểm đó, ước tính lại giao lộ và lặp lại.

  • Tôi đưa ra biểu thức cho khu vực của một đa giác trắc địa. Không cần phải chia nhỏ các cạnh dài để có kết quả chính xác.

  • GeographicLib (trên sourceforge) thực hiện các thuật toán.

  • Cuối cùng, tôi nhận xét rằng đối với nhiều mục đích, trắc địa thích hợp hơn bất kỳ loại đường cong nào khác (đặc biệt là các hình elip hoặc đường thẳng lớn) vì chúng tuân theo bất đẳng thức tam giác. Điều này có một số hậu quả:

    • Đo đạc và vòng tròn trắc địa giao nhau ở các góc phải.
    • Đường XXX ngắn nhất giữa điểm P và đường cong C tùy ý cắt C theo góc vuông chỉ khi XXX = trắc địa.
    • Trắc địa là một cách tự nhiên để phân vùng dữ liệu bằng cách sử dụng một phần tư bởi vì giới hạn có thể được đặt trên phạm vi khoảng cách giữa một điểm tùy ý và tất cả các điểm trong một tứ giác.

Cảm ơn bạn đã chia sẻ những ý tưởng này; đó là một bài báo rất hay chứa một số công việc tuyệt vời. Chào mừng đến với trang web của chúng tôi! Một số nhận xét và câu hỏi sau. (1) Theo nghĩa nào thì "vòng trắc địa và vòng tròn trắc địa giao nhau ở góc phải"? Bạn phải có một số hạn chế trong tâm trí bởi vì điều này thường không đúng. (2) Khoảng cách 3D Euclide mà @Dan đề cập cũng sẽ thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.
whuber

(1) Xem xét tất cả các trắc địa phát ra từ một điểm A; cái này định nghĩa một họ đường cong. Xem xét tiếp theo tất cả các vòng tròn trắc địa tập trung tại A; điều này định nghĩa một họ đường cong thứ hai. Do bất đẳng thức tam giác, hai họ này là trực giao. Điều này đưa ra một trong những tính chất cơ bản của phép chiếu đẳng thức phương vị. (2) Có, bạn đúng, tất nhiên. Nếu bạn hoàn toàn hòa mình vào thế giới hình học của các bề mặt, bạn sẽ nghĩ đến bất kỳ thuộc tính nào phụ thuộc vào cách bề mặt được nhúng trong không gian 3d. (Xem "Định lý đáng chú ý" của Gauss.)
cffk

Trên thực tế (1) tổng quát hơn: trong bất kỳ đa tạp Riemannian nào, một trắc địa từ một điểm P nằm ngoài đường cong c đến một điểm trên c làm giảm thiểu khoảng cách giữa Pc phải trực giao với c . Tuyên bố của bạn về "vòng tròn trắc địa" ngay lập tức (với điều kiện P là trung tâm: đó là hạn chế không được nêu trước đây). Tôi đồng ý với tình cảm được thể hiện sau (2), nhưng chúng ta phải nhớ rằng mục tiêu ở đây là thực hiện các tính toán hiệu quả chính xác, thay vì điều tra các thuộc tính bên trong của bề mặt. Một nhúng được lựa chọn tốt có thể tạo điều kiện cho điều đó.
whuber

Một lời cảm ơn muộn màng cho câu trả lời này. :) Tôi đang ở dưới nước để làm nhiều việc hơn là lướt qua vào lúc này, nhưng có vẻ như đó là một trove khá tuyệt vời. Một lưu ý nhanh về các giao lộ trắc địa kể từ khi bạn gọi chúng - chủ yếu là để bạn xem xét như một kiểm tra về trực giác chưa được bảo vệ của chính tôi: Có thể dễ dàng tìm thấy các giao điểm chính xác của trắc địa hình cầu bằng cách giao giữa các mặt phẳng của các vòng tròn lớn tương ứng, và kết quả đó mang lại qua ellipsoids bằng cách sử dụng một quả cầu phụ trợ - hoặc tôi có thiếu thứ gì ở đó không?
Dan S.

@Dan Tôi soạn một câu trả lời cho câu hỏi của bạn. Nhưng dường như các bình luận là giới hạn về chiều dài. Vì vậy, xem câu trả lời tiếp theo thay thế.
cffk

2

Đây là câu trả lời cho câu hỏi của @ Dan về việc sử dụng quả cầu phụ trợ để giải quyết các vấn đề giao nhau.

