Ném mèo ra khỏi cửa sổ

Hãy tưởng tượng bạn đang ở trong một tòa nhà cao tầng với một con mèo. Con mèo có thể sống sót khi rơi ra khỏi cửa sổ câu chuyện thấp, nhưng sẽ chết nếu bị ném từ trên cao xuống. Làm thế nào bạn có thể tìm ra giọt nước dài nhất mà con mèo có thể sống sót, sử dụng số lần thử ít nhất?

Rõ ràng, nếu bạn chỉ có một con mèo, thì bạn chỉ có thể tìm kiếm tuyến tính. Đầu tiên ném con mèo từ tầng một. Nếu nó sống sót, ném nó từ thứ hai. Cuối cùng, sau khi bị ném từ tầng f, con mèo sẽ chết. Sau đó, bạn biết rằng tầng f-1 là tầng an toàn tối đa.

Nhưng nếu bạn có nhiều hơn một con mèo thì sao? Bây giờ bạn có thể thử một số loại tìm kiếm logarit. Giả sử tòa nhà có 100 tầng và bạn có hai con mèo giống hệt nhau. Nếu bạn ném con mèo đầu tiên ra khỏi tầng 50 và nó chết, thì bạn chỉ phải tìm kiếm 50 tầng một cách tuyến tính. Bạn có thể làm tốt hơn nữa nếu bạn chọn tầng thấp hơn cho lần thử đầu tiên. Giả sử bạn chọn giải quyết vấn đề 20 tầng một lần và tầng chết người đầu tiên là # 50. Trong trường hợp đó, con mèo đầu tiên của bạn sẽ sống sót sau các chuyến bay từ tầng 20 và 40 trước khi chết từ tầng 60. Bạn chỉ cần kiểm tra từng tầng 41 đến 49. Đó là tổng cộng 12 lần thử, tốt hơn nhiều so với 50 lần bạn cần nếu bạn đã cố gắng sử dụng loại bỏ nhị phân.

Nói chung, chiến lược tốt nhất và sự phức tạp trong trường hợp xấu nhất đối với một tòa nhà n tầng có 2 con mèo là gì? Còn đối với n tầng và m mèo thì sao?

Giả sử rằng tất cả các con mèo là tương đương: tất cả chúng sẽ sống sót hoặc chết vì ngã từ một cửa sổ nhất định. Ngoài ra, mọi nỗ lực đều độc lập: nếu một con mèo sống sót sau một cú ngã, nó hoàn toàn không hề hấn gì.

Đây không phải là bài tập về nhà, mặc dù tôi có thể đã giải quyết nó cho bài tập ở trường một lần. Đó chỉ là một vấn đề hay thay đổi xuất hiện trong đầu tôi hôm nay và tôi không nhớ giải pháp. Điểm thưởng nếu bất cứ ai biết tên của vấn đề này hoặc thuật toán giải pháp.

Bạn có thể dễ dàng viết một chút DP (lập trình động) cho trường hợp chung của n tầng và m mèo.

Công thức chính a[n][m] = min(max(a[k - 1][m - 1], a[n - k][m]) + 1) : for each k in 1..n, nên tự giải thích:

• Nếu con mèo đầu tiên bị ném từ tầng thứ k và chết, bây giờ chúng ta có các k - 1tầng để kiểm tra (tất cả bên dưới k) và m - 1mèo ( a[k - 1][m - 1]).
• Nếu mèo sống sót, có những n - ktầng còn lại (tất cả các tầng trên k) và vẫn là mmèo.
• Trường hợp xấu nhất của hai nên được chọn, do đó max.
• + 1 xuất phát từ thực tế là chúng ta chỉ sử dụng một lần thử (bất kể con mèo có sống sót hay không).
• Chúng tôi cố gắng mọi tầng có thể để tìm kết quả tốt nhất, do đó min(f(k)) : for k in 1..n.

