Tạo một điểm ngẫu nhiên trong một vòng tròn (thống nhất)

Tôi cần phải tạo ra một điểm thống nhất ngẫu nhiên trong một vòng tròn bán kính R .

Tôi nhận ra rằng chỉ cần chọn một góc ngẫu nhiên đồng đều trong khoảng [0 ... 2π) và bán kính ngẫu nhiên đồng đều trong khoảng (0 ... R ) tôi sẽ kết thúc với nhiều điểm hơn về phía trung tâm, vì hai điểm đã cho bán kính, các điểm trong bán kính nhỏ hơn sẽ gần nhau hơn so với các điểm trong bán kính lớn hơn.

Tôi tìm thấy một mục blog về điều này ở đây nhưng tôi không hiểu lý do của anh ấy. Tôi cho rằng nó đúng, nhưng tôi thực sự muốn hiểu từ nơi anh ta nhận được (2 / R ² ) × r và cách anh ta đưa ra giải pháp cuối cùng.

Cập nhật: 7 năm sau khi đăng câu hỏi này tôi vẫn chưa nhận được câu trả lời thỏa đáng cho câu hỏi thực tế liên quan đến toán học đằng sau thuật toán căn bậc hai. Vì vậy, tôi đã dành một ngày để viết một câu trả lời cho mình. Liên kết với câu trả lời của tôi .

Hãy tiếp cận điều này giống như Archimedes sẽ có.

Làm thế nào chúng ta có thể tạo một điểm đồng đều trong một tam giác ABC, trong đó | AB | = | BC |? Chúng ta hãy làm điều này dễ dàng hơn bằng cách mở rộng sang hình bình hành ABCD. Thật dễ dàng để tạo các điểm đồng đều trong ABCD. Chúng tôi thống nhất chọn một điểm X ngẫu nhiên trên AB và Y trên BC và chọn Z sao cho XBYZ là hình bình hành. Để có được một điểm được chọn đồng đều trong tam giác ban đầu, chúng ta chỉ cần gấp bất kỳ điểm nào xuất hiện trong ADC trở lại ABC dọc theo AC.

Bây giờ hãy xem xét một vòng tròn. Trong giới hạn, chúng ta có thể nghĩ về nó là vô số các tam giác isocele ABC với B ở gốc và A và C trên chu vi gần nhau. Chúng ta có thể chọn một trong những hình tam giác này bằng cách chọn một góc theta. Vì vậy, bây giờ chúng ta cần tạo một khoảng cách từ trung tâm bằng cách chọn một điểm trong cúi ABC. Một lần nữa, mở rộng đến ABCD, trong đó D bây giờ gấp đôi bán kính từ tâm vòng tròn.

Chọn một điểm ngẫu nhiên trong ABCD rất dễ dàng bằng phương pháp trên. Chọn một điểm ngẫu nhiên trên AB. Thống nhất chọn một điểm ngẫu nhiên trên BC. I E. chọn một cặp số ngẫu nhiên x và y đồng nhất trên [0, R] cho khoảng cách từ tâm. Tam giác của chúng ta là một mảnh mỏng nên AB và BC về cơ bản là song song. Vì vậy, điểm Z chỉ đơn giản là một khoảng cách x + y từ gốc. Nếu x + y> R chúng ta gập xuống.

Đây là thuật toán hoàn chỉnh cho R = 1. Tôi hy vọng bạn đồng ý nó khá đơn giản. Nó sử dụng trig, nhưng bạn có thể đảm bảo thời gian thực hiện và bao nhiêu random()cuộc gọi cần, không giống như lấy mẫu từ chối.

t = 2*pi*random()
u = random()+random()
r = if u>1 then 2-u else u
[r*cos(t), r*sin(t)]

Đây là trong Mathicala.

f[] := Block[{u, t, r},
  u = Random[] + Random[];
  t = Random[] 2 Pi;
  r = If[u > 1, 2 - u, u];
  {r Cos[t], r Sin[t]}
]

ListPlot[Table[f[], {10000}], AspectRatio -> Automatic]

Cách tạo một điểm ngẫu nhiên trong vòng tròn bán kính R :

r = R * sqrt(random())
theta = random() * 2 * PI

(Giả sử random()cho giá trị từ 0 đến 1 đồng nhất)

Nếu bạn muốn chuyển đổi điều này sang tọa độ Descartes, bạn có thể làm

x = centerX + r * cos(theta)
y = centerY + r * sin(theta)

Tại sao sqrt(random())?

