( Tính trung thực và tính toàn vẹn về mặt toán học - với số phiếu bầu cho "câu trả lời" này - đã khiến tôi phải chỉnh sửa câu trả lời này. bất kỳ lời giải thích nào dường như trái với mục đích. Tuy nhiên, các ý kiến đang nói rõ rằng tôi nên rõ ràng để tránh hiểu lầm. )
Câu trả lời ban đầu của tôi:
Từ ngữ của phần này của đặc điểm kỹ thuật:
Nếu là 0, tôi muốn đặt thành 1, nếu không thì đặt thành 0.
ngụ ý rằng giải pháp chính xác nhất là:
v = dirac_delta(0,v)
Đầu tiên, lời thú nhận: Tôi đã làm cho các chức năng delta của tôi bị nhầm lẫn. Đồng bằng Kronecker sẽ phù hợp hơn một chút, nhưng không nhiều như tôi muốn một cái gì đó độc lập với miền (đồng bằng Kronecker chủ yếu chỉ được sử dụng cho số nguyên). Nhưng tôi thực sự không nên sử dụng các hàm delta, tôi nên nói:
v = characteristic_function({0},v)
Hãy để tôi làm rõ. Nhớ lại rằng một chức năng là một triple, (X, Y, f) , nơi X và Y là bộ (gọi là miền và codomain tương ứng) và f là một quy tắc chuyển nhượng một phần tử của Y để mỗi phần tử của X . Chúng ta thường viết ba (X, Y, f) là f: X → Y . Cho một tập hợp con của X , giả sử A , có một hàm đặc trưng là hàm χ A : X → {0,1} (nó cũng có thể được coi là một hàm cho một tên miền lớn hơn như hoặc). Hàm này được xác định theo quy tắc:
χ A (x) = 1 nếu x ∈ A và χ A (x) = 0 nếu x ∉ Một .
Nếu bạn thích các bảng chân lý, thì đó là bảng chân lý cho câu hỏi "Phần tử x của X có phải là phần tử của tập hợp con A không?".
Vì vậy, từ định nghĩa này, rõ ràng hàm đặc trưng là thứ cần thiết ở đây, với X một số tập lớn chứa 0 và A = {0} . Đó là những gì tôi nên viết.
Và như vậy để chức năng delta. Đối với điều này, chúng ta cần biết về tích hợp. Hoặc bạn đã biết nó, hoặc bạn không biết. Nếu bạn không, không có gì tôi có thể nói ở đây sẽ cho bạn biết về những rắc rối của lý thuyết, nhưng tôi có thể tóm tắt một câu. Một thước đo trên tập X về bản chất là "cần thiết để làm cho mức trung bình hoạt động". Điều đó có nghĩa là nếu chúng ta có một tập X và một số đo μ trên tập hợp đó thì có một lớp các hàm X → , được gọi là các hàm có thể đo được mà biểu thức ∫ X f dμ có nghĩa và theo nghĩa mơ hồ nào đó, "trung bình" của f trên X .
Đưa ra một thước đo trên một tập hợp, người ta có thể định nghĩa một "thước đo" cho các tập hợp con của tập hợp đó. Điều này được thực hiện bằng cách gán cho một tập hợp con tích phân của hàm đặc trưng của nó (giả sử rằng đây là hàm có thể đo được). Điều này có thể là vô hạn, hoặc không xác định (hai là khác nhau tinh tế).
Có rất nhiều biện pháp xung quanh, nhưng có hai biện pháp quan trọng ở đây. Một là số đo chuẩn trên đường thẳng thực, ℝ. Đối với biện pháp này, sau đó ∫ ℝ f dμ là khá nhiều những gì bạn nhận được giảng dạy trong nhà trường (là calculus vẫn dạy trong nhà trường?): Tổng hợp hình chữ nhật nhỏ và mất độ rộng nhỏ hơn và nhỏ hơn. Trong biện pháp này, số đo của một khoảng là chiều rộng của nó. Số đo của một điểm là 0.
Một biện pháp quan trọng khác, hoạt động trên bất kỳ tập hợp nào , được gọi là thước đo điểm . Nó được định nghĩa sao cho tích phân của hàm là tổng các giá trị của nó:
∫ X f dμ = ∑ x fX f (x)
Biện pháp này gán cho mỗi đơn vị đặt biện pháp 1. Điều này có nghĩa là một tập hợp con có số đo hữu hạn khi và chỉ khi nó là hữu hạn. Và rất ít chức năng có tích phân hữu hạn. Nếu một hàm có tích phân hữu hạn, nó phải khác không chỉ trên một số điểm có thể đếm được . Vì vậy, phần lớn các hàm mà bạn có thể biết không có tích phân hữu hạn theo biện pháp này.
Và bây giờ đến chức năng delta. Hãy có một định nghĩa rất rộng. Chúng tôi có một không gian đo (X, μ) (vì vậy đó là một tập hợp với một biện pháp trên đó) và một yếu tố a ∈ X . Chúng tôi "định nghĩa" hàm delta (tùy thuộc vào a ) là "hàm" δ a : X → với tính chất δ a (x) = 0 nếu x ≠ a và ∫ X δ a dμ = 1 .
