Định nghĩa về cây cân bằng

Tôi chỉ đang tự hỏi nếu ai đó có thể làm rõ định nghĩa của một cây cân bằng cho tôi. Ta có rằng “một cây là cân đối nếu mỗi cây con cân đối và chiều cao của hai cây con chỉ chênh lệch nhau nhiều nhất một cây.

Tôi xin lỗi nếu đây là một câu hỏi ngớ ngẩn, nhưng liệu định nghĩa này có áp dụng cho mọi nút từ tận đến lá của cây hay chỉ cho các cây con bên trái và bên phải ngay lập tức khỏi gốc? Tôi đoán một cách khác để tạo khung cho điều này là, liệu các nút bên trong của cây có thể không cân bằng và toàn bộ cây vẫn cân bằng không?

Ràng buộc thường được áp dụng đệ quy cho mọi cây con. Tức là cây chỉ cân bằng nếu:

1. Chiều cao của cây con bên trái và bên phải chỉ khác nhau nhiều nhất là một, VÀ
2. Cây con bên trái là cân bằng, VÀ
3. Cây con bên phải được cân bằng

Theo điều này, cây tiếp theo được cân bằng:

     A
   /   \
  B     C  
 /     / \  
D     E   F  
     /  
    G  

Cái tiếp theo không cân bằng vì các cây con của C khác nhau 2 về chiều cao:

     A
   /   \
  B     C   <-- difference = 2
 /     /
D     E  
     /  
    G  

Điều đó nói rằng, ràng buộc cụ thể của điểm đầu tiên phụ thuộc vào loại cây. Cái được liệt kê ở trên là điển hình cho cây AVL .

Ví dụ, cây đỏ-đen áp đặt một hạn chế nhẹ nhàng hơn.

Có một số cách để định nghĩa "Cân bằng". Mục tiêu chính là duy trì độ sâu của tất cả các nút O(log(n)).

Có vẻ như với tôi rằng điều kiện cân bằng mà bạn đang nói đến là đối với cây AVL .
Đây là định nghĩa chính thức về điều kiện cân bằng của cây AVL :

Đối với bất kỳ nút nào trong AVL, chiều cao của cây con bên trái của nó khác với chiều cao của cây con bên phải nhiều nhất là 1.

Câu hỏi tiếp theo, " chiều cao " là gì?

" Chiều cao " của một nút trong cây nhị phân là độ dài của đường đi dài nhất từ ​​nút đó đến lá.

Có một trường hợp kỳ lạ nhưng phổ biến:

Người ta xác định chiều cao của một cây trống là (-1).

Ví dụ, con bên trái của root là null:

              A  (Height = 2)
           /     \
(height =-1)       B (Height = 1) <-- Unbalanced because 1-(-1)=2 >1
                    \
                     C (Height = 0)

Hai ví dụ khác để xác định:

Có, Ví dụ về cây cân bằng :

        A (h=3)
     /     \
 B(h=1)     C (h=2)        
/          /   \
D (h=0)  E(h=0)  F (h=1)
               /
              G (h=0)

Không, Không phải Cây Cân bằng Ví dụ:

        A (h=3)
     /     \
 B(h=0)     C (h=2)        <-- Unbalanced: 2-0 =2 > 1
           /   \
        E(h=1)  F (h=0)
        /     \
      H (h=0)   G (h=0)      

Không có sự khác biệt giữa hai điều này. Hãy suy nghĩ về nó.

Hãy lấy một định nghĩa đơn giản hơn, "Một số dương là số chẵn nếu nó là số 0 hoặc số đó trừ đi hai là số chẵn." Điều này nói rằng 8 là chẵn nếu 6 là chẵn? Hay điều này nói rằng 8 là chẵn nếu 6, 4, 2 và 0 là chẵn?

Không có gì khác biệt. Nếu nó nói 8 là chẵn nếu 6 là chẵn, nó cũng nói 6 là chẵn nếu 4 là chẵn. Và do đó nó cũng nói 4 là chẵn nếu 2 là chẵn. Và do đó nó nói 2 là chẵn nếu 0 là chẵn. Vì vậy, nếu nó nói 8 là chẵn nếu 6 là chẵn, nó (gián tiếp) nói 8 là chẵn nếu 6, 4, 2 và 0 là chẵn.

Ở đây cũng vậy. Bất kỳ cây con gián tiếp nào cũng có thể được tìm thấy bởi một chuỗi các cây con trực tiếp. Vì vậy, ngay cả khi nó chỉ áp dụng trực tiếp cho các cây con trực tiếp, nó vẫn áp dụng gián tiếp cho tất cả các cây con (và do đó tất cả các nút).

Cây cân đối là cây có chiều cao theo thứ tự khúc gỗ (số phần tử trong cây).

height = O(log(n))
O, as in asymptotic notation i.e. height should have same or lower asymptotic
growth rate than log(n)
n: number of elements in the tree

Định nghĩa được đưa ra "một cây là cân đối của mỗi cây con là cân bằng và chiều cao của hai cây con chỉ chênh lệch nhau nhiều nhất là một" được tuân theo bởi các cây AVL.

Vì cây AVL là cây cân bằng nhưng không phải tất cả cây cân bằng đều là cây AVL, cây cân bằng không giữ định nghĩa này và các nút bên trong có thể không cân bằng trong chúng. Tuy nhiên, cây AVL yêu cầu tất cả các nút bên trong phải được cân bằng.

Mục đích của cây cân đối là đạt được lá với chiều ngang tối thiểu (chiều cao tối thiểu). Độ của cây là số cành trừ đi 1. Cây Cân bằng có thể không phải là Binary.

1. Chiều cao của một nút trong cây là chiều dài của đường đi dài nhất từ ​​nút đó xuống đến lá, tính cả đỉnh đầu và đỉnh cuối của đường đi.
2. Một nút trong cây được cân bằng chiều cao nếu chiều cao của các cây con của nó khác nhau không quá 1.
3. Một cây cân bằng về chiều cao nếu tất cả các nút của nó đều có chiều cao cân đối.