Tại sao các số nguyên tố quan trọng trong mật mã?

Một điều luôn luôn gây ấn tượng với tôi như một người không viết mật mã: Tại sao việc sử dụng số Prime lại quan trọng đến vậy? Điều gì làm cho chúng rất đặc biệt trong mật mã?

Có ai có một lời giải thích ngắn đơn giản ? (Tôi biết rằng có rất nhiều mồi và Mật mã học ứng dụng là Kinh thánh, nhưng như đã nói: Tôi không tìm cách thực hiện thuật toán mật mã của riêng mình và những thứ tôi tìm thấy chỉ khiến não tôi nổ tung - không có 10 trang công thức toán học xin vui lòng :))

Cảm ơn tất cả các câu trả lời. Tôi đã chấp nhận một khái niệm làm cho khái niệm thực tế rõ ràng nhất với tôi.

Hầu hết các giải thích cơ bản và chung chung: mật mã học là tất cả về lý thuyết số và tất cả các số nguyên (trừ 0 và 1) được tạo thành từ các số nguyên tố, vì vậy bạn xử lý các số nguyên tố rất nhiều trong lý thuyết số.

Cụ thể hơn, một số thuật toán mã hóa quan trọng như RSA cực kỳ phụ thuộc vào thực tế là yếu tố chính của số lượng lớn mất nhiều thời gian. Về cơ bản, bạn có một "khóa chung" bao gồm một sản phẩm gồm hai số nguyên tố lớn được sử dụng để mã hóa tin nhắn và "khóa bí mật" bao gồm hai số nguyên tố đó được sử dụng để giải mã tin nhắn. Bạn có thể đặt khóa công khai và mọi người có thể sử dụng nó để mã hóa tin nhắn cho bạn, nhưng chỉ bạn mới biết các yếu tố chính và có thể giải mã tin nhắn. Mọi người khác sẽ phải tính đến con số, mất quá nhiều thời gian để trở thành hiện thực, với tình trạng hiện tại của nghệ thuật lý thuyết số.

Đơn giản? Vâng

Nếu bạn nhân hai số nguyên tố lớn, bạn sẽ nhận được một số nguyên tố không lớn chỉ với hai thừa số nguyên tố (lớn).

Bao thanh toán số đó là một hoạt động không tầm thường và thực tế đó là nguồn gốc của rất nhiều thuật toán mã hóa. Xem các chức năng một chiều để biết thêm thông tin.

Phụ lục: Chỉ cần giải thích thêm một chút. Sản phẩm của hai số nguyên tố có thể được sử dụng làm khóa chung, trong khi các số nguyên tố là khóa riêng. Bất kỳ hoạt động nào được thực hiện đối với dữ liệu chỉ có thể được hoàn tác bằng cách biết một trong hai yếu tố sẽ không tầm thường đối với việc không mã hóa.

Dưới đây là một ví dụ rất đơn giản và phổ biến.

Các thuật toán mã hóa RSA được sử dụng phổ biến trong các trang web thương mại điện an toàn, được dựa trên thực tế là nó rất dễ dàng để mất hai (rất lớn) số nguyên tố và nhân họ, trong khi nó là vô cùng khó có thể làm điều ngược lại - có nghĩa là: Hãy số lượng rất lớn, cho rằng nó chỉ có hai yếu tố chính, và tìm thấy chúng.

Bản thân các số nguyên tố không quan trọng lắm, nhưng các thuật toán hoạt động với các số nguyên tố. Đặc biệt, tìm các yếu tố của một số (bất kỳ số nào).

Như bạn đã biết, bất kỳ số nào cũng có ít nhất hai yếu tố. Số nguyên tố có thuộc tính duy nhất ở chỗ chúng có chính xác hai yếu tố: 1 và chính chúng.

Lý do bao thanh toán rất quan trọng là các nhà toán học và các nhà khoa học máy tính không biết cách tính một số mà không cần đơn giản thử mọi kết hợp có thể. Đó là, trước tiên hãy thử chia cho 2, sau đó cho 3, sau đó cho 4 và cứ thế. Nếu bạn cố gắng tính một số nguyên tố - đặc biệt là một số rất lớn - bạn sẽ phải thử (về cơ bản) mọi số có thể có giữa 2 và số nguyên tố lớn đó. Ngay cả trên các máy tính nhanh nhất, sẽ mất nhiều năm (thậm chí hàng thế kỷ) để xác định các loại số nguyên tố được sử dụng trong mật mã.