Chúng ta hãy nhìn vào toán học dẫn đến sqrt(random()). Giả sử vì đơn giản chúng ta đang làm việc với vòng tròn đơn vị, tức là R = 1.

Khoảng cách trung bình giữa các điểm phải giống nhau bất kể chúng ta nhìn từ trung tâm bao xa. Điều này có nghĩa là, ví dụ, nhìn vào chu vi của một vòng tròn có chu vi 2, chúng ta sẽ tìm thấy số điểm gấp đôi số điểm trên chu vi của một vòng tròn có chu vi 1.

Do chu vi của một vòng tròn (2π r ) tăng tuyến tính với r , nên theo đó số lượng điểm ngẫu nhiên sẽ tăng tuyến tính với r . Nói cách khác, hàm mật độ xác suất mong muốn (PDF) tăng trưởng tuyến tính. Vì một tệp PDF nên có diện tích bằng 1 và bán kính tối đa là 1, chúng tôi có

Vì vậy, chúng ta biết mật độ mong muốn của các giá trị ngẫu nhiên của chúng ta sẽ trông như thế nào. Bây giờ: Làm thế nào để chúng ta tạo ra một giá trị ngẫu nhiên như vậy khi tất cả những gì chúng ta có là một giá trị ngẫu nhiên thống nhất trong khoảng từ 0 đến 1?

Chúng tôi sử dụng một mẹo gọi là lấy mẫu biến đổi nghịch đảo

1. Từ PDF, tạo chức năng phân phối tích lũy (CDF)
2. Phản chiếu cái này dọc theo y = x
3. Áp dụng hàm kết quả cho giá trị đồng nhất trong khoảng từ 0 đến 1.

Nghe có vẻ phức tạp? Hãy để tôi chèn một blockquote với một bản nhạc phụ nhỏ truyền tải trực giác:

Giả sử chúng ta muốn tạo một điểm ngẫu nhiên với phân phối sau:

                

Đó là

• 1/5 số điểm thống nhất giữa 1 và 2, và
• 4/5 điểm thống nhất giữa 2 và 3.

CDF, như tên cho thấy, phiên bản tích lũy của PDF. Theo trực giác: Trong khi PDF ( x ) mô tả số lượng giá trị ngẫu nhiên tại x , CDF ( x ) mô tả số lượng giá trị ngẫu nhiên nhỏ hơn x .

Trong trường hợp này, CDF sẽ trông như sau:

                

Để xem điều này hữu ích như thế nào, hãy tưởng tượng rằng chúng ta bắn đạn từ trái sang phải ở độ cao phân bố đồng đều. Khi những viên đạn bắn trúng đường, chúng rơi xuống đất:

                

Xem làm thế nào mật độ của viên đạn trên mặt đất tương ứng với phân phối mong muốn của chúng tôi! Chúng ta gần đến rồi!

Vấn đề là đối với chức năng này, trục y là đầu ra và trục x là đầu vào . Chúng ta chỉ có thể "bắn đạn từ mặt đất lên"! Chúng ta cần hàm nghịch đảo!

Đây là lý do tại sao chúng ta phản ánh toàn bộ sự việc; x trở thành y và y trở thành x :

                

Chúng tôi gọi đây là CDF ^-1 . Để có được các giá trị theo phân phối mong muốn, chúng tôi sử dụng CDF ^-1 (ngẫu nhiên ()).

Vì vậy, quay lại để tạo các giá trị bán kính ngẫu nhiên trong đó PDF của chúng tôi bằng 2 x .

Bước 1: Tạo CDF:

Vì chúng tôi đang làm việc với thực tế, CDF được thể hiện dưới dạng tích phân của PDF.

