Làm thế nào để gọn gàng đại diện cho nhiều trạng thái qubit?

Vì việc truy cập vào các thiết bị lượng tử có khả năng tính toán lượng tử vẫn còn rất hạn chế, nên việc mô phỏng các tính toán lượng tử trên một máy tính cổ điển là điều đáng quan tâm . Đại diện cho trạng thái của $n$ qubit như một vectơ cần $2^n$ phần tử, điều này hạn chế rất nhiều số lượng qubit mà người ta có thể xem xét trong các mô phỏng như vậy.

Người ta có thể sử dụng một đại diện ¹ nhỏ gọn hơn, theo nghĩa là nó sử dụng ít bộ nhớ và / hoặc sức mạnh tính toán hơn so với biểu diễn vectơ đơn giản? Làm thế nào nó hoạt động?

Mặc dù dễ thực hiện, rõ ràng việc biểu diễn vectơ là lãng phí đối với các trạng thái thể hiện độ thưa và / hoặc dự phòng trong biểu diễn vectơ của chúng. Đối với một ví dụ cụ thể, xem xét tình trạng 3-qubit $(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3},0,0,0,-1/\sqrt{3}, 0,0)^T$. Nó có$2^3$phần tử nhưng chúng chỉ giả sử$3$giá trị có thể, với hầu hết các phần tử là$0$. Tất nhiên, để hữu ích trong việc mô phỏng tính toán lượng tử, chúng ta cũng cần xem xét cách biểu diễn các cổng và hành động của các cổng trên qubit, và bao gồm một cái gì đó về những điều này sẽ được hoan nghênh, nhưng tôi cũng rất vui khi nghe về qubit.

_{1. Lưu ý rằng tôi đang hỏi về các đại diện, không phải phần mềm, thư viện hoặc bài viết có thể sử dụng / trình bày các đại diện đó. Nếu bạn trình bày và giải thích một đại diện, bạn rất sẵn lòng đề cập đến nơi nó đã được sử dụng.}

Có nhiều cách có thể để đại diện gọn cho một trạng thái, tính hữu dụng của nó phụ thuộc mạnh mẽ vào bối cảnh.

Trước hết, điều quan trọng cần lưu ý là không thể có một quy trình có thể ánh xạ bất kỳ trạng thái nào thành biểu diễn hiệu quả hơn của cùng một trạng thái (vì lý do tương tự tại sao rõ ràng không thể nén bất kỳ 2 bit nào chuỗi dưới dạng chuỗi 1 bit, với ánh xạ không phụ thuộc vào chuỗi).

Tuy nhiên, ngay khi bạn bắt đầu đưa ra một số giả định, bạn có thể tìm ra những cách hiệu quả hơn để thể hiện một trạng thái trong một bối cảnh nhất định. Có vô số cách có thể để làm điều này, vì vậy tôi sẽ chỉ đề cập đến một vài cách mà tôi nghĩ đến:

1. Đã có biểu diễn vectơ chuẩn của trạng thái ket có thể được coi là "biểu diễn nén", hoạt động theo giả định trạng thái là thuần . Thật vậy, bạn cần bậc tự do thực sự để biểu diễn trạng thái n -bitbit tùy ý (nói chung là hỗn hợp) , nhưng chỉ có 2 n + $4^n-1$$n$ để thể hiện trạng thái thuần túy.$2^{n+1}-2$

2. Nếu bạn cho rằng tình trạng là gần như tinh khiết, có nghĩa là, chẳng hạn rằng ρ là thưa thớt trong một số đại diện (tương đương, ρ là cấp bậc thấp), sau đó một lần nữa nhà nước có thể được mô tả một cách hiệu quả. Đối với hệ thống d -chiều (vì vậy d = 2 n đối với hệ thống n -qubit), thay vì sử dụng ~ d 2 tham số, bạn có thể có biểu diễn trung thực chỉ sử dụng O ( r d log 2 d ) , trong đó r là độ thưa của nhà nước (xem 0909.3304$\rho$$\rho$$\rho$$d$$d=2^n$$n$$d^2$$\mathcal O(r d \log^2 d)$$r$ và các tác phẩm đến sau đó).

3. Nếu bạn chỉ quan tâm đến một số lượng hạn chế của các giá trị kỳ vọng, bạn có thể tìm thấy biểu diễn nén của trạng thái n -qubit có kích thước O ( n log ( n ) log ( | S | ) ) . Lưu ý rằng số tiền này giảm theo cấp số nhân . Điều này đã được hiển thị (tôi nghĩ) trong quant-ph / 0402095$|S|$$n$$\mathcal O(n\log(n)\log(|S|))$ , nhưng phần giới thiệu được đưa ra vào năm 1801.05721 có thể dễ tiếp cận hơn đối với một nhà vật lý (cũng như trình bày các cải tiến trong phương pháp tối ưu hóa). Xem tài liệu tham khảo trong bài báo cuối cùng này để biết một số kết quả tương tự.