Không, quả cầu phụ trợ không cho phép bạn giải quyết trực tiếp các giao lộ. Vấn đề là ánh xạ từ ellipsoid đến hình cầu phụ thuộc vào trắc địa (ví dụ, góc phương vị của nó ở xích đạo). Do đó, quả cầu phụ trợ tốt cho việc giải quyết một trắc địa nhưng không giải quyết bất kỳ vấn đề nào liên quan đến nhiều hơn một trắc địa.

Cách được đề xuất của tôi để thực hiện các giao điểm và đánh chặn trắc địa (đường đi ngắn nhất giữa một điểm và trắc địa) là sử dụng phép chiếu gnomonic. Trắc địa trên bản đồ hình cầu thành các đường thẳng trong phép chiếu gnomonic và do đó, với điều kiện là vấn đề của bạn bị giới hạn ở một bán cầu, phép chiếu gnomonic chuyển đổi các vấn đề này thành các vấn đề 2d.

Không có phép chiếu nào bảo tồn độ thẳng của trắc địa cho ellipsoid (vì độ cong của nó không phải là hằng số). Tuy nhiên, GeographicLib cung cấp một khái quát về phép chiếu gnomonic trong đó trắc địa gần như thẳng. Điều này dẫn đến các thuật toán hội tụ nhanh chóng cho giao điểm và giao thoa trắc địa (một lần nữa với điều kiện là các điểm đều nằm trong một bán cầu). Xem câu trả lời của tôi (có mã!) Cho gpesquero tại

https://sourceforge.net/projects/geographiclib/forums/forum/1026621/topic/4085561

Cuối cùng, tôi muốn chỉ ra rằng gần đây tôi đã chuyển đổi các thói quen trắc địa của GeographicLib thành Javascript, để bạn có thể chơi xung quanh chúng trong Google Maps. Xem

http://geographiclib.sourceforge.net/scripts/geod-google.html

http://geographiclib.sourceforge.net/scripts/geod-calc.html

. .)

ĐỊA CHỈ (2014-08-19)

Cũng có thể giải quyết thời gian tiếp cận gần nhất cho hai tàu di chuyển với tốc độ không đổi dọc theo trắc địa. Vì chúng ta biết các tính chất khác biệt của trắc địa, nên có thể sử dụng phương pháp của Newton để có được một giải pháp chính xác trong một vài lần lặp. Mã để thực hiện điều này được đăng tại

https://sourceforge.net/p/geographiclib/discussion/1026620/thread/33ce09e0


Tôi khá chắc chắn rằng tôi đang đi sai hướng, nhưng không chắc chắn ở đâu; Tôi thích nó nếu bạn có thể giúp gỡ lỗi lý luận của tôi. (Nhận xét tiếp theo.) Mặt khác: cảm ơn một đống cho mã hữu ích + bình luận + liên kết; nó rất hữu ích
Dan S.

Ở đây đi, chính xác như tôi có thể làm cho nó. Lý luận của tôi được thể hiện bằng 3D Cartesian, không phải các hợp âm góc: (a) Trên một quả cầu, tất cả các điểm trong một vòng tròn lớn đều là coplanar. (b) Sự biến đổi sang hình cầu phụ là tuyến tính và khả nghịch. (Suy nghĩ sai lầm?) (C) Tất cả các điểm trong một phép biến đổi trắc địa hình elip thành các điểm dọc theo một vòng tròn lớn trên đường dẫn. quả cầu. (d) Tất cả các điểm trên trắc địa hình elip cũng là coplanar, do (b). Cuối cùng, (e): Do đồng phẳng, hai điểm giao cắt trắc địa ứng cử viên trên ellipsoid có thể được tìm thấy bằng giao tuyến của mặt phẳng.
Dan S.

1
@Dan, Một trắc địa hình elip không nằm trong một mặt phẳng. (Nếu có, nó sẽ phải là một đường cong mặt phẳng; nhưng chúng ta biết rằng, nói chung, trên mỗi mạch của địa cầu, trắc địa giảm một lượng O (f). ) - kết nối giữa các phụ trợ. hình cầu và ellipsoid không tuyến tính. Phép biến đổi vĩ độ tương đương với độ giãn theo hướng z và tuyến tính cũng vậy. Tuy nhiên, kinh độ có liên quan bởi tích phân elip và điều này ngăn không có bất kỳ mối quan hệ tuyến tính đơn giản nào.
cffk
Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.