Nó đồng ý với kết quả của Google từ liên kết của Gaurav Saxena cho (100, 2).

int n = 100; // number of floors
int m = 20; // number of cats
int INFINITY = 1000000;

int[][] a = new int[n + 1][m + 1];
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    // no cats - no game
    a[i][0] = INFINITY;
}

for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    for (int j = 1; j <= m; ++j) {
        // i floors, j cats
        a[i][j] = INFINITY;

        for (int k = 1; k <= i; ++k) {
            // try throw first cat from k-th floor
            int result = Math.max(a[k - 1][j - 1], a[i - k][j]) + 1;
            a[i][j] = Math.min(a[i][j], result);
        }
    }
}

System.out.println(a[n][m]);

Bạn có thể dễ dàng tìm thấy chiến lược (cách ném con mèo đầu tiên), nếu bạn tiết kiệm tốt nhất ktrong mảng khác.

Ngoài ra còn có một giải pháp nhanh hơn, không liên quan đến tính toán O (n ^ 3), nhưng tôi đã hơi buồn ngủ rồi.

chỉnh sửa
Oh yeah, tôi nhớ nơi tôi đã thấy vấn đề này trước đây .

Theo một tập gần đây của Radiolab (về "Rơi") , một con mèo đạt đến vận tốc cuối tầng 9. Sau đó, nó thư giãn và ít có khả năng bị tổn thương. Có những con mèo hoàn toàn không bị thương sau một cú ngã từ trên 30. Các tầng rủi ro nhất là thứ 5 đến thứ 9.

Hãy tưởng tượng bạn đang ở trong một tòa nhà cao tầng với một con mèo. Con mèo có thể sống sót khi rơi ra khỏi cửa sổ câu chuyện thấp, nhưng sẽ chết nếu bị ném từ trên cao xuống. Làm thế nào bạn có thể tìm ra giọt nước dài nhất mà con mèo có thể sống sót, sử dụng số lần thử ít nhất?

Chiến lược tốt nhất để giải quyết vấn đề này là điều tra, sử dụng định luật vật lý, xác suất giả định của bạn là đúng ngay từ đầu.

Nếu bạn đã làm như vậy, bạn sẽ nhận ra rằng cơ hội sống sót của con mèo thực sự tăng khoảng cách lên mặt đất càng cao. Tất nhiên, giả sử bạn ném nó từ một tòa nhà cao hơn bao giờ hết, chẳng hạn như tháp petronas, và không phải là một ngọn núi cao hơn, chẳng hạn như đỉnh núi.

Chỉnh sửa:
Trên thực tế, bạn sẽ thấy một phân phối lạc đà chưa hoàn thành.
Đầu tiên, xác suất mèo chết là thấp (độ cao rất thấp), sau đó nó sẽ cao hơn (độ cao thấp), sau đó lại thấp hơn (độ cao cao hơn), và sau đó lại cao hơn (độ cao rất cao).

Biểu đồ cho xác suất mèo chết như một hàm của độ cao so với mặt đất trông như thế này:
(kết thúc ở 3, vì phân phối lạc đà chưa hoàn thành)

Cập nhật:
Vận tốc đầu cuối của một con mèo là 100 km / h (60mph) [= 27,7m / s = 25,4 yard / s].
Vận tốc đầu cuối của con người là 210 km / h (130mph). [= 75m / s = 68,58 yard / s]

Nguồn vận tốc đầu cuối:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cat_righting_Vflex

Tín dụng:
Goooooogle

Tôi cần xác minh sau:
http://en.wikipedia.org/wiki/Terminal_velocity
http://www.grc.nasa.gov /WWW/K-12/airplane/termv.html

Lần đầu tiên tôi đọc vấn đề này trong Steven Skiena's Hướng dẫn thiết kế thuật toán (bài tập 8.15). Nó đã theo một chương về lập trình động, nhưng bạn không cần phải biết lập trình động để chứng minh các giới hạn chính xác về chiến lược . Đầu tiên là báo cáo vấn đề, sau đó là giải pháp dưới đây.