CDF ( x ) = ∫ 2 x = x ²

Bước 2: Phản chiếu CDF dọc theo y = x :

Về mặt toán học, điều này có nghĩa là thay đổi x và y và giải cho y :

CDF :      y = x ²
Hoán đổi:    x = y ²
Giải:    y = √ x
CDF ^-1 :   y = √ x

Bước 3: Áp dụng hàm kết quả cho giá trị đồng nhất trong khoảng từ 0 đến 1

CDF ^-1 (ngẫu nhiên ()) = √random ()

Đó là những gì chúng tôi đặt ra để rút ra :-)

Đây là một giải pháp nhanh chóng và đơn giản.

Chọn hai số ngẫu nhiên trong phạm vi (0, 1), cụ thể là avà b. Nếu b < a, trao đổi chúng. Quan điểm của bạn là (b*R*cos(2*pi*a/b), b*R*sin(2*pi*a/b)).

Bạn có thể nghĩ về giải pháp này như sau. Nếu bạn lấy vòng tròn, cắt nó, sau đó duỗi thẳng ra, bạn sẽ có một hình tam giác vuông. Quy mô mà tam giác xuống, và bạn muốn có một hình tam giác từ (0, 0)để (1, 0)đến (1, 1)và ngược lại để (0, 0). Tất cả các biến đổi này thay đổi mật độ đồng đều. Những gì bạn đã làm là thống nhất chọn một điểm ngẫu nhiên trong tam giác và đảo ngược quá trình để có được một điểm trong vòng tròn.

Lưu ý mật độ điểm tỷ lệ với bình phương nghịch đảo của bán kính, do đó thay vì chọn rtừ [0, r_max], chọn từ [0, r_max^2], sau đó tính tọa độ của bạn là:

x = sqrt(r) * cos(angle)
y = sqrt(r) * sin(angle)

Điều này sẽ cung cấp cho bạn phân phối điểm thống nhất trên một đĩa.

http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html

Hãy suy nghĩ về nó theo cách này. Nếu bạn có một hình chữ nhật trong đó một trục là bán kính và một trục là góc và bạn lấy các điểm bên trong hình chữ nhật này gần bán kính 0. Tất cả sẽ rơi rất gần với điểm gốc (nằm sát nhau trên vòng tròn.) Tuy nhiên, các điểm gần bán kính R, tất cả các điểm này sẽ nằm gần rìa của vòng tròn (nghĩa là cách xa nhau).

Điều này có thể cung cấp cho bạn một số ý tưởng về lý do tại sao bạn nhận được hành vi này.

Yếu tố xuất phát từ liên kết đó cho bạn biết diện tích tương ứng trong hình chữ nhật cần được điều chỉnh để không phụ thuộc vào bán kính một khi nó được ánh xạ vào vòng tròn.

Chỉnh sửa: Vì vậy, những gì anh ấy viết trong liên kết bạn chia sẻ là: "Điều đó đủ dễ thực hiện bằng cách tính toán nghịch đảo của phân phối tích lũy và chúng tôi nhận được cho r:".

Tiền đề cơ bản ở đây là bạn có thể tạo một biến có phân phối mong muốn từ đồng phục bằng cách ánh xạ đồng phục theo hàm nghịch đảo của hàm phân phối tích lũy của hàm mật độ xác suất mong muốn. Tại sao? Chỉ cần cho nó bây giờ, nhưng đây là một thực tế.

Đây là một số giải thích trực quan của tôi về toán học. Hàm mật độ f (r) đối với r phải tỷ lệ với chính r. Hiểu thực tế này là một phần của bất kỳ cuốn sách tính toán cơ bản. Xem các phần về các yếu tố khu vực cực. Một số áp phích khác đã đề cập đến điều này.

Vì vậy, chúng tôi sẽ gọi nó là f (r) = C * r;

Điều này hóa ra là hầu hết các công việc. Bây giờ, vì f (r) phải là mật độ xác suất, bạn có thể dễ dàng thấy rằng bằng cách tích hợp f (r) trong khoảng (0, R), bạn sẽ có được C = 2 / R ^ 2 (đây là bài tập cho người đọc .)

Do đó, f (r) = 2 * r / R ^ 2

OK, đó là cách bạn có được công thức trong liên kết.

