Đối với đồ họa, tôi không thích số nguyên. Nhiều hệ thống sử dụng số nguyên để vẽ UI (pixel là ints), nhưng macOS chẳng hạn sử dụng float cho mọi thứ. macOS chỉ biết các điểm và một điểm có thể dịch thành một pixel, nhưng tùy thuộc vào độ phân giải màn hình, nó có thể dịch sang một điểm khác. Trên màn hình võng mạc, một nửa điểm (0,5 / 0,5) là pixel. Tuy nhiên, tôi chưa bao giờ nhận thấy rằng các giao diện người dùng macOS chậm hơn đáng kể so với các giao diện người dùng khác. Sau khi tất cả các API 3D (OpenGL hoặc Direct3D) cũng hoạt động với các float và các thư viện đồ họa hiện đại thường rất lợi dụng khả năng tăng tốc GPU.
Bây giờ bạn nói tốc độ là mối quan tâm chính của bạn, được rồi, chúng ta hãy đi cho tốc độ. Trước khi bạn chạy bất kỳ thuật toán tinh vi nào, trước tiên hãy làm một bài kiểm tra đơn giản. Tạo một hộp giới hạn căn chỉnh trục xung quanh đa giác của bạn. Điều này rất dễ dàng, nhanh chóng và có thể an toàn cho bạn rất nhiều tính toán. Làm thế nào mà làm việc? Lặp lại tất cả các điểm của đa giác và tìm giá trị min / max của X và Y.
Ví dụ, bạn có điểm (9/1), (4/3), (2/7), (8/2), (3/6). Điều này có nghĩa là Xmin là 2, Xmax là 9, Ymin là 1 và Ymax là 7. Một điểm nằm ngoài hình chữ nhật có hai cạnh (2/1) và (9/7) không thể nằm trong đa giác.
// p is your point, p.x is the x coord, p.y is the y coord
if (p.x < Xmin || p.x > Xmax || p.y < Ymin || p.y > Ymax) {
// Definitely not within the polygon!
}
Đây là thử nghiệm đầu tiên để chạy cho bất kỳ điểm nào. Như bạn có thể thấy, bài kiểm tra này cực nhanh nhưng cũng rất thô. Để xử lý các điểm nằm trong hình chữ nhật giới hạn, chúng ta cần một thuật toán phức tạp hơn. Có một vài cách để có thể tính toán điều này. Phương pháp nào hoạt động cũng phụ thuộc vào thực tế nếu đa giác có thể có lỗ hoặc sẽ luôn rắn. Dưới đây là ví dụ về những vật rắn (một lồi, một lõm):
Và đây là một lỗ hổng:
Cái màu xanh có một cái lỗ ở giữa!
Thuật toán đơn giản nhất, có thể xử lý cả ba trường hợp trên và vẫn còn khá nhanh được đặt tên là đúc tia . Ý tưởng của thuật toán khá đơn giản: Vẽ một tia ảo từ bất cứ nơi nào bên ngoài đa giác đến điểm của bạn và tính tần suất nó chạm vào một bên của đa giác. Nếu số lần truy cập là chẵn thì nó nằm ngoài đa giác, nếu là số lẻ thì nó nằm bên trong.
Các thuật toán số quanh co sẽ là một sự thay thế, đó là chính xác hơn cho điểm là rất gần với một dòng đa giác nhưng nó cũng chậm hơn nhiều. Quá trình truyền tia có thể thất bại đối với các điểm quá gần với một đa giác vì độ chính xác của điểm nổi và các vấn đề làm tròn bị hạn chế, nhưng trong thực tế đó không phải là vấn đề, vì nếu một điểm nằm gần một bên, nó thường không thể nhìn thấy được người xem nhận ra nếu nó đã ở bên trong hay vẫn ở bên ngoài.
Bạn vẫn còn hộp giới hạn ở trên, nhớ không? Chỉ cần chọn một điểm bên ngoài hộp giới hạn và sử dụng nó làm điểm bắt đầu cho tia của bạn. Ví dụ, điểm (Xmin - e/p.y)nằm ngoài đa giác cho chắc chắn.