Trứng vỡ khi rơi từ độ cao đủ lớn. Với một tòa nhà n tầng, phải có một tầng f sao cho trứng rơi từ tầng f vỡ, nhưng trứng rơi từ tầng f-1 vẫn tồn tại. (Nếu trứng vỡ từ bất kỳ tầng nào, chúng tôi sẽ nói f = 1. Nếu trứng tồn tại từ bất kỳ tầng nào, chúng tôi sẽ nói f = n + 1).

Bạn tìm kiếm để tìm tầng quan trọng f. Hoạt động duy nhất bạn có thể thực hiện là thả một quả trứng xuống sàn và xem điều gì xảy ra. Bạn bắt đầu với k trứng, và tìm cách thả trứng càng nhiều lần càng tốt. Trứng vỡ không thể được tái sử dụng (trứng còn nguyên vẹn). Đặt E (k, n) là số lượng trứng nhỏ nhất sẽ luôn luôn đủ.

1. Chứng tỏ rằng E (1, n) = n.
2. Cho thấy E(k,n) = Θ(n**(1/k)) .
3. Tìm một sự tái phát cho E (k, n). Thời gian chạy của chương trình động để tìm E (k, n) là gì?

Chỉ 1 quả trứng

Thả trứng từ mỗi tầng bắt đầu từ lần đầu tiên sẽ tìm thấy tầng quan trọng trong các hoạt động (tồi tệ nhất).

Không có thuật toán nhanh hơn. Bất cứ lúc nào trong bất kỳ thuật toán nào, hãy để g tầng cao nhất mà từ đó trứng đã được nhìn thấy không bị vỡ. Thuật toán phải kiểm tra tầng g + 1 trước bất kỳ tầng nào cao hơn h> g + 1, nếu không, nếu trứng bị vỡ khỏi tầng h, nó không thể phân biệt giữa f = g + 1 và f = h.

2 quả trứng

Trước tiên, hãy xem xét trường hợp trứng k = 2, khi n = r ** 2 là một hình vuông hoàn hảo. Đây là một chiến lược cần thời gian O (sqrt (n)). Bắt đầu bằng cách thả quả trứng đầu tiên theo gia số của các tầng r. Khi quả trứng đầu tiên vỡ, nói ở tầng ar, chúng ta biết tầng quan trọng phải có (a-1)r < f <= ar. Sau đó chúng tôi thả quả trứng thứ hai từ mỗi tầng bắt đầu từ(a-1)r . Khi quả trứng thứ hai vỡ, chúng tôi đã tìm thấy tầng quan trọng. Chúng tôi đã thả từng quả trứng vào hầu hết thời gian r, vì vậy thuật toán này thực hiện các hoạt động 2r tồi tệ nhất, đó là (sqrt (n)).

Khi n không phải là một hình vuông hoàn hảo, hãy lấy r = ceil(sqrt(n)) ∈ Θ(sqrt(n)) . Thuật toán vẫn là Θ (sqrt (n)).

Bằng chứng là bất kỳ thuật toán nào cũng mất ít nhất sqrt (n) thời gian. Giả sử có một thuật toán nhanh hơn. Hãy xem xét chuỗi các tầng mà nó rơi quả trứng đầu tiên (miễn là nó không vỡ). Vì nó giảm ít hơn sqrt (n), nên phải có một khoảng ít nhất n / sqrt (n) là sqrt (n). Khi f ở trong khoảng này, thuật toán sẽ phải điều tra nó với quả trứng thứ hai và điều đó phải được thực hiện theo từng tầng để gọi lại trường hợp 1 quả trứng. HỢP ĐỒNG.

trứng k

Thuật toán trình bày cho 2 quả trứng có thể dễ dàng mở rộng đến k trứng. Thả từng quả trứng với khoảng thời gian không đổi, nên được coi là sức mạnh của gốc thứ k của n. Ví dụ: với n = 1000 và k = 3, các khoảng tìm kiếm là 100 tầng với quả trứng đầu tiên, 10 với quả trứng thứ hai và 1 với quả trứng cuối cùng.

