số nguyên lớn nhất có thể được lưu trữ trong một đôi

Số nguyên "không nổi" lớn nhất có thể được lưu trữ trong loại kép IEEE 754 mà không làm mất độ chính xác là gì?

Số nguyên lớn nhất / lớn nhất có thể được lưu trữ trong một gấp đôi mà không làm mất độ chính xác giống như giá trị lớn nhất có thể có của một gấp đôi. Đó là, DBL_MAXhoặc xấp xỉ 1,8 × 10 ³⁰⁸ (nếu gấp đôi của bạn là gấp đôi 64-bit 64 bit). Đó là một số nguyên. Nó được đại diện chính xác. Nhiều hơn những gì bạn muốn?

Tiếp tục, hỏi tôi số nguyên lớn nhất là gì, sao cho nó và tất cả các số nguyên nhỏ hơn có thể được lưu trữ trong nhân đôi 64 bit mà không làm mất độ chính xác. Bộ đôi IEEE 64 bit có 52 bit mantissa, vì vậy tôi nghĩ đó là 2 ⁵³ :

• Không thể lưu trữ 2 ⁵³ + 1, vì 1 ở đầu và 1 ở cuối có quá nhiều số không ở giữa.
• Bất cứ thứ gì nhỏ hơn 2 ⁵³ đều có thể được lưu trữ, với 52 bit được lưu trữ rõ ràng trong lớp phủ, và sau đó số mũ có hiệu lực mang lại cho bạn một số khác.
• 2 ⁵³ rõ ràng có thể được lưu trữ, vì đó là một sức mạnh nhỏ của 2.

Hoặc một cách khác để xem xét nó: một khi độ lệch đã được loại bỏ theo số mũ và bỏ qua bit dấu là không liên quan đến câu hỏi, giá trị được lưu trữ bởi một nhân đôi là lũy thừa 2, cộng với số nguyên 52 bit nhân với 2 ^{số mũ - 52} . Vì vậy, với số mũ 52, bạn có thể lưu trữ tất cả các giá trị từ 2 ⁵² đến 2 ⁵³  - 1. Sau đó, với số mũ 53, số tiếp theo bạn có thể lưu trữ sau 2 ⁵³ là 2 ⁵³ + 1 × 2 ^{53 - 52} . Vì vậy, mất độ chính xác đầu tiên xảy ra với 2 ⁵³ + 1.

9007199254740992 (đó là 9,007,199,254,740,992) không có bảo đảm :)

Chương trình

#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
  double dbl = 0; /* I started with 9007199254000000, a little less than 2^53 */
  while (dbl + 1 != dbl) dbl++;
  printf("%.0f\n", dbl - 1);
  printf("%.0f\n", dbl);
  printf("%.0f\n", dbl + 1);
  return 0;
}

Kết quả

9007199254740991
9007199254740992
9007199254740992

Wikipedia có điều này để nói trong cùng bối cảnh với một liên kết đến IEEE 754 :

Trên một hệ thống máy tính thông thường, số dấu phẩy động nhị phân 'chính xác kép' (64 bit) có hệ số 53 bit (một trong số đó được ngụ ý), số mũ 11 bit và một bit dấu.

2 ^ 53 chỉ hơn 9 * 10 ^ 15.

Số nguyên lớn nhất có thể được biểu diễn trong IEEE 754 double (64 bit) giống như giá trị lớn nhất mà loại có thể biểu thị, vì giá trị đó tự nó là một số nguyên.

Điều này được thể hiện dưới dạng 0x7FEFFFFFFFFFFFFF, được tạo thành từ:

• Dấu bit 0 (dương) thay vì 1 (âm)
• Số mũ tối đa 0x7FE(2046 đại diện cho 1023 sau khi độ lệch được trừ) thay vì 0x7FF(2047 chỉ ra a NaNhoặc vô cùng).
• Lớp phủ tối đa 0xFFFFFFFFFFFFFlà 52 bit tất cả 1.

Trong hệ nhị phân, giá trị là 1 ẩn theo sau là 52 số khác từ mantissa, sau đó là 971 số không (1023 - 52 = 971) từ số mũ.

Giá trị thập phân chính xác là:

179769313486231570814527423731704356798070567525844996598917476803157260780028538760589558632766878171540458953514382464234321326889464182768467546703537516986049910576551282076245490090389328944075868508455133942304583236903222948165808559332123348274797826204144723168738177180919299881250404026184124858368

Đây là khoảng 1,8 x 10 ³⁰⁸ .

Bạn cần nhìn vào kích thước của lớp phủ. Số điểm động 64 bit 64 bit (có 52 bit, cộng 1 ngụ ý) có thể biểu diễn chính xác các số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng 2 ^ 53.

1.7976931348623157 × 10 ^ 308

http://en.wikipedia.org/wiki/Double_precision_floating-point_format

DECIMAL_DIGtừ <float.h>nên đưa ra ít nhất một xấp xỉ hợp lý của điều đó. Vì liên quan đến các chữ số thập phân và nó thực sự được lưu trữ dưới dạng nhị phân, bạn có thể có thể lưu trữ một cái gì đó lớn hơn một chút mà không mất độ chính xác, nhưng chính xác thì khó nói bao nhiêu. Tôi cho rằng bạn sẽ có thể tìm ra nó từ FLT_RADIXvà DBL_MANT_DIG, nhưng tôi không chắc là tôi hoàn toàn tin tưởng vào kết quả.