Giả sử một loạt các điểm trong không gian 2d không tự cắt nhau, phương pháp hiệu quả để xác định diện tích của đa giác là gì?
Lưu ý thêm, đây không phải là bài tập về nhà và tôi không tìm kiếm mã. Tôi đang tìm kiếm một mô tả mà tôi có thể sử dụng để triển khai phương pháp của riêng mình. Tôi có ý tưởng của mình về việc kéo một chuỗi tam giác từ danh sách các điểm, nhưng tôi biết có rất nhiều trường hợp cạnh liên quan đến đa giác lồi và lõm mà tôi có thể sẽ không nắm bắt được.
Câu trả lời:
Đây là phương pháp tiêu chuẩn , AFAIK. Về cơ bản tổng các tích chéo xung quanh mỗi đỉnh. Đơn giản hơn nhiều so với phương pháp tam giác.
Mã Python, cho một đa giác được biểu diễn dưới dạng danh sách tọa độ đỉnh (x, y), bao quanh một cách hoàn toàn từ đỉnh cuối cùng đến đỉnh đầu tiên:
def area(p):
return 0.5 * abs(sum(x0*y1 - x1*y0
for ((x0, y0), (x1, y1)) in segments(p)))
def segments(p):
return zip(p, p[1:] + [p[0]])
David Lehavi nhận xét: Điều đáng nói là tại sao thuật toán này hoạt động: Nó là một ứng dụng của định lý Green cho các hàm −y và x; chính xác theo cách hoạt động của planimeter . Cụ thể hơn:
Công thức trên =
integral_over_perimeter(-y dx + x dy) =
integral_over_area((-(-dy)/dy+dx/dx) dy dx) =
2 Area
abs()xóa dấu hiệu.
Các sản phẩm chéo là một cổ điển.
Nếu bạn có hàng triệu lần tính toán như vậy, hãy thử phiên bản được tối ưu hóa sau đây yêu cầu ít hơn một nửa số nhân:
area = 0;
for( i = 0; i < N; i += 2 )
area += x[i+1]*(y[i+2]-y[i]) + y[i+1]*(x[i]-x[i+2]);
area /= 2;
Tôi sử dụng chỉ số mảng mảng cho rõ ràng. Sẽ hiệu quả hơn khi sử dụng con trỏ. Mặc dù trình biên dịch tốt sẽ làm điều đó cho bạn.
Đa giác được giả định là "đóng", có nghĩa là bạn sao chép điểm đầu tiên dưới dạng điểm với chỉ số N. Nó cũng giả sử đa giác có số điểm chẵn. Nối thêm một bản sao của điểm đầu tiên nếu N không chẵn.
Thuật toán thu được bằng cách mở và kết hợp hai lần lặp liên tiếp của thuật toán tích chéo cổ điển.
Tôi không chắc chắn hai thuật toán so sánh như thế nào về độ chính xác số. Ấn tượng của tôi là thuật toán trên tốt hơn thuật toán cổ điển vì phép nhân có xu hướng khôi phục lại sự mất độ chính xác của phép trừ. Khi bị hạn chế sử dụng phao nổi, như với GPU, điều này có thể tạo ra sự khác biệt đáng kể.
CHỈNH SỬA: "Diện tích hình tam giác và đa giác 2D & 3D" mô tả một phương pháp thậm chí còn hiệu quả hơn
// "close" polygon
x[N] = x[0];
x[N+1] = x[1];
y[N] = y[0];
y[N+1] = y[1];
// compute area
area = 0;
for( size_t i = 1; i <= N; ++i )
area += x[i]*( y[i+1] - y[i-1] );
area /= 2;
Trang này cho thấy rằng công thức
có thể được đơn giản hóa thành:
Nếu bạn viết ra một vài thuật ngữ và nhóm chúng theo các yếu tố chung của xi, thì không khó thấy sự bằng nhau.
Tổng cuối cùng hiệu quả hơn vì nó chỉ yêu cầu các nphép nhân thay vì 2n.
def area(x, y):
return abs(sum(x[i] * (y[i + 1] - y[i - 1]) for i in xrange(-1, len(x) - 1))) / 2.0
Tôi đã học được cách đơn giản hóa này từ Joe Kington, tại đây .
