Thuật toán tìm giải pháp cho A xor X = B + X

Cho số nguyên A và B, tìm số nguyên X sao cho:

• A, B <2 * 1e18
• Một xor X = B + X

Tôi rất nghi ngờ có thể giải phương trình này bằng toán học. Đây là một vấn đề mã hóa tôi đã gặp cách đây 3 năm và thậm chí bây giờ tôi không thể tự giải quyết vấn đề này.

Mã của tôi cho đến nay: (đây là giải pháp vũ phu)

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{

    unsigned long long a, b;
    cin >> a >> b;
    for (unsigned long long x = 1; x < max(a, b); x++) {
        unsigned long long c = a ^ x;
        unsigned long long d = b + x;
        if (c == d) {
            cout << x << endl;
            break;
            return 0;
        }
    }

    cout << -1; //if no such integer exists

    return 0;
}

Lưu ý rằng A + X == (A xor X) + ((A and X)<<1). Vì thế:

A xor X = A + X - ((A and X)<<1) = B + X
A - B = (A and X)<<1

Và chúng ta có:

(A - B) and not (A<<1) = 0    (All bits in (A - B) are also set in (A<<1))
(A - B)>>1 = A and X

Nếu điều kiện được đáp ứng, đối với bất kỳ số nguyên Y nào không có bit được đặt trong A, (((A - B) >> 1) hoặc Y) là một giải pháp. Nếu bạn chỉ muốn một giải pháp, bạn có thể sử dụng ((A - B) >> 1), trong đó Y = 0. Nếu không thì không có giải pháp.

int solve(int a, int b){
    int x = (a - b) >> 1;
    if ((a ^ x) == b + x)
        return x;
    else
        return ERROR;
}

Đó là không phải là rất khó khăn, bạn chỉ cần phải suy nghĩ nhỏ: giả sử chúng ta đang viết A, Bvà Xtrong hệ nhị phân và Aᵢlà giá trị tương ứng với 2 bìa phải ⁱ bit.

Chúng tôi biết rằng : Aₒ ⊕ Xₒ = Bₒ + Xₒ.

Hãy sử dụng một ví dụ để khám phá cách đánh giá rằng: A = 15 và B = 6. Chuyển đổi thành nhị phân:

A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 0
X = a b c d           X = a b c d

Bây giờ chúng tôi có một số khả năng. Hãy phân tích các bit ngoài cùng bên phải của A và B:

1 ⊕ d = 0 + d

Chúng tôi biết rằng dchỉ có thể là 0 hoặc 1, vì vậy:

for d = 0
1 ⊕ d = 0 + d    =>    1 ⊕ 0 = 0 + 0    =>    1 = 0 (not possible)

for d = 1
1 ⊕ d = 0 + d    =>    1 ⊕ 1 = 0 + 1    =>    0 = 1 (not possible)

Điều đáng chú ý là XOR hoạt động giống như tổng nhị phân (với sự khác biệt là XOR không tạo ra sự chuyển giao cho tổng bit tiếp theo):

    XOR           SUM
0 ⊕ 0 = 0  |   0 + 0 = 0
0 ⊕ 1 = 1  |   0 + 1 = 1
1 ⊕ 0 = 1  |   1 + 0 = 1
1 ⊕ 1 = 0  |   1 + 1 = 0

vì vậy sẽ không bao giờ có thể tìm thấy một X thỏa mãn A ⊕ X = B + X, bởi vì không có giá trị dnào thỏa mãn 1 + d = 0 + d.

Dù sao, nếu X tồn tại, bạn có thể tìm ra nó theo cách này, từ phải sang trái, tìm từng chút một.

VÍ DỤ HOÀN TOÀN

A = 15, B = 7:

A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
X = a b c d           X = a b c d

1 ⊕ d = 1 + d 

Ở đây, cả d = 0 và d = 1 đều áp dụng, thì sao? Chúng ta cần kiểm tra bit tiếp theo. Giả sử d = 1:

A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
X = a b c d           X = a b c d

1 ⊕ d = 1 + d    =>    1 ⊕ 1 = 1 + 1    =>    0 = 0 (possible)

BUT 1 + 1 = 0 generates a carryover for the next bit sum:

Instead of 1 ⊕ c = 1 + c, we have 1 ⊕ c = 1 + c (+1) =
                                   1 ⊕ c = c  (not possible)

vì vậy trong trường hợp này, d phải bằng 0.

carryover                              0
         A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
         X = a b 0 0           X = a b 0 0
        -----------------------------------
                   0                     0

we know that c must be 0:

carryover                            0 0
         A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
         X = a b 0 0           X = a b 0 0
        -----------------------------------
                 1 1                   1 1

Nhưng còn b? chúng ta cần kiểm tra bit tiếp theo, như mọi khi:

if b = 0, there won't be a carryover, so we'll have:

1 ⊕ a = 0 + a  (and this is not possible)

so we try b = 1:

1 ⊕ b = 1 + b    =>    1 ⊕ 1 = 1 + 1    =>    0 = 0 (with carryover)

và bây giờ, cho a:

carryover                          1 0 0
         A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
         X = a 1 0 0           X = a 1 0 0
        -----------------------------------
               0 0 0                 0 0 0


1 ⊕ a = 0 + a (+1)    =>    1 ⊕ a = 1 + a

ở đây acó thể là 0 và 1, nhưng nó phải là 0, để tránh việc chuyển giao trong tổng B + X.

Sau đó, X = 0 1 0 0do đó X = 4.

MÃ

#include <iostream>
using namespace std;

inline int bit(int a, int n) {
    if(n > 31) return 0; 
    return (a & ( 1 << n )) >> n; 
}

int main(){
    int A = 19;
    int B = 7;

    int X = 0;
    int carryover = 0;
    int aCurrent, aNext, bCurrent, bNext;

    for(int i = 0; i < 32; i++){
        aCurrent =  bit(A, i);      bCurrent =  bit(B, i);
        aNext =     bit(A, i + 1);  bNext =     bit(B, i + 1);

        if(aCurrent == 0 && bCurrent == 0){
            if(carryover) {X = -1; break;}
            if(aNext != bNext){
                X += 1 << i;
            }
            carryover = 0;
        }
        else if(aCurrent == 0 && bCurrent == 1){
            if(!carryover) {X = -1; break;}
            if(aNext == bNext){
                X += 1 << i;
            }
            carryover = 1;
        }
        else if(aCurrent == 1 && bCurrent == 0){
            if(!carryover) {X = -1; break;}
            if(aNext != bNext){
                X += 1 << i;
                carryover = 1;
            }
            else {
                carryover = 0;
            }
        }
        else if(aCurrent == 1 && bCurrent == 1){
            if(carryover) {X = -1; break;}
            if(aNext != bNext){
                X += 1 << i;
                carryover = 1;
            }
            else {
                carryover = 0;
            }
        }

    }

    if(X != -1) cout<<"X = "<<X<<endl;
    else cout<<"X doesnt exist"<<endl;

    return 0;
}

Bạn có thể kiểm tra nó ở đây .