Đó là thực tế là chúng ta không biết làm thế nào để tính một cách hiệu quả một số lượng lớn mang lại cho thuật toán mật mã sức mạnh của chúng. Nếu, một ngày nào đó, ai đó tìm ra cách để làm điều đó, tất cả các thuật toán mật mã chúng tôi hiện đang sử dụng sẽ trở nên lỗi thời. Đây vẫn là một lĩnh vực nghiên cứu mở.

Bởi vì không ai biết một thuật toán nhanh để nhân một số nguyên thành các thừa số nguyên tố của nó. Tuy nhiên, rất dễ dàng để kiểm tra nếu một tập hợp các thừa số nguyên tố nhân với một số nguyên nhất định.

Có một số tài nguyên tốt để tăng cường về tiền điện tử. Đây là một:

• http://research.microsoft.com/en-us/groups/crypto/firstcrypto.aspx

Từ trang đó:

Trong hệ thống mật mã khóa công khai được sử dụng phổ biến nhất, được phát minh bởi Ron Rivest, Adi Shamir và Len Adeld năm 1977, cả khóa công khai và khóa riêng đều được lấy từ một cặp số nguyên tố lớn theo một công thức toán học tương đối đơn giản. Về lý thuyết, có thể lấy được khóa riêng từ khóa chung bằng cách làm ngược công thức. Nhưng chỉ có sản phẩm của các số nguyên tố lớn là công khai, và bao gồm các số có kích thước đó thành số nguyên tố khó đến nỗi ngay cả các siêu máy tính mạnh nhất trên thế giới cũng không thể phá vỡ khóa công khai thông thường.

Cuốn sách Mật mã ứng dụng của Bruce Schneier là một cuốn khác. Tôi đánh giá cao cuốn sách đó; đọc rất vui

Nói rõ hơn một chút về cách RSA sử dụng các thuộc tính của số nguyên tố, thuật toán RSA phụ thuộc rất nhiều vào Định lý Euler , trong đó nói rằng với các số nguyên tố tương đối "a" và "N", a ^ e phù hợp với 1 modulo N, trong đó e là hàm toàn phần của Euler của N.

Trường hợp nào số nguyên tố đi vào đó? Để tính toán hàm tổng của Euler của N một cách hiệu quả đòi hỏi phải biết hệ số nguyên tố của N. Trong trường hợp thuật toán RSA, trong đó N = pq cho một số số nguyên tố "p" và "q", sau đó e = (p - 1) (q - 1) = N - p - q + 1. Nhưng không biết p và q, việc tính toán của e rất khó khăn.

Tóm tắt hơn, nhiều giao thức crypotgpson sử dụng các hàm bẫy khác nhau , các hàm dễ tính toán nhưng khó đảo. Lý thuyết số là một nguồn phong phú của các hàm bẫy như vậy (chẳng hạn như nhân các số nguyên tố lớn) và các số nguyên tố hoàn toàn tập trung vào lý thuyết số.

Tôi muốn đề nghị cuốn sách Hành trình toán học trong mã . Cuốn sách có một cảm giác tốt đẹp đến trái đất, thật đáng ngạc nhiên, vì nó là về mật mã. Cuốn sách tóm tắt hành trình của Sarah Flannery từ khi học câu đố khi còn nhỏ để tạo ra thuật toán Cayley-Purser (CP) ở tuổi 16. Nó đưa ra một lời giải thích chi tiết đáng kinh ngạc về các hàm một chiều, lý thuyết số và số nguyên tố và cách chúng liên quan đến mật mã.

Điều khiến cuốn sách này trở nên cụ thể hơn đối với câu hỏi của bạn là Sarah đã cố gắng thực hiện thuật toán khóa công khai mới bằng ma trận. Nó nhanh hơn nhiều khi sử dụng các số nguyên tố nhưng một lỗ lặp được tìm thấy có thể khai thác nó. Hóa ra thuật toán của cô được sử dụng tốt hơn như một cơ chế mã hóa riêng. Cuốn sách là một minh chứng tuyệt vời cho việc sử dụng các số nguyên tố để mã hóa vì nó đã đứng trước thử thách của thời gian và những thách thức của những cá nhân rất thông minh.