Sau đó, phần cuối cùng sẽ đi từ biến ngẫu nhiên thống nhất u trong (0,1), bạn phải ánh xạ theo hàm nghịch đảo của hàm phân phối tích lũy từ mật độ mong muốn f (r) này. Để hiểu lý do tại sao đây là trường hợp bạn cần tìm một văn bản xác suất nâng cao như Papoulis có thể (hoặc tự mình lấy nó.)

Tích hợp f (r) bạn nhận được F (r) = r ^ 2 / R ^ 2

Để tìm hàm nghịch đảo của hàm này, bạn đặt u = r ^ 2 / R ^ 2 và sau đó giải cho r, cung cấp cho bạn r = R * sqrt (u)

Điều này hoàn toàn có ý nghĩa theo trực giác, u = 0 nên ánh xạ tới r = 0. Ngoài ra, u = 1 shoudl ánh xạ tới r = R. Ngoài ra, nó đi theo hàm căn bậc hai, có ý nghĩa và khớp với liên kết.

Lý do tại sao giải pháp ngây thơ không hoạt động là vì nó mang lại mật độ xác suất cao hơn cho các điểm gần trung tâm vòng tròn. Nói cách khác, vòng tròn có bán kính r / 2 có xác suất r / 2 nhận được một điểm được chọn trong đó, nhưng nó có diện tích (số điểm) pi * r ^ 2/4.

Do đó, chúng tôi muốn mật độ xác suất bán kính có thuộc tính sau:

Xác suất chọn bán kính nhỏ hơn hoặc bằng r cho trước phải tỷ lệ với diện tích hình tròn có bán kính r. (bởi vì chúng tôi muốn có sự phân phối đồng đều trên các điểm và các khu vực lớn hơn có nghĩa là nhiều điểm hơn)

Nói cách khác, chúng tôi muốn xác suất chọn bán kính trong khoảng [0, r] bằng với tỷ lệ của nó trong tổng diện tích của vòng tròn. Tổng diện tích hình tròn là pi * R ^ 2 và diện tích hình tròn có bán kính r là pi * r ^ 2. Do đó, chúng tôi muốn xác suất chọn bán kính trong khoảng [0, r] là (pi * r ^ 2) / (pi * R ^ 2) = r ^ 2 / R ^ 2.

Bây giờ đến toán học:

Xác suất chọn bán kính trong khoảng [0, r] là tích phân của p (r) dr từ 0 đến r (đó chỉ là do chúng ta thêm tất cả các xác suất của bán kính nhỏ hơn). Do đó, chúng tôi muốn tích phân (p (r) dr) = r ^ 2 / R ^ 2. Chúng ta có thể thấy rõ R ^ 2 là một hằng số, vì vậy tất cả những gì chúng ta cần làm là tìm ra p (r) nào, khi được tích hợp sẽ cung cấp cho chúng ta một cái gì đó như r ^ 2. Câu trả lời rõ ràng là r * không đổi. tích phân (r * hằng dr) = r ^ 2/2 * hằng số. Điều này phải bằng r ^ 2 / R ^ 2, do đó không đổi = 2 / R ^ 2. Do đó, bạn có phân phối xác suất p (r) = r * 2 / R ^ 2

Lưu ý: Một cách trực quan hơn để suy nghĩ về vấn đề là tưởng tượng rằng bạn đang cố gắng cung cấp cho mỗi vòng tròn bán kính mật độ xác suất bằng với tỷ lệ số điểm mà nó có trên chu vi của nó. Do đó, một vòng tròn có bán kính r sẽ có 2 * pi * r "điểm" trên chu vi của nó. Tổng số điểm là pi * R ^ 2. Do đó, bạn nên đưa ra xác suất ra vòng tròn bằng (2 * pi * r) / (pi * R ^ 2) = 2 * r / R ^ 2. Điều này dễ hiểu hơn nhiều và trực quan hơn, nhưng nó không hoàn toàn giống như âm thanh toán học.

Đặt (bán kính) và (góc phương vị) là hai biến ngẫu nhiên tương ứng với tọa độ cực của một điểm tùy ý bên trong đường tròn. Nếu các điểm được phân bố đồng đều thì hàm phân phối của và φ là gì?

