Chúng tôi biết rằng ví dụ mô-đun quyền lực của hai có thể được biểu thị như sau:
x % 2 inpower n == x & (2 inpower n - 1).
Ví dụ:
x % 2 == x & 1
x % 4 == x & 3
x % 8 == x & 7
Điều gì về phi sức mạnh chung của hai số?
Hãy cùng nói nào:
x% 7 ==?
Câu trả lời:
Trước hết, thực sự không chính xác khi nói rằng
x % 2 == x & 1
Phản ví dụ đơn giản: x = -1. Trong nhiều ngôn ngữ, bao gồm cả Java -1 % 2 == -1,. Đó %không nhất thiết là định nghĩa toán học truyền thống của modulo. Ví dụ, Java gọi nó là "toán tử phần dư".
Liên quan đến tối ưu hóa bitwise, chỉ lũy thừa mô-đun của hai có thể "dễ dàng" được thực hiện trong số học bit. Nói chung, chỉ lũy thừa môđun của cơ số b có thể "dễ dàng" được thực hiện với biểu diễn cơ số b của các số.
Ví dụ, trong cơ số 10, đối với không âm N, N mod 10^kchỉ lấy các kchữ số có nghĩa nhỏ nhất .
-1 = -1 (mod 2), không chắc bạn đang nhận được gì - ý bạn là nó không giống với phần còn lại của IEEE 754?
(a / b) / b + a % b == ađối với toán tử kiểu C, số nguyên a và b, b khác không, và cả abs(a % b) < abs(b)với cùng điều kiện.
(a / b)* b + a % b == a.
Chỉ có một cách đơn giản để tìm modulo của 2 ^ i số bằng cách sử dụng bitwise.
Có một cách khéo léo để giải quyết các trường hợp Mersenne theo liên kết chẳng hạn như n% 3, n% 7 ... Có những trường hợp đặc biệt cho n% 5, n% 255, và các trường hợp tổng hợp như n% 6.
Đối với trường hợp 2 ^ i, (2, 4, 8, 16 ...)
n % 2^i = n & (2^i - 1)
Những cái phức tạp hơn rất khó giải thích. Chỉ đọc nếu bạn rất tò mò.
Điều này chỉ hoạt động đối với lũy thừa của hai (và thường chỉ là số dương) vì chúng có đặc tính duy nhất là chỉ có một bit được đặt thành '1' trong biểu diễn nhị phân của chúng. Bởi vì không có lớp số nào khác chia sẻ thuộc tính này, bạn không thể tạo biểu thức bit-và cho hầu hết các biểu thức mô-đun.
Có các moduli khác với lũy thừa của 2 mà các thuật toán hiệu quả tồn tại.
Ví dụ: nếu x là 32 bit không dấu int thì x% 3 = popcnt (x & 0x55555555) - popcnt (x & 0xaaaaaaaa)
Modulo "7" không có toán tử "%"
int a = x % 7;
int a = (x + x / 7) & 7;
Không sử dụng toán tử bitwise-and ( &) trong nhị phân, không có. Phác thảo bằng chứng:
Giả sử có một giá trị k sao cho x & k == x % (k + 1), nhưng k! = 2 ^ n - 1 . Sau đó, nếu x == k , biểu thức x & kdường như "hoạt động chính xác" và kết quả là k . Bây giờ, hãy xem xét x == ki : nếu có bất kỳ bit "0" nào trong k , thì sẽ có một số i lớn hơn 0 mà ki chỉ có thể được biểu thị bằng bit 1 ở các vị trí đó. (Ví dụ: 1011 (11) phải trở thành 0111 (7) khi 100 (4) bị trừ khỏi nó, trong trường hợp này, bit 000 trở thành 100 khi i = 4. ) Nếu một bit từ biểu thức của k phải thay đổi từ 0 đến một người để đại diện cho ki, thì nó không thể tính toán chính xác x% (k + 1) , trong trường hợp này phải là ki , nhưng không có cách nào cho boolean bitwise và tạo ra giá trị đó cho mặt nạ.
Trong trường hợp cụ thể này (mod 7), chúng tôi vẫn có thể thay thế% 7 bằng các toán tử bitwise:
// Return X%7 for X >= 0.
int mod7(int x)
{
while (x > 7) x = (x&7) + (x>>3);
return (x == 7)?0:x;
}
Nó hoạt động vì 8% 7 = 1. Rõ ràng, mã này có thể kém hiệu quả hơn một x% 7 đơn giản và chắc chắn là ít dễ đọc hơn.
Sử dụng bitwise_and, bitwise_or và bitwise_not, bạn có thể sửa đổi bất kỳ cấu hình bit nào thành cấu hình bit khác (nghĩa là tập hợp các toán tử này "hoàn chỉnh về mặt chức năng"). Tuy nhiên, đối với các hoạt động như modulus, công thức chung nhất thiết sẽ khá phức tạp, tôi thậm chí sẽ không bận tâm đến việc tạo lại nó.