Nếu bạn có NumPy, phiên bản này nhanh hơn (cho tất cả trừ các mảng rất nhỏ):
def area_np(x, y):
x = np.asanyarray(x)
y = np.asanyarray(y)
n = len(x)
shift_up = np.arange(-n+1, 1)
shift_down = np.arange(-1, n-1)
return (x * (y.take(shift_up) - y.take(shift_down))).sum() / 2.0
Tập hợp các điểm không có bất kỳ ràng buộc nào khác không nhất thiết phải xác định duy nhất một đa giác.
Vì vậy, trước tiên bạn phải quyết định xem đa giác nào sẽ xây dựng từ những điểm này - có lẽ là thân tàu lồi? http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_hull
Sau đó tính tam giác và tính diện tích. http://www.mathopenref.com/polygonirregulararea.html
Để mở rộng diện tích tam giác và tổng diện tích tam giác, những điều đó sẽ hoạt động nếu bạn tình cờ có một đa giác lồi HOẶC bạn tình cờ chọn một điểm không tạo ra các đường tới mọi điểm khác cắt đa giác.
Đối với một đa giác tổng quát không giao nhau, bạn cần tính tổng tích chéo của các vectơ (điểm tham chiếu, điểm a), (điểm tham chiếu, điểm b) trong đó a và b là "cạnh" nhau.
Giả sử bạn có một danh sách các điểm xác định đa giác theo thứ tự (thứ tự là các điểm i và i + 1 tạo thành một đường thẳng của đa giác):
Tính tổng (tích chéo ((điểm 0, điểm i), (điểm 0, điểm i + 1)) cho i = 1 đến n - 1.
Lấy độ lớn của tích chéo đó và bạn có diện tích bề mặt.
Điều này sẽ xử lý các đa giác lõm mà không phải lo lắng về việc chọn một điểm tham chiếu tốt; bất kỳ ba điểm nào tạo ra một tam giác không nằm bên trong đa giác sẽ có một tích chéo chỉ ngược hướng với bất kỳ tam giác nào nằm bên trong đa giác, do đó các diện tích được tính tổng chính xác.
Để tính diện tích của đa giác
http://community.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=geometry1#polygon_area
int cross(vct a,vct b,vct c)
{
vct ab,bc;
ab=b-a;
bc=c-b;
return ab.x*bc.y-ab.y*bc.x;
}
double area(vct p[],int n)
{
int ar=0;
for(i=1;i+1<n;i++)
{
vct a=p[i]-p[0];
vct b=p[i+1]-p[0];
area+=cross(a,b);
}
return abs(area/2.0);
}
giải pháp độc lập ngôn ngữ:
GIVEN: một đa giác LUÔN có thể được tạo bởi n-2 tam giác không trùng nhau (n = số điểm HOẶC cạnh). 1 tam giác = đa giác 3 cạnh = 1 tam giác; 1 hình vuông = 4 cạnh đa giác = 2 hình tam giác; vv quảng cáo nauseam QED
do đó, một đa giác có thể được giảm bớt bằng cách "cắt nhỏ" các tam giác và tổng diện tích sẽ là tổng diện tích của các tam giác này. hãy thử nó với một mảnh giấy và kéo, tốt nhất là bạn nên hình dung quy trình trước khi làm theo.
nếu bạn lấy 3 điểm liên tiếp bất kỳ trong một đường đa giác và tạo một hình tam giác với những điểm này, bạn sẽ có một và chỉ một trong ba trường hợp có thể xảy ra:
chúng tôi chỉ quan tâm đến các trường hợp nằm trong tùy chọn đầu tiên (hoàn toàn chứa).
Mỗi khi chúng tôi tìm thấy một trong số chúng, chúng tôi cắt nó ra, tính diện tích của nó (dễ hiểu, sẽ không giải thích công thức ở đây) và tạo một đa giác mới với một cạnh nhỏ hơn (tương đương với đa giác có tam giác này bị cắt nhỏ). cho đến khi chúng ta chỉ còn lại một tam giác.
cách thực hiện chương trình này:
tạo một mảng (liên tiếp) các điểm biểu diễn đường đi QUA đa giác. bắt đầu từ điểm 0. chạy mảng tạo tam giác (lần lượt) từ các điểm x, x + 1 và x + 2. biến đổi mỗi tam giác từ một hình dạng thành một diện tích và cắt nó với diện tích được tạo ra từ đa giác. NẾU giao điểm kết quả giống với tam giác ban đầu, thì tam giác đó hoàn toàn được chứa trong đa giác và có thể bị cắt nhỏ. xóa x + 1 khỏi mảng và bắt đầu lại từ x = 0. ngược lại (nếu tam giác nằm ngoài [một phần hoặc toàn bộ] đa giác), hãy di chuyển đến điểm tiếp theo x + 1 trong mảng.