Tương tự, chúng ta có thể chứng minh rằng không có thuật toán nào nhanh hơn Θ(n**(1/k))bằng cách đặt ra từ chứng minh k = 2.

Giải pháp chính xác

Chúng tôi suy luận sự tái phát bằng cách tối ưu hóa nơi thả quả trứng đầu tiên (tầng g), giả sử chúng tôi biết các giải pháp tối ưu cho các tham số nhỏ hơn. Nếu trứng vỡ, chúng ta có tầng g-1 bên dưới để khám phá với trứng k-1. Nếu trứng sống sót, chúng ta có ng tầng trên để khám phá với k trứng. Ma quỷ chọn điều tồi tệ nhất cho chúng ta. Do đó với k> 1 sự tái phát

E(k,n) = min(max(E(k,n-g), E(k-1,g))) minimised over g in 1..n

Điều này có phải giả sử bạn đang sử dụng "The Same Cat" không?

Bạn có thể tiếp cận nó một cách toán học, nhưng đó là điều tuyệt vời về toán học ... với các giả định đúng, 0 có thể bằng 1 (đối với các giá trị lớn là 0).

Từ quan điểm thực tế, bạn có thể có được 'Mèo tương tự ", nhưng bạn không thể có được" Con mèo giống nhau ".

Bạn có thể cố gắng xác định câu trả lời theo kinh nghiệm, nhưng tôi nghĩ rằng sẽ có đủ sự khác biệt thống kê rằng câu trả lời sẽ không có ý nghĩa thống kê.

Bạn có thể thử sử dụng "Con mèo giống nhau", nhưng điều đó sẽ không hiệu quả, vì, sau lần thả đầu tiên, nó không còn là con mèo giống nhau nữa. (Tương tự như vậy, onecan không bao giờ bước vào cùng một dòng sông hai lần)

Hoặc, bạn có thể tổng hợp sức khỏe của con mèo, lấy mẫu ở những khoảng thời gian cực kỳ gần và tìm ra độ cao mà con mèo "hầu hết còn sống" (trái ngược với "hầu hết đã chết" từ "Cô dâu công chúa"). Những con mèo sẽ sống sót, trung bình (cho đến khoảng cuối cùng).

Tôi nghĩ rằng tôi đã đi lạc khỏi mục đích ban đầu, nhưng nếu bạn đang đi theo con đường thực nghiệm, tôi bỏ phiếu để bắt đầu càng cao càng tốt và tiếp tục thả mèo khi chiều cao giảm cho đến khi chúng sống sót theo thống kê. Và sau đó kiểm tra lại trên những con mèo còn sống để chắc chắn.

Tôi đã sử dụng một phương pháp hơi khác nhau để tạo ra một giải pháp.

Tôi đã bắt đầu bằng cách làm việc ở tầng tối đa có thể được che phủ bằng x mèo và y đoán bằng phương pháp sau.

Bắt đầu với 1 tầng và tiếp tục tăng số lần đoán trong khi theo dõi các tầng được kiểm tra, đoán xem chúng đã được kiểm tra và số lượng mèo còn lại cho mỗi tầng.
Lặp lại điều này cho đến y lần.

Cái này rất mã không hiệu quả để tính toán các câu trả lời cho nhưng dù sao hữu ích cho số ít mèo / tầng.

Mã Python:

def next_step(x, guess):
  next_x = []
  for y in x:
    if y[0] == guess:
      if y[1] != 1:
        next_x.append((guess+1, y[1] - 1))
    next_x.append(y)
    if y[0] == guess:
      next_x.append((guess+1, y[1]))
  return next_x

x = [(1, TOTAL_NUM_CATS)]
current_floor = 1
while len(x) <= TOTAL_NUM_FLOORS:
  x = next_step(x, current_floor)
  current_floor += 1
  print len(x)

Đối với 2 con mèo, các tầng tối đa có thể được xác định trong x đoán là:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 ...

Dành cho 3 chú mèo:
1, 3, 7, 14, 25, 41, 63 ...

