Là | | và! Toán tử đủ để làm cho mọi biểu thức logic có thể?

Biểu thức logic ( a && b ) (cả avà bcó giá trị boolean) có thể được viết như thế !(!a || !b), ví dụ. Điều này không có nghĩa &&là "không cần thiết" sao? Điều này có nghĩa là tất cả các biểu thức logic chỉ có thể được thực hiện bằng cách sử dụng ||và !?

Vâng, như các câu trả lời khác chỉ ra, tập hợp các toán gồm ||và !là chức năng hoàn chỉnh . Đây là một bằng chứng mang tính xây dựng về điều đó, cho thấy cách sử dụng chúng để thể hiện tất cả mười sáu kết nối logic có thể có giữa các biến boolean Avà B:

• Đúng :A || !A
• A NAND B :!A || !B
• B ngụ ý A :!B || A
• A ngụ ý B :!A || B
• A HOẶC B :A || B
• Không phải B :!B
• Không phải A :!A
• A XOR B :!(!A || B) || !(A || !B)
• A XNOR B :!(!A || !B) || !(A || B)
• A :A
• B :B
• A B B :!(A || B)
• A không ngụ ý B :!(!A || B)
• B không ngụ ý A :!(!B || A)
• A VÀ B :!(!A || !B)
• Sai :!(A || !A)

Lưu ý rằng cả NAND và NOR đều tự hoàn thành về mặt chức năng (có thể được chứng minh bằng cách sử dụng cùng một phương pháp ở trên), vì vậy nếu bạn muốn xác minh rằng một tập hợp toán tử đã hoàn thành về mặt chức năng, đủ để cho thấy rằng bạn có thể biểu thị NAND hoặc NOR với nó.

Dưới đây là biểu đồ hiển thị biểu đồ Venn cho từng kết nối được liệt kê ở trên:

[ nguồn ]

Những gì bạn đang mô tả là đầy đủ chức năng .

Phần này mô tả một tập hợp các toán tử logic đủ để "diễn đạt tất cả các bảng chân lý có thể". Toán tử Java của bạn được đặt, { ||,! }, là đủ; nó tương ứng với tập {∨,}, được liệt kê trong phần "Bộ toán tử hoàn thành chức năng tối thiểu".

Tập hợp tất cả các bảng chân lý có nghĩa là tất cả các bộ có thể có 4 giá trị boolean có thể là kết quả của một hoạt động giữa 2 giá trị boolean. Bởi vì có 2 giá trị có thể cho một boolean, có 2 ⁴ hoặc 16, các bảng chân lý có thể.

A B | 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
----+------------------------------------------------
T T | T  T  T  T  T  T  T  T  F  F  F  F  F  F  F  F
T F | T  T  T  T  F  F  F  F  T  T  T  T  F  F  F  F
F T | T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F 
F F | T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F

Dưới đây là bảng các số của bảng chân lý (0-15), ||và các !kết hợp mang lại nó và mô tả.

Table  |  Operation(s)                    | Description
-------+----------------------------------+-------------
  0    | A || !A                          | TRUE
  1    | A || B                           | OR
  2    | A || !B                          | B IMPLIES A
  3    | A                                | A
  4    | !A || B                          | A IMPLIES B
  5    | B                                | B
  6    | !(!A || !B) || !(A || B)         | XNOR (equals)
  7    | !(!A || !B)                      | AND
  8    | !A || !B                         | NAND
  9    | !(A || !B) || !(!A || B)         | XOR
 10    | !B                               | NOT B
 11    | !(!A || B)                       | NOT A IMPLIES B
 12    | !A                               | NOT A
 13    | !(A || !B)                       | NOT B IMPLIES A
 14    | !(A || B)                        | NOR
 15    | !(A || !A)                       | FALSE

Có rất nhiều bộ hoàn chỉnh chức năng khác, bao gồm một bộ phần tử {NAND} và {NOR}, không có các toán tử đơn tương ứng trong Java.

Đúng.

Tất cả các cổng logic có thể được thực hiện từ cổng NOR.

Vì một cổng NOR có thể được tạo từ KHÔNG và OR, kết quả như sau.

Dành thời gian để đọc về Luật DeMorgan nếu bạn có thể.

Bạn sẽ tìm thấy câu trả lời trong bài đọc ở đó, cũng như các tài liệu tham khảo cho các bằng chứng logic.

Nhưng thực chất, câu trả lời là có.

EDIT : Đối với nhân chứng, quan điểm của tôi là người ta có thể suy luận một cách logic một biểu thức OR từ một biểu thức AND và ngược lại. Có nhiều luật hơn về sự tương đương và suy luận logic, nhưng tôi nghĩ rằng đây là hầu hết các apropos.

EDIT 2 : Đây là một bằng chứng thông qua bảng chân lý cho thấy sự tương đương logic của biểu thức sau đây.

Luật của DeMorgan: !(!A || !B) -> A && B

 Giới thiệu
| Một | B | ! A | ! B | ! A || ! B | ! (! A | |! B) | A && B |
-------------------------------------------------- -----
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Giới thiệu

NAND và NOR là phổ quát, chúng có thể được sử dụng để xây dựng bất kỳ hoạt động logic nào bạn muốn ở bất cứ đâu; toán tử khác có sẵn trong các ngôn ngữ lập trình để giúp dễ viết và tạo mã dễ đọc.

Ngoài ra, tất cả các hoạt động logic cần thiết trong mạch điện cũng được phát triển bằng cách sử dụng IC chỉ NAND hoặc NOR.

Đúng, theo đại số Boolean, bất kỳ hàm Boolean nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của minterms hoặc sản phẩm của maxterms, được gọi là dạng chuẩn chính tắc . Không có lý do tại sao logic như vậy không thể được áp dụng cho các toán tử tương tự được sử dụng trong khoa học máy tính.

https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_n normal_form