Độ phức tạp thời gian của thuật toán Sieve of Eratosthenes

Từ Wikipedia:

Độ phức tạp của thuật toán là các phép toán O(n(logn)(loglogn))bit.

Làm thế nào để bạn đến đó?

Rằng sự phức tạp bao gồm loglognthuật ngữ nói với tôi rằng có một sqrt(n)nơi nào đó.

Giả sử tôi đang chạy sàng trên 100 số đầu tiên ( n = 100), giả sử rằng việc đánh dấu các số dưới dạng hỗn hợp cần thời gian không đổi (triển khai mảng), số lần chúng tôi sử dụng mark_composite()sẽ giống như

n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + ... + n/97        =      O(n^2)                         

Và để tìm số nguyên tố tiếp theo (ví dụ để chuyển đến 7sau khi gạch bỏ tất cả các số là bội của 5), số phép toán sẽ là O(n).

Vì vậy, sự phức tạp sẽ là O(n^3). Bạn có đồng ý không?

1. N / 2 + n / 3 + n / 5 +… n / 97 của bạn không phải là O (n), bởi vì số lượng các số hạng không phải là hằng số. [Chỉnh sửa sau khi bạn chỉnh sửa: O (n ² ) giới hạn trên quá lỏng lẻo.] Giới hạn trên lỏng lẻo là n (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +… 1 / n) (tổng nghịch đảo của tất cả các số lên đến n), là O (n log n): xem Số hài . Giới hạn trên thích hợp hơn là n (1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +…), đó là tổng nghịch đảo của các số nguyên tố lên đến n, là O (n log log n). (Xem tại đây hoặc tại đây .)

2. Bit "tìm số nguyên tố tiếp theo" chỉ là O (n) tổng thể, được phân bổ - bạn sẽ tiến lên để tìm số tiếp theo chỉ tổng cộng n lần , không phải mỗi bước. Vì vậy, toàn bộ phần này của thuật toán chỉ lấy O (n).

Vì vậy, sử dụng hai điều này, bạn sẽ nhận được giới hạn trên của O (n log log n) + O (n) = O (n log log n) các phép toán số học. Nếu bạn đếm các phép toán bit, vì bạn đang xử lý các số lên đến n, chúng có khoảng log n bit, đó là nơi chứa thừa số của log n, cho phép toán O (n log n log log n) bit.

Sự phức tạp bao gồm thuật ngữ loglogn cho tôi biết rằng có một sqrt (n) ở đâu đó.

Hãy nhớ rằng khi bạn tìm thấy một số nguyên tố Ptrong khi sàng, bạn sẽ không bắt đầu gạch bỏ các số ở vị trí hiện tại của bạn + P; bạn thực sự bắt đầu bỏ qua các số tại P^2. Tất cả các bội số Pnhỏ hơn P^2sẽ bị gạch bỏ bởi các số nguyên tố trước đó.

1. Vòng lặp bên trong thực n/ihiện các bước, đâu ilà nguyên tố => toàn bộ độ phức tạp sum(n/i) = n * sum(1/i). Theo chuỗi hài nguyên tố, vị sum (1/i)trí inguyên tố là log (log n). Tổng cộng O(n*log(log n)),.

2. Tôi nghĩ rằng vòng lặp trên có thể được tối ưu hóa bằng cách thay thế nbằng sqrt(n)độ phức tạp thời gian tổng thể sẽ O(sqrt(n)loglog(n)):

   void isprime(int n)
   {
       int prime[n],i,j,count1=0;
       for(i=0;i<n;i++)
       {
          prime[i]=1;
       }
       prime[0]=prime[1]=0;
       for(i=2;i<=n;i++)
       {
           if(prime[i]==1)
           {
               printf("%d ",i);
               for(j=2;(i*j)<=n;j++)
                   prime[i*j]=0;
           }
       }    
   }
   

Xem giải thích ở trên, vòng lặp bên trong là tổng hài hòa của tất cả các số nguyên tố cho đến sqrt (n). Vì vậy, độ phức tạp thực tế của là O (sqrt (n) * log (log (sqrt (n))))