Với bất kỳ r: 0 <r <R xác suất tọa độ bán kính nhỏ hơn r là

P [ρ <r] = P [điểm nằm trong vòng tròn bán kính r] = S1 / S0 = (r / R) ²

Trong đó S1 và S0 lần lượt là các diện tích hình tròn bán kính r và R. Vì vậy, CDF có thể được đưa ra là:

          0          if r<=0
  CDF =   (r/R)**2   if 0 < r <= R
          1          if r > R

Và PDF:

PDF = d/dr(CDF) = 2 * (r/R**2) (0 < r <= R).

Lưu ý rằng với R = 1 biến ngẫu nhiên sqrt (X) trong đó X đồng nhất trên [0, 1) có CDF chính xác này (vì P [sqrt (X) <y] = P [x <y ** 2] = y * * 2 cho 0 <y <= 1).

Phân bố rõ ràng là đồng nhất từ ​​0 đến 2 * π. Bây giờ bạn có thể tạo tọa độ cực ngẫu nhiên và chuyển đổi chúng sang Cartesian bằng các phương trình lượng giác:

x = ρ * cos(φ)
y = ρ * sin(φ)

Không thể cưỡng lại việc đăng mã python cho R = 1.

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np

rho = np.sqrt(np.random.uniform(0, 1, 5000))
phi = np.random.uniform(0, 2*np.pi, 5000)

x = rho * np.cos(phi)
y = rho * np.sin(phi)

plt.scatter(x, y, s = 4)

Bạn sẽ nhận được

Nó thực sự phụ thuộc vào ý của bạn là 'ngẫu nhiên thống nhất'. Đây là một điểm tinh tế và bạn có thể đọc thêm về nó trên trang wiki tại đây: http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_%28probability%29 , trong đó cùng một vấn đề, đưa ra những cách hiểu khác nhau cho 'ngẫu nhiên thống nhất' câu trả lời khác nhau!

Tùy thuộc vào cách bạn chọn điểm, phân phối có thể khác nhau, mặc dù chúng là ngẫu nhiên thống nhất theo một nghĩa nào đó.

Có vẻ như mục blog đang cố gắng làm cho nó ngẫu nhiên đồng nhất theo nghĩa sau: Nếu bạn lấy một vòng tròn phụ của vòng tròn, có cùng tâm, thì xác suất điểm rơi trong khu vực đó tỷ lệ thuận với diện tích của vùng miền. Điều đó, tôi tin rằng, đang cố gắng tuân theo cách giải thích hiện tại là 'ngẫu nhiên thống nhất' cho các khu vực 2D với các khu vực được xác định trên đó : xác suất điểm rơi ở bất kỳ khu vực nào (với khu vực được xác định rõ) tỷ lệ thuận với khu vực của khu vực đó.

Đây là mã Python của tôi để tạo numcác điểm ngẫu nhiên từ một vòng tròn bán kính rad:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
rad = 10
num = 1000

t = np.random.uniform(0.0, 2.0*np.pi, num)
r = rad * np.sqrt(np.random.uniform(0.0, 1.0, num))
x = r * np.cos(t)
y = r * np.sin(t)

plt.plot(x, y, "ro", ms=1)
plt.axis([-15, 15, -15, 15])
plt.show()

Tôi nghĩ rằng trong trường hợp này, sử dụng tọa độ cực là một cách làm phức tạp vấn đề, sẽ dễ dàng hơn nhiều nếu bạn chọn các điểm ngẫu nhiên vào một hình vuông có cạnh dài 2R và sau đó chọn các điểm (x,y)sao cho x^2+y^2<=R^2.