Ngoài ra, nếu bạn đang tìm cách tích hợp với lập bản đồ và bắt đầu từ điểm địa lý, bạn phải chuyển đổi từ điểm địa lý sang điểm màn hình ĐẦU TIÊN. điều này đòi hỏi phải quyết định một mô hình và công thức cho hình dạng trái đất (mặc dù chúng ta có xu hướng nghĩ trái đất như một hình cầu, nhưng nó thực sự là một hình trứng không đều (hình trứng), có vết lõm). có rất nhiều mô hình ra khỏi đó, wiki để biết thêm thông tin. một vấn đề quan trọng là bạn sẽ coi khu vực đó là mặt phẳng hay là đường cong. Nói chung, các khu vực "nhỏ", nơi các điểm cách nhau đến vài km, sẽ không tạo ra sai số đáng kể nếu coi là phẳng và không lồi.
Một cách để làm điều đó là chia đa giác thành hình tam giác , tính diện tích hình tam giác và lấy tổng là diện tích đa giác.
Tốt hơn tính tổng các tam giác là tính tổng các hình thang trong không gian Descartes:
area = 0;
for (i = 0; i < n; i++) {
i1 = (i + 1) % n;
area += (vertex[i].y + vertex[i1].y) * (vertex[i1].x - vertex[i].x) / 2.0;
}
Việc thực hiện công thức Dây giày có thể được thực hiện ở Numpy. Giả sử các đỉnh này:
import numpy as np
x = np.arange(0,1,0.001)
y = np.sqrt(1-x**2)
Chúng ta có thể định nghĩa hàm sau để tìm vùng:
def PolyArea(x,y):
return 0.5*np.abs(np.dot(x,np.roll(y,1))-np.dot(y,np.roll(x,1)))
Và nhận được kết quả:
print PolyArea(x,y)
# 0.26353377782163534
Vòng lặp tránh làm cho chức năng này nhanh hơn ~ 50 lần so với PolygonArea:
%timeit PolyArea(x,y)
# 10000 loops, best of 3: 42 µs per loop
%timeit PolygonArea(zip(x,y))
# 100 loops, best of 3: 2.09 ms per loop
Lưu ý: Tôi đã viết câu trả lời này cho một câu hỏi khác , tôi chỉ đề cập điều này ở đây để có một danh sách đầy đủ các giải pháp.
Xu hướng của tôi sẽ chỉ đơn giản là bắt đầu cắt các hình tam giác. Tôi không biết làm thế nào khác có thể tránh được việc bị rậm lông khủng khiếp.
Lấy ba điểm liên tiếp tạo thành đa giác. Đảm bảo góc nhỏ hơn 180. Bây giờ bạn có một tam giác mới mà không có vấn đề gì để tính toán, hãy xóa điểm giữa khỏi danh sách các điểm của đa giác. Lặp lại cho đến khi bạn chỉ còn ba điểm.
Như được mô tả ở đây: http://www.wikihow.com/Calculate-the-Area-of-a-Polygon
import pandas as pd
df = pd.DataFrame({'x': [10, 20, 20, 30, 20, 10, 0], 'y': [-10, -10, -10, 0, 10, 30, 20]})
df = df.append(df.loc[0])
first_product = (df['x'].shift(1) * df['y']).fillna(0).sum()
second_product = (df['y'].shift(1) * df['x']).fillna(0).sum()
(first_product - second_product) / 2
600
Tôi sẽ đưa ra một vài hàm đơn giản để tính diện tích của đa giác 2d. Điều này hoạt động cho cả đa giác lồi và lõm. chúng ta chỉ cần chia đa giác thành nhiều tam giác con.
//don't forget to include cmath for abs function
struct Point{
double x;
double y;
}
// cross_product
double cp(Point a, Point b){ //returns cross product
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
double area(Point * vertices, int n){ //n is number of sides
double sum=0.0;
for(i=0; i<n; i++){
sum+=cp(vertices[i], vertices[(i+1)%n]); //%n is for last triangle
}
return abs(sum)/2.0;
}