Đưa ra những điều sau đây:

1. Thời gian, t
2. Tập hợp dữ liệu Ephemeris IS-200, E, của Vệ tinh GPS tương ứng với thời gian t
3. Vị trí ECEF của vệ tinh GPS, P = (x, y, z), xuất phát từ thời gian và phù du, (t, E).
4. Giả sử trái đất chỉ là ellipsoid WGS-84.
5. Tất cả các điểm trên WGS-84 có góc mặt nạ, m.

Tìm theo dưới đây:

1. vòng phủ sóng, R, trên WGS-84 của vệ tinh GPS. tức là ranh giới phân biệt điểm WGS-84 nào trong chế độ xem vệ tinh tại điểm P = (x, y, z) và điểm WGS-84 nào không được xem

Giải pháp chấp nhận được:

1. Một spline trên WGS-84 gần bằng R.
2. Một đa giác trên WGS-84 gần bằng R.
3. Hoặc một công thức mang lại cho tôi R.

Những gì tôi đã cố gắng cho đến nay:

• Đặt e ^ 2 = 0,0066943799901264; bình phương bình phương

Chúng tôi có vị trí ECEF WGS-84 theo vĩ độ trắc địa phi và kinh độ lambda:

r = 1 / (sqrt (1-e ^ 2 sin ^ 2 (phi))) * (cos (phi) * cos (lambda), cos (phi) * sin (lambda), (1-e ^ 2) * tội lỗi (phi))

Sau đó, tôi chuyển đổi ECEF sang khung địa lý theo hướng đông-bắc lên (ENU) với phi và lambda bằng ma trận:

     (-sin(lambda)                  cos(lambda)                  0       )
C=   (-cos(lambda)*sin(phi)        -sin(lambda)*sin(phi)         cos(phi))
     ( cos(lambda)*cos(phi)         sin(lambda)*cos(phi)         sin(phi))

• Đặt G = C (P - r)
• Lấy thành phần z của G. nếu thành phần z của G lớn hơn sin (m) thì tôi biết điểm, r, đang được xem. Nhưng điều đó không đủ để có được giải pháp mà tôi đang theo đuổi. Tôi chỉ có thể tìm thấy một loạt các điểm trong tầm nhìn và lấy phần thân lồi của những điểm đó, nhưng điều đó không hiệu quả chút nào.

Giải pháp cho một ellipsoid khá lộn xộn - đó là một hình dạng không đều, không phải hình tròn - và được tính toán tốt nhất bằng số chứ không phải bằng một công thức.

Trên bản đồ thế giới, sự khác biệt giữa giải pháp WGS84 và giải pháp hoàn toàn hình cầu sẽ chỉ đáng chú ý (đó là khoảng một pixel trên màn hình). Sự khác biệt tương tự sẽ được tạo ra bằng cách thay đổi góc mặt nạ khoảng 0,2 độ hoặc sử dụng xấp xỉ đa giác. Nếu các lỗi này nhỏ đến mức chấp nhận được, thì bạn có thể khai thác tính đối xứng của hình cầu để có được một công thức đơn giản.

Bản đồ này (sử dụng phép chiếu Equir chữ nhật) cho thấy vùng phủ sóng của vệ tinh ở 22.164 km (tính từ tâm trái đất) với góc mặt nạ m = 15 độ trên hình cầu WGS84. Tính toán lại phạm vi bảo hiểm cho một hình cầu không thay đổi rõ ràng bản đồ này.

Trên mặt cầu, vùng phủ sóng sẽ thực sự là một vòng tròn tập trung tại vị trí của vệ tinh, vì vậy chúng ta chỉ cần tìm ra bán kính của nó, đó là một góc. Gọi đây là t . Trong mặt cắt ngang có một tam giác OSP được hình thành bởi tâm trái đất (O), vệ tinh (S) và bất kỳ điểm (P) nào trên đường tròn:

• OP bên là bán kính của trái đất, R .

• Hệ điều hành bên là chiều cao của vệ tinh (phía trên trung tâm trái đất). Gọi đây là h .

• Góc OPS là 90 + m .

• Các góc độ là t , mà chúng tôi muốn tìm.

• Vì ba góc của một tam giác tổng hợp tới 180 độ, OSP góc thứ ba phải bằng 90 - ( m + t ).

Giải pháp bây giờ là vấn đề lượng giác cơ bản. Luật (phẳng) của tội lỗi khẳng định rằng

sin(90 - (m+t)) / r = sin(90 + m) / h.

Giải pháp là

t = ArcCos(cos(m) / (h/r)) - m.

Để kiểm tra, hãy xem xét một số trường hợp cực đoan:

1. Khi m = 0, t = ArcCos (r / h), có thể được xác minh bằng hình học Euclide cơ bản.

2. Khi h = r (vệ tinh chưa được phóng), t = ArcCos (cos (m) / 1) - m = m - m = 0.

3. Khi m = 90 độ, t = ArcCos (0) - 90 = 90 - 90 = 0, như vậy.

Điều này làm giảm vấn đề vẽ một vòng tròn trên quả cầu, có thể được giải quyết bằng nhiều cách. Chẳng hạn, bạn có thể đệm vị trí của vệ tinh bằng t * R * pi / 180 bằng cách sử dụng phép chiếu tương đương tập trung tại vệ tinh. Kỹ thuật làm việc với các vòng tròn trên quả cầu trực tiếp được minh họa tại /gis//a/53323/664 .

Biên tập

FWIW, đối với các vệ tinh GPS và các góc mặt nạ nhỏ (dưới 20 độ hoặc hơn), phép tính gần đúng lượng giác này là chính xác (đến một phần mười của một độ và nhỏ hơn vài phần trăm độ khi góc của mặt nạ dưới 10 độ ):

t (degrees) = -0.0000152198628163333 * (-5.93410042925107*10^6 + 
              3.88800000000000*10^6 r/h + 65703.6145507725 m + 
              9.86960440108936 m^2 - 631.654681669719 r/h m^2)

Ví dụ: với góc mặt nạ m = 10 độ và vệ tinh ở độ cao 26,559,7 km so với tâm trái đất (là khoảng cách danh nghĩa của vệ tinh GPS ), phép tính gần đúng này mang lại 66,32159 ..., trong khi giá trị (chính xác cho hình cầu ) là 66.32023 ....

(Phép tính gần đúng dựa trên sự mở rộng chuỗi Taylor quanh m = 0, r / h = 1/4.)