Nhưng là egì? Chà, e(thực ra là epsilon) cung cấp cho hộp giới hạn một số phần đệm . Như tôi đã nói, việc dò tia không thành công nếu chúng ta bắt đầu quá gần với một đường đa giác. Vì hộp giới hạn có thể bằng đa giác (nếu đa giác là hình chữ nhật thẳng hàng trục, hộp giới hạn bằng chính đa giác!), Chúng tôi cần một số phần đệm để đảm bảo an toàn, đó là tất cả. Bạn nên chọn lớn như thế nào e? Không quá lớn. Nó phụ thuộc vào quy mô hệ thống tọa độ bạn sử dụng để vẽ. Nếu chiều rộng bước pixel của bạn là 1.0, thì chỉ cần chọn 1.0 (nhưng 0.1 cũng sẽ hoạt động tốt)
Bây giờ chúng ta có tia với tọa độ bắt đầu và kết thúc của nó, vấn đề chuyển từ " là điểm trong đa giác " sang " tần số của tia giao nhau với một đa giác ". Do đó, chúng ta không thể chỉ làm việc với các điểm đa giác như trước đây, bây giờ chúng ta cần các mặt thực tế. Một bên luôn được xác định bởi hai điểm.
side 1: (X1/Y1)-(X2/Y2)
side 2: (X2/Y2)-(X3/Y3)
side 3: (X3/Y3)-(X4/Y4)
:
Bạn cần phải kiểm tra các tia chống lại tất cả các bên. Coi tia là một vectơ và mọi phía là vectơ. Tia phải đánh mỗi bên chính xác một lần hoặc không bao giờ. Nó không thể đánh cùng một bên hai lần. Hai đường trong không gian 2D sẽ luôn giao nhau chính xác một lần, trừ khi chúng song song, trong trường hợp đó chúng không bao giờ giao nhau. Tuy nhiên, vì các vectơ có độ dài giới hạn, hai vectơ có thể không song song và vẫn không bao giờ giao nhau vì chúng quá ngắn để không bao giờ gặp nhau.
// Test the ray against all sides
int intersections = 0;
for (side = 0; side < numberOfSides; side++) {
// Test if current side intersects with ray.
// If yes, intersections++;
}
if ((intersections & 1) == 1) {
// Inside of polygon
} else {
// Outside of polygon
}
Cho đến nay rất tốt, nhưng làm thế nào để kiểm tra nếu hai vectơ cắt nhau? Đây là một số mã C (chưa được kiểm tra), nên thực hiện thủ thuật:
#define NO 0
#define YES 1
#define COLLINEAR 2
int areIntersecting(
float v1x1, float v1y1, float v1x2, float v1y2,
float v2x1, float v2y1, float v2x2, float v2y2
) {
float d1, d2;
float a1, a2, b1, b2, c1, c2;
// Convert vector 1 to a line (line 1) of infinite length.
// We want the line in linear equation standard form: A*x + B*y + C = 0
// See: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_equation
a1 = v1y2 - v1y1;
b1 = v1x1 - v1x2;
c1 = (v1x2 * v1y1) - (v1x1 * v1y2);
// Every point (x,y), that solves the equation above, is on the line,
// every point that does not solve it, is not. The equation will have a
// positive result if it is on one side of the line and a negative one
// if is on the other side of it. We insert (x1,y1) and (x2,y2) of vector
// 2 into the equation above.
d1 = (a1 * v2x1) + (b1 * v2y1) + c1;
d2 = (a1 * v2x2) + (b1 * v2y2) + c1;
// If d1 and d2 both have the same sign, they are both on the same side
// of our line 1 and in that case no intersection is possible. Careful,
// 0 is a special case, that's why we don't test ">=" and "<=",
// but "<" and ">".
if (d1 > 0 && d2 > 0) return NO;
if (d1 < 0 && d2 < 0) return NO;
// The fact that vector 2 intersected the infinite line 1 above doesn't
// mean it also intersects the vector 1. Vector 1 is only a subset of that
// infinite line 1, so it may have intersected that line before the vector
// started or after it ended. To know for sure, we have to repeat the
// the same test the other way round. We start by calculating the
// infinite line 2 in linear equation standard form.
a2 = v2y2 - v2y1;
b2 = v2x1 - v2x2;
c2 = (v2x2 * v2y1) - (v2x1 * v2y2);
// Calculate d1 and d2 again, this time using points of vector 1.
d1 = (a2 * v1x1) + (b2 * v1y1) + c2;
d2 = (a2 * v1x2) + (b2 * v1y2) + c2;
// Again, if both have the same sign (and neither one is 0),
// no intersection is possible.