Thêm một tài nguyên cho bạn. Bảo mật ngay! tập 30 (~ 30 phút podcast, liên kết đến bản phiên âm) nói về các vấn đề về mật mã và giải thích tại sao các số nguyên tố lại quan trọng.

Tôi không phải là nhà toán học hay nhà mật mã, vì vậy đây là một quan sát bên ngoài theo thuật ngữ của giáo dân (không có phương trình ưa thích, xin lỗi).

Toàn bộ chủ đề này chứa đầy những lời giải thích về các số nguyên tố CÁCH được sử dụng trong mật mã, thật khó để tìm thấy ai trong chủ đề này giải thích một cách dễ dàng TẠI SAO các số nguyên tố được sử dụng ... rất có thể vì mọi người đều coi đó là kiến ​​thức.

Chỉ nhìn vấn đề từ bên ngoài mới có thể tạo ra phản ứng như; nhưng nếu họ sử dụng tổng của hai số nguyên tố, tại sao không tạo một danh sách tất cả các khoản tiền có thể có bất kỳ số nguyên tố nào có thể tạo ra?

Trên trang này có một danh sách 455.042.511 số nguyên tố, trong đó số nguyên tố cao nhất là 9,987.500.000 ( 10 chữ số).

Số nguyên tố lớn nhất được biết đến (tính đến feb 2015) là 2 với sức mạnh của 256.885.161 - 1 là 17.425.170 chữ số.

Điều này có nghĩa là không có điểm nào giữ một danh sách tất cả các số nguyên tố đã biết và ít hơn tất cả các khoản tiền có thể có của chúng. Lấy số và kiểm tra xem nó có phải là số nguyên tố hay không.

Tính toán các số nguyên tố lớn tự nó là một công việc hoành tráng, vì vậy tính toán ngược lại hai số nguyên tố đã được nhân với nhau cả nhà mật mã học và nhà toán học sẽ nói là đủ khó ... ngày nay.

Các thuật toán mật mã thường dựa vào sự bảo mật của chúng để có một "vấn đề khó khăn". Hầu hết các thuật toán hiện đại dường như sử dụng bao thanh toán với số lượng rất lớn là vấn đề khó khăn của chúng - nếu bạn nhân hai số lớn với nhau, việc tính toán các yếu tố của chúng là "khó khăn" (tức là tốn thời gian). Nếu hai số đó là số nguyên tố, thì chỉ có một câu trả lời, điều này càng khó hơn, và cũng đảm bảo rằng khi bạn tìm thấy câu trả lời, đó là câu trả lời đúng, không phải câu trả lời nào khác cũng cho kết quả tương tự.

Tôi nghĩ những gì quan trọng trong mật mã học không phải là số nguyên tố, nhưng đó là khó khăn của vấn đề nhân tố chính

Giả sử bạn có số nguyên rất lớn được biết là tích của hai số nguyên tố m và n, không dễ để tìm ra m và n là gì. Các thuật toán như RSA phụ thuộc vào thực tế này.

Nhân tiện, có một bài báo được xuất bản về thuật toán có thể "giải quyết" vấn đề nhân tố chính này trong thời gian chấp nhận được bằng máy tính lượng tử. Vì vậy, các thuật toán mới hơn trong mật mã học có thể không dựa vào "khó khăn" này của yếu tố chính nữa khi máy tính lượng tử xuất hiện :)

Bởi vì các thuật toán nhân tố tăng tốc đáng kể với từng yếu tố được tìm thấy. Làm cho cả hai khóa riêng đều đảm bảo yếu tố đầu tiên được tìm thấy cũng sẽ là yếu tố cuối cùng. Lý tưởng nhất là cả hai khóa riêng cũng sẽ có giá trị gần bằng nhau vì chỉ có sức mạnh của khóa yếu hơn.

Số nguyên tố chủ yếu được sử dụng trong mật mã vì nó tiêu tốn thời gian đáng kể để xác định xem một số đã cho có phải là số nguyên tố hay không. Đối với tin tặc nếu bất kỳ thuật toán nào mất nhiều thời gian để phá mã thì nó trở nên vô dụng đối với chúng