Giải pháp trong Java và ví dụ phân phối (2000 điểm)

public void getRandomPointInCircle() {
    double t = 2 * Math.PI * Math.random();
    double r = Math.sqrt(Math.random());
    double x = r * Math.cos(t);
    double y = r * Math.sin(t);
    System.out.println(x);
    System.out.println(y);
}

dựa trên giải pháp thịnh hành https://stackoverflow.com/a/5838055/5224246 từ @sigfpe

Đầu tiên chúng ta tạo một cdf [x]

Xác suất để một điểm nhỏ hơn khoảng cách x từ tâm của đường tròn. Giả sử đường tròn có bán kính là R.

rõ ràng nếu x bằng 0 thì cdf [0] = 0

rõ ràng nếu x là R thì cdf [R] = 1

rõ ràng nếu x = r thì cdf [r] = (Pi r ^ 2) / (Pi R ^ 2)

Điều này là do mỗi "khu vực nhỏ" trên vòng tròn có cùng xác suất được chọn, do đó xác suất tỷ lệ thuận với khu vực được đề cập. Và khu vực được cho một khoảng cách x từ tâm của vòng tròn là Pi r ^ 2

vì vậy cdf [x] = x ^ 2 / R ^ 2 vì Pi hủy nhau

chúng ta có cdf [x] = x ^ 2 / R ^ 2 trong đó x đi từ 0 đến R

Vì vậy, chúng tôi giải quyết cho x

R^2 cdf[x] = x^2

x = R Sqrt[ cdf[x] ]

Bây giờ chúng ta có thể thay thế cdf bằng một số ngẫu nhiên từ 0 đến 1

x = R Sqrt[ RandomReal[{0,1}] ]

Cuối cùng

r = R Sqrt[  RandomReal[{0,1}] ];
theta = 360 deg * RandomReal[{0,1}];
{r,theta}

chúng ta có tọa độ cực {0,601168 R, 311,915 độ}

Có một mối quan hệ tuyến tính giữa bán kính và số điểm "gần" bán kính đó, vì vậy anh ta cần sử dụng phân phối bán kính cũng làm cho số lượng điểm dữ liệu gần bán kính rtỷ lệ thuận với r.

Tôi đã sử dụng một lần phương pháp này: Điều này có thể hoàn toàn không được tối ưu hóa (nghĩa là nó sử dụng một mảng điểm để nó không thể sử dụng cho các vòng tròn lớn) nhưng cung cấp phân phối ngẫu nhiên đủ. Bạn có thể bỏ qua việc tạo ma trận và vẽ trực tiếp nếu bạn muốn. Phương pháp là chọn ngẫu nhiên tất cả các điểm trong một hình chữ nhật nằm trong vòng tròn.

bool[,] getMatrix(System.Drawing.Rectangle r) {
    bool[,] matrix = new bool[r.Width, r.Height];
    return matrix;
}

void fillMatrix(ref bool[,] matrix, Vector center) {
    double radius = center.X;
    Random r = new Random();
    for (int y = 0; y < matrix.GetLength(0); y++) {
        for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++)
        {
            double distance = (center - new Vector(x, y)).Length;
            if (distance < radius) {
                matrix[x, y] = r.NextDouble() > 0.5;
            }
        }
    }

}

private void drawMatrix(Vector centerPoint, double radius, bool[,] matrix) {
    var g = this.CreateGraphics();

    Bitmap pixel = new Bitmap(1,1);
    pixel.SetPixel(0, 0, Color.Black);

    for (int y = 0; y < matrix.GetLength(0); y++)
    {
        for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++)
        {
            if (matrix[x, y]) {
                g.DrawImage(pixel, new PointF((float)(centerPoint.X - radius + x), (float)(centerPoint.Y - radius + y)));
            }
        }
    }

    g.Dispose();
}

private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
    System.Drawing.Rectangle r = new System.Drawing.Rectangle(100,100,200,200);
    double radius = r.Width / 2;
    Vector center = new Vector(r.Left + radius, r.Top + radius);
    Vector normalizedCenter = new Vector(radius, radius);
    bool[,] matrix = getMatrix(r);
    fillMatrix(ref matrix, normalizedCenter);
    drawMatrix(center, radius, matrix);
}

Phần tử diện tích trong một vòng tròn là dA = rdr * dphi. Yếu tố phụ r đó đã phá hủy ý tưởng của bạn để chọn ngẫu nhiên ar và phi. Trong khi phi được phân phối phẳng, r thì không, nhưng phẳng trong 1 / r (tức là bạn có nhiều khả năng chạm vào ranh giới hơn là "mắt của con bò").