Thực tế quan trọng nhất về vấn đề này để nắm giữ điều này là: Hàm delta không cần phải là một hàm . Người ta không định nghĩa đúng: Tôi đã không nói gì delta một (a) là.
Những gì bạn làm vào thời điểm này phụ thuộc vào bạn là ai. Thế giới ở đây chia thành hai loại. Nếu bạn là một nhà toán học, bạn nói như sau:
Được rồi, do đó, hàm delta có thể không được xác định. Chúng ta hãy xem xét các thuộc tính giả thuyết của nó và xem liệu chúng ta có thể tìm thấy một ngôi nhà thích hợp cho nó ở nơi nó được xác định hay không. Chúng tôi có thể làm điều đó, và chúng tôi kết thúc với phân phối . Đây không phải là các hàm (nhất thiết), nhưng là những thứ hoạt động giống như các hàm và chúng ta thường có thể làm việc với chúng như thể chúng là các hàm; nhưng có một số thứ nhất định mà họ không có (chẳng hạn như "giá trị") vì vậy chúng tôi cần phải cẩn thận.
Nếu bạn không phải là nhà toán học, bạn nói như sau:
Được rồi, do đó, hàm delta có thể không được xác định đúng. Ai nói vậy? Một nhóm các nhà toán học? Mặc kệ họ! Họ biết gì?
Bây giờ đã xúc phạm khán giả của tôi, tôi sẽ tiếp tục.
Các đồng bằng Dirac thường được lấy là hàm delta của một điểm (thường 0) trong dòng sản với biện pháp tiêu chuẩn của nó. Vì vậy, những người đang phàn nàn trong các ý kiến về tôi không biết đồng bằng của tôi đang làm như vậy bởi vì họ đang sử dụng định nghĩa này. Đối với họ, tôi xin lỗi: mặc dù tôi có thể luồn lách ra khỏi điều đó bằng cách sử dụng biện pháp phòng thủ của Nhà toán học (như được phổ biến bởi Humpty Dumpty : chỉ đơn giản là xác định lại mọi thứ sao cho chính xác), đó là một hình thức xấu để sử dụng một thuật ngữ chuẩn để hiểu điều gì đó khác.
Nhưng có là một hàm delta mà không làm những gì tôi muốn nó phải làm gì và đó là điều mà chính tôi cần ở đây. Nếu tôi có một điểm đo trên một tập hợp X sau đó là một chức năng chính hãng δ một : X → ℝ mà đáp ứng các tiêu chí cho một hàm delta. Điều này là do chúng ta đang tìm kiếm một hàm X → bằng 0 ngoại trừ tại a và sao cho tổng của tất cả các giá trị của nó là 1. Hàm này rất đơn giản: phần thông tin bị thiếu duy nhất là giá trị của nó tại a , và để có được tổng bằng 1, chúng ta chỉ cần gán cho nó giá trị 1. Đây không phải là hàm nào khác ngoài {a} . Sau đó:
∫ X δ a dμ = ∑ x ∈ X δ a (x) = δ a (a) = 1.
Vì vậy, trong trường hợp này, đối với một tập hợp đơn, hàm đặc trưng và hàm delta đồng ý.
Tóm lại, có ba họ "chức năng" ở đây:
- Các chức năng đặc trưng của bộ singleton,
- Các hàm delta
- Các hàm delta Kronecker.
Thứ hai trong số này là tổng quát nhất vì bất kỳ cái nào khác là một ví dụ về nó khi sử dụng thước đo điểm. Nhưng thứ nhất và thứ ba có lợi thế là chúng luôn là các chức năng chính hãng. Thứ ba thực sự là một trường hợp đặc biệt của trường hợp thứ nhất, đối với một họ miền cụ thể (số nguyên hoặc một số tập hợp con).
Vì vậy, cuối cùng, khi tôi ban đầu đã viết câu trả lời tôi đã không suy nghĩ đúng (tôi sẽ không đi xa như vậy để nói rằng tôi đã nhầm lẫn , như tôi hy vọng tôi vừa chứng minh tôi làm biết những gì tôi đang nói về việc khi nào Tôi thực sự nghĩ đầu tiên, tôi chỉ không nghĩ nhiều). Ý nghĩa thông thường của đồng bằng dirac không phải là điều mong muốn ở đây, nhưng một trong những điểm trong câu trả lời của tôi là miền đầu vào không được xác định nên đồng bằng Kronecker cũng sẽ không đúng. Do đó, câu trả lời toán học tốt nhất (mà tôi đang hướng tới) sẽ là hàm đặc trưng .
Tôi hy vọng rằng tất cả đã rõ ràng; và tôi cũng hy vọng rằng tôi sẽ không bao giờ phải viết một đoạn toán học nữa bằng cách sử dụng các thực thể HTML thay vì các macro TeX!