if (d1 > 0 && d2 > 0) return NO;
if (d1 < 0 && d2 < 0) return NO;
// If we get here, only two possibilities are left. Either the two
// vectors intersect in exactly one point or they are collinear, which
// means they intersect in any number of points from zero to infinite.
if ((a1 * b2) - (a2 * b1) == 0.0f) return COLLINEAR;
// If they are not collinear, they must intersect in exactly one point.
return YES;
}
Các giá trị đầu vào là hai điểm cuối của vectơ 1 ( v1x1/v1y1và v1x2/v1y2) và vectơ 2 ( v2x1/v2y1và v2x2/v2y2). Vậy bạn có 2 vectơ, 4 điểm, 8 tọa độ. YESvà NOrõ ràng YEStăng giao lộ, NOkhông làm gì cả.
Thế còn COLLINEAR thì sao? Điều đó có nghĩa là cả hai vectơ nằm trên cùng một đường thẳng vô hạn, tùy thuộc vào vị trí và độ dài, chúng không giao nhau chút nào hoặc chúng giao nhau trong vô số điểm. Tôi không chắc chắn làm thế nào để xử lý trường hợp này, tôi sẽ không tính nó là giao lộ. Chà, dù sao thì trường hợp này khá hiếm trong thực tế vì lỗi làm tròn dấu phẩy động; mã tốt hơn có thể sẽ không kiểm tra == 0.0fmà thay vào đó là một cái gì đó như < epsilon, trong đó epsilon là một con số khá nhỏ.
Nếu bạn cần kiểm tra số lượng điểm lớn hơn, bạn chắc chắn có thể tăng tốc toàn bộ một chút bằng cách giữ các dạng phương trình tuyến tính chuẩn của các cạnh đa giác trong bộ nhớ, do đó bạn không phải tính toán lại các điểm này mỗi lần. Điều này sẽ giúp bạn tiết kiệm hai phép nhân dấu phẩy động và ba phép trừ điểm nổi trên mỗi bài kiểm tra để đổi lấy việc lưu trữ ba giá trị dấu phẩy động trên mỗi cạnh đa giác trong bộ nhớ. Đó là một ký ức điển hình so với thời gian tính toán đánh đổi.
Cuối cùng nhưng không kém phần quan trọng: Nếu bạn có thể sử dụng phần cứng 3D để giải quyết vấn đề, có một sự thay thế thú vị. Chỉ cần để GPU làm tất cả công việc cho bạn. Tạo một bề mặt tranh mà tắt màn hình. Điền nó hoàn toàn với màu đen. Bây giờ, hãy để OpenGL hoặc Direct3D vẽ đa giác của bạn (hoặc thậm chí tất cả các đa giác của bạn nếu bạn chỉ muốn kiểm tra xem điểm có nằm trong bất kỳ điểm nào trong số chúng không, nhưng bạn không quan tâm đến cái nào) và điền vào đa giác bằng một khác màu, ví dụ màu trắng. Để kiểm tra xem một điểm có nằm trong đa giác hay không, hãy lấy màu của điểm này từ bề mặt bản vẽ. Đây chỉ là một bộ nhớ O (1).
Tất nhiên phương pháp này chỉ có thể sử dụng được nếu bề mặt vẽ của bạn không phải là rất lớn. Nếu nó không thể vừa với bộ nhớ GPU, phương pháp này chậm hơn so với thực hiện trên CPU. Nếu nó phải rất lớn và GPU của bạn hỗ trợ các trình đổ bóng hiện đại, bạn vẫn có thể sử dụng GPU bằng cách thực hiện việc truyền tia được trình bày ở trên dưới dạng trình tạo bóng GPU, điều này hoàn toàn có thể. Đối với số lượng đa giác lớn hơn hoặc số lượng điểm lớn để kiểm tra, điều này sẽ được đền đáp, hãy xem xét một số GPU sẽ có thể kiểm tra song song 64 đến 256 điểm. Tuy nhiên, xin lưu ý rằng việc truyền dữ liệu từ CPU sang GPU và trở lại luôn tốn kém, vì vậy, chỉ cần thử nghiệm một vài điểm so với một vài đa giác đơn giản, trong đó các điểm hoặc đa giác đều động và sẽ thay đổi thường xuyên, cách tiếp cận GPU sẽ hiếm khi trả tiền tắt.