Vì vậy, để tạo các điểm phân bố đều trên vòng tròn, chọn phi từ phân phối phẳng và r từ phân phối 1 / r.

Hoặc sử dụng phương pháp Monte Carlo do Mehrdad đề xuất.

BIÊN TẬP

Để chọn một căn hộ r ngẫu nhiên trong 1 / r, bạn có thể chọn một x ngẫu nhiên từ khoảng [1 / R, vô cùng] và tính r = 1 / x. r sau đó được phân phối phẳng trong 1 / r.

Để tính một phi ngẫu nhiên, chọn một x ngẫu nhiên từ khoảng [0, 1] và tính phi = 2 * pi * x.

Tôi không biết liệu câu hỏi này có còn mở cho một giải pháp mới với tất cả câu trả lời đã được đưa ra hay không, nhưng bản thân tôi đã phải đối mặt với chính xác câu hỏi đó. Tôi đã cố gắng "lý luận" với bản thân mình cho một giải pháp, và tôi đã tìm thấy một giải pháp. Nó có thể giống như một số người đã đề xuất ở đây, nhưng dù sao thì đây là:

để hai phần tử của bề mặt hình tròn bằng nhau, giả sử dr bằng nhau, chúng ta phải có dtheta1 / dtheta2 = r2 / r1. Viết biểu thức xác suất của phần tử đó là P (r, theta) = P {r1 <r <r1 + dr, theta1 <theta <theta + dtheta1} = f (r, theta) * dr * dtheta1 và đặt hai xác suất (cho r1 và r2) bằng nhau, chúng ta đến (giả sử r và theta là độc lập) f (r1) / r1 = f (r2) / r2 = hằng số, cho f (r) = c * r. Và phần còn lại, xác định hằng số c xuất phát từ điều kiện trên f (r) là PDF.

Một giải pháp lập trình:

• Tạo một bản đồ bit (một ma trận các giá trị boolean). Nó có thể lớn như bạn muốn.
• Vẽ một vòng tròn trong bản đồ bit đó.
• Tạo một bảng tra cứu các điểm của vòng tròn.
• Chọn một chỉ số ngẫu nhiên trong bảng tra cứu này.

const int RADIUS = 64;
const int MATRIX_SIZE = RADIUS * 2;

bool matrix[MATRIX_SIZE][MATRIX_SIZE] = {0};

struct Point { int x; int y; };

Point lookupTable[MATRIX_SIZE * MATRIX_SIZE];

void init()
{
  int numberOfOnBits = 0;

  for (int x = 0 ; x < MATRIX_SIZE ; ++x)
  {
    for (int y = 0 ; y < MATRIX_SIZE ; ++y)
    {
      if (x * x + y * y < RADIUS * RADIUS) 
      {
        matrix[x][y] = true;

        loopUpTable[numberOfOnBits].x = x;
        loopUpTable[numberOfOnBits].y = y;

        ++numberOfOnBits;

      } // if
    } // for
  } // for
} // ()

Point choose()
{
  int randomIndex = randomInt(numberOfBits);

  return loopUpTable[randomIndex];
} // ()

Bitmap chỉ cần thiết cho việc giải thích logic. Đây là mã không có bitmap:

const int RADIUS = 64;
const int MATRIX_SIZE = RADIUS * 2;

struct Point { int x; int y; };

Point lookupTable[MATRIX_SIZE * MATRIX_SIZE];

void init()
{
  int numberOfOnBits = 0;

  for (int x = 0 ; x < MATRIX_SIZE ; ++x)
  {
    for (int y = 0 ; y < MATRIX_SIZE ; ++y)
    {
      if (x * x + y * y < RADIUS * RADIUS) 
      {
        loopUpTable[numberOfOnBits].x = x;
        loopUpTable[numberOfOnBits].y = y;

        ++numberOfOnBits;
      } // if
    } // for
  } // for
} // ()

Point choose()
{
  int randomIndex = randomInt(numberOfBits);

  return loopUpTable[randomIndex];
} // ()

