Tại sao độ phức tạp thời gian của cả DFS và BFS O (V + E)

Thuật toán cơ bản cho BFS:

set start vertex to visited

load it into queue

while queue not empty

   for each edge incident to vertex

        if its not visited

            load into queue

            mark vertex

Vì vậy, tôi nghĩ rằng sự phức tạp thời gian sẽ là:

v1 + (incident edges) + v2 + (incident edges) + .... + vn + (incident edges) 

nơi vlà đỉnh 1đển

Thứ nhất, những gì tôi đã nói có đúng không? Thứ hai, làm thế nào là điều này O(N + E), và trực giác về lý do tại sao sẽ thực sự tốt đẹp. Cảm ơn

Tổng của bạn

v1 + (incident edges) + v2 + (incident edges) + .... + vn + (incident edges)

có thể được viết lại như

(v1 + v2 + ... + vn) + [(incident_edges v1) + (incident_edges v2) + ... + (incident_edges vn)]

và nhóm đầu tiên là O(N)trong khi nhóm kia là O(E).

DFS (phân tích):

• Thiết lập / nhận nhãn đỉnh / cạnh mất O(1)thời gian
• Mỗi đỉnh được dán nhãn hai lần
  • một lần là KHÔNG GIỚI HẠN
  • một lần như VISITED
• Mỗi cạnh được dán nhãn hai lần
  • một lần là KHÔNG GIỚI HẠN
  • một lần là KHÁM PHÁ hoặc TRỞ LẠI
• Phương thức eventEdges được gọi một lần cho mỗi đỉnh
• DFS chạy O(n + m)đúng lúc với điều kiện đồ thị được biểu diễn bằng cấu trúc danh sách kề
• Nhớ lại rằng Σv deg(v) = 2m

BFS (phân tích):

• Cài đặt / nhận nhãn đỉnh / cạnh mất thời gian O (1)
• Mỗi đỉnh được dán nhãn hai lần
  • một lần là KHÔNG GIỚI HẠN
  • một lần như VISITED
• Mỗi cạnh được dán nhãn hai lần
  • một lần là KHÔNG GIỚI HẠN
  • một lần là KHÁM PHÁ hoặc CROSS
• Mỗi đỉnh được chèn một lần vào một chuỗi Li
• Phương thức eventEdges được gọi một lần cho mỗi đỉnh
• BFS chạy O(n + m)đúng lúc với điều kiện đồ thị được biểu diễn bằng cấu trúc danh sách kề
• Nhớ lại rằng Σv deg(v) = 2m

Rất đơn giản mà không có nhiều hình thức: mọi cạnh được xem xét chính xác hai lần và mỗi nút được xử lý chính xác một lần, do đó, độ phức tạp phải là bội số không đổi của số cạnh cũng như số đỉnh.

Độ phức tạp thời gian O(E+V)thay O(2E+V)vì bởi vì nếu độ phức tạp thời gian là n ^ 2 + 2n + 7 thì nó được viết là O (n ^ 2).

Do đó, O (2E + V) được viết là O (E + V)

bởi vì sự khác biệt giữa n ^ 2 và n có vấn đề nhưng không phải giữa n và 2n.

Tôi nghĩ rằng mọi cạnh đã được xem xét hai lần và mỗi nút đã được truy cập một lần, vì vậy độ phức tạp tổng thời gian phải là O (2E + V).

Một lời giải thích trực quan cho điều này là bằng cách phân tích một vòng lặp duy nhất:

1. truy cập một đỉnh -> O (1)
2. một vòng lặp for trên tất cả các cạnh sự cố -> O (e) trong đó e là một số sự cố cạnh trên một đỉnh v cho trước.

Vì vậy, tổng thời gian cho một vòng lặp là O (1) + O (e). Bây giờ tổng hợp nó cho mỗi đỉnh vì mỗi đỉnh được truy cập một lần. Điều này mang lại

For every V
=> 

    O(1)
    +

    O(e)

=> O(V) + O(E)

Giải thích ngắn gọn nhưng đơn giản:

Tôi là trường hợp xấu nhất bạn cần truy cập vào tất cả các đỉnh và cạnh do đó độ phức tạp thời gian trong trường hợp xấu nhất là O (V + E)