Dành cho 4 chú mèo:
1, 3, 7, 15, 30, 56, 98 ...

Sau khi nghiên cứu sâu rộng (chủ yếu liên quan đến việc nhập các chuỗi số vào OEIS ), tôi nhận thấy rằng các tầng tối đa cho x tuân theo mô hình kết hợp .

Cho 2 con mèo:
n <2: 2 ^ n - 1
n> = 2: C (n, 1) + C (n, 2)

Cho 3 con mèo:
n <3: 2 ^ n - 1
n> = 3: C (n, 1) + C (n, 2) + C (n, 3)

Cho 4 con mèo:
n <4: 2 ^ n - 1
n> = 4: C (n, 1) + C (n, 2) + C (n, 3) + C (n, 4)

Từ đây tôi đã thực hiện cách tiếp cận dễ dàng của việc tăng n đơn giản cho đến khi tôi vượt qua số tầng cần thiết.

Mã Python:

def find_smallest(floors, eggs):
  maximum_floors = 0
  n = 0
  while maximum_floors < floors:
    maximum_floors = 0
    n += 1
    if n < eggs:
      maximum_floors = 2**n - 1
    else:
      count = 0
      for x in xrange(1, eggs+1):
        maximum_floors += combination(n, x)
  print n

Điều này đưa ra giải pháp chính xác cho (100, 2) = 14.
Đối với bất kỳ ai muốn kiểm tra một cái gì đó ít tầm thường hơn, nó sẽ cho (1 000 000, 5) = 43.

Điều này chạy trong O (n) trong đó n là câu trả lời cho vấn đề (càng nhiều mèo càng tốt).
Tuy nhiên, tôi chắc chắn rằng ai đó có trình độ toán học cao hơn có thể đơn giản hóa các công thức từng phần để tính toán trong O (1).

O(m*(n^(1/m))) algorithm.

Let 'x' be the maximum number of attempts needed.  

m = 1 => linear => x=n

m = 2:  
Let the floors be split into 'k' partitions. The first cat is thrown at the end of each partition (max 'k' times). 
When it dies, the second cat is used to go up from the beginning of this partition.   
x = k + n/k.   
Minimize x by diff wrt k and setting = 0, to get k = n^(1/2) and x = 2 * n^(1/2).

m = 3:  
x = k + 2*(y^(1/2)), where y = n/k  
diff wrt x and set = 0, to get k = n^(1/3) and x = 3 * n^(1/3)

for general m:  
x = m * n^(1/m). 

Tôi không thể đọc blogspot của Google về điều này (nhờ vào blogwall hoạt động) nhưng tôi không nghĩ rằng tìm kiếm theo kiểu nhị phân thẳng sẽ là tốt nhất. Lý do là một tìm kiếm nhị phân dựa trên khái niệm rằng câu trả lời bạn đang tìm kiếm có cơ hội ngang nhau ở bất kỳ chỉ số nào trong danh sách. Tuy nhiên trong trường hợp này điều đó không đúng. Trong trường hợp này, câu trả lời sẽ có xác suất cao hơn ở gần một đầu của phạm vi so với đầu kia. Tôi không biết làm thế nào để đưa yếu tố đó vào tìm kiếm, nhưng đó là một suy nghĩ thú vị.

tất cả những điều điên rồ này nói về mèo..và đó chỉ là vấn đề đoán số với những lần đoán tối thiểu (số lượng mèo). không cần phải giả tạo (và không chính xác) định nghĩa vô cực như là một phần của giải pháp. biến nên được đặt tên giới hạn trên hoặc thử tối đa hoặc một số như vậy. định nghĩa vấn đề (điều mèo) có một số vấn đề nghiêm trọng, với những người phản ứng với tiềm năng tàn ác của động vật và cũng có nhiều khía cạnh của vấn đề như vậy trong cuộc sống thực, ví dụ như lực cản không khí, lực hấp dẫn là gia tốc và các thông số thực tế khác của vấn đề. vì vậy có lẽ nó nên được hỏi theo một cách hoàn toàn khác.