Tôi vẫn không chắc chắn về chính xác '(2 / R2) × r' nhưng rõ ràng là số điểm cần phân phối trong đơn vị đã cho 'dr' tức là tăng r sẽ tỷ lệ với r2 chứ không phải r.

kiểm tra theo cách này ... số điểm ở một số góc theta và giữa r (0,1r đến 0,2r) tức là tỷ lệ của r và số điểm giữa r (0,6r đến 0,7r) sẽ bằng nhau nếu bạn sử dụng thế hệ tiêu chuẩn, vì sự khác biệt chỉ là 0,1r giữa hai khoảng thời gian. nhưng vì diện tích được bao phủ giữa các điểm (0,6r đến 0,7r) sẽ lớn hơn nhiều so với diện tích nằm trong khoảng từ 0,1r đến 0,2r, nên số điểm bằng nhau sẽ được đặt cách nhau trong khu vực lớn hơn, điều này tôi giả sử bạn đã biết, vì vậy hàm này để tạo các điểm ngẫu nhiên không phải là tuyến tính mà là bậc hai, (vì số điểm cần phân phối trong đơn vị đã cho 'dr' tức là tăng r sẽ tỷ lệ với r2 chứ không phải r), vì vậy trong trường hợp này nó sẽ nghịch đảo bậc hai, vì đồng bằng ta có (0.

Thật là một vấn đề thú vị
Lý do xác suất của một điểm được chọn hạ xuống khi khoảng cách từ gốc tọa độ tăng được giải thích nhiều lần ở trên. Chúng tôi giải thích cho điều đó bằng cách lấy gốc của U [0,1]. Đây là một giải pháp chung cho r tích cực trong Python 3.

import numpy
import math
import matplotlib.pyplot as plt

def sq_point_in_circle(r):
    """
    Generate a random point in an r radius circle 
    centered around the start of the axis
    """

    t = 2*math.pi*numpy.random.uniform()
    R = (numpy.random.uniform(0,1) ** 0.5) * r

    return(R*math.cos(t), R*math.sin(t))

R = 200 # Radius
N = 1000 # Samples

points = numpy.array([sq_point_in_circle(R) for i in range(N)])
plt.scatter(points[:, 0], points[:,1])

Bạn cũng có thể sử dụng trực giác của bạn.

Diện tích hình tròn là pi*r^2

Dành cho r=1

Điều này cho chúng tôi một khu vực pi. Chúng ta hãy giả sử rằng chúng ta có một số loại chức năng fsẽ thống nhất N=10các điểm trong vòng tròn. Tỷ lệ ở đây là10 / pi

Bây giờ chúng tôi nhân đôi diện tích và số điểm

Cho r=2vàN=20

Điều này cho một diện tích 4pivà tỷ lệ bây giờ 20/4pihoặc 10/2pi. Tỷ lệ sẽ càng ngày càng nhỏ, bán kính càng lớn, bởi vì sự tăng trưởng của nó là bậc hai và Ntỷ lệ tuyến tính.

Để khắc phục điều này chúng ta chỉ cần nói

x = r^2
sqrt(x) = r

Nếu bạn sẽ tạo một vectơ trong tọa độ cực như thế này

length = random_0_1();
angle = random_0_2pi();

Nhiều điểm sẽ hạ cánh xung quanh trung tâm.

length = sqrt(random_0_1());
angle = random_0_2pi();

length không được phân phối đồng đều nữa, nhưng bây giờ vectơ sẽ được phân phối đồng đều.

1) Chọn một X ngẫu nhiên giữa -1 và 1.

var X:Number = Math.random() * 2 - 1;

2) Sử dụng công thức đường tròn, tính giá trị tối đa và tối thiểu của Y cho X và bán kính 1:

var YMin:Number = -Math.sqrt(1 - X * X);
var YMax:Number = Math.sqrt(1 - X * X);

3) Chọn một Y ngẫu nhiên giữa các thái cực đó:

var Y:Number = Math.random() * (YMax - YMin) + YMin;

4) Kết hợp các giá trị vị trí và bán kính của bạn trong giá trị cuối cùng:

var finalX:Number = X * radius + pos.x;
var finalY:Number = Y * radois + pos.y;