4. Nếu bạn biết rằng sự vướng víu của trạng thái bị hạn chế (theo nghĩa có thể được xác định chính xác), thì có thể tìm thấy các biểu diễn hiệu quả một lần nữa, về mặt mạng tenor (giới thiệu được tìm thấy, ví dụ như trong 1708.00006 ). Gần đây, người ta cũng chứng minh rằng các trạng thái cơ bản của một số người Hamilton đáng chú ý có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng ansatze lấy cảm hứng từ máy học (( 1606.02318 và nhiều tác phẩm tiếp theo). ( 1710.04045 ) vì vậy tôi không chắc liệu nó có nên đi đến một danh mục riêng hay không.

Lưu ý rằng trong tất cả các trường hợp trên, bạn có thể biểu diễn một trạng thái nhất định một cách hiệu quả hơn, nhưng sau đó mô phỏng sự phát triển của hệ thống mà bạn thường cần quay lại biểu diễn không hiệu quả ban đầu. Nếu bạn muốn đại diện hiệu quả cho sự năng động của một trạng thái thông qua một sự tiến hóa nhất định, một lần nữa bạn cần có những giả định về sự tiến hóa để điều này có thể xảy ra. Kết quả duy nhất nảy ra trong đầu về vấn đề này là định lý Gottesman-Knill cổ điển (như đã được thiết lập, chứ không phải trong "không lượng tử") , cho phép mô phỏng hiệu quả bất kỳ mạch lượng tử Clifford nào.

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$Tôi không chắc chắn sử dụng thưa thớt là một cách tiếp cận tốt ở đây: ngay cả các cổng một qubit cũng có thể dễ dàng biến một trạng thái thưa thớt thành dày đặc.

Nhưng bạn có thể sử dụng chính thức ổn định nếu bạn chỉ sử dụng cổng Clifford . Đây là một bản tóm tắt ngắn ( ký hiệu ):
Single-qubit Pauli nhóm là , tức là tất cả các sản phẩm có thể có của các ma trận Pauli (kể cả tôi ). Nhóm Pauli của một số qubit là không gian sản phẩm tenxơ của G 1 , G n = G ⊗ n 1 . Chất ổn định của một nhà nước | ψ ⟩ là nhóm con của nhóm Pauli của tất cả các nhà khai thác mà ổn định$G_1=\langle X, Y, Z\rangle$$\mathbb{I}$$G_1$$G_n=G_1^{\otimes n}$$\ket{\psi}$ , mà có nghĩa là s$\ket{\psi}$ . Điều quan trọng cần lưu ý là điều này chỉ hoạt động cho các trạng thái cụ thể (nhưng quan trọng). Tôi sẽ đưa ra một ví dụ dưới đây. Việc hạn chế các yếu tố của nhóm Pauli là không cần thiết nhưng phổ biến. Bộ ổn định được tạo bởi các toán tử s 1 , s 2 , ... s n . Bộ ổn định xác định duy nhất trạng thái và là một mô tả hiệu quả: thay vì 2 n - 1 số phức chúng ta có thể sử dụng 4 n 2 bit ( G có 16 phần tử). Khi chúng ta áp dụng một cổng$s \ket{\psi} = \ket{\psi}$$s_1$$s_2$$s_n$$2^n-1$$4n^2$$G_1$$U$, Các máy phát điện ổn định cập nhật theo $s_i \to U^\dagger s_i U$ . Một cổng ánh xạ các toán tử Pauli đến các toán tử Pauli được gọi là cổng Clifford. Vì vậy, đây là những cánh cổng sẽ không "làm rối" mô tả của chúng tôi về nhà nước.

Các trạng thái đồ thị là một ví dụ quan trọng cho chủ nghĩa hình thức ổn định được mô tả ở trên. Hãy xem xét một (vô hướng) đồ thị toán học, trong đó bao gồm đỉnh V và cạnh E ⊂ V × V . Mỗi đỉnh tương ứng với một qubit. Hãy để chúng tôi biểu thị đồ thị bằng G = ( V , E ) . Một trạng thái đồ thị được tạo ra từ trạng thái | + ⟩ ⊗ n , trong đó | + ⟩ = $n$$V$$E\subset V\times V$$G=(V,E)$$\ket{+}^{\otimes n}$bằng cách áp dụng một điều khiển pha cổngCZcho mỗi cặp đỉnh được kết nối. Các chất ổn định được tạo ra bởisv=XvΠ w ∈ V ( v , w ) ∈ E Zw$\ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}+\ket{1})$$C_Z$

Ví dụ: bắt đầu với trạng thái hai qubit . Các chất ổn định là ⟨ X ⊗ tôi , tôi ⊗ X ⟩ . Bây giờ áp dụng các C Z cổng để có được ⟨ X ⊗ Z , Z ⊗ X ⟩ . (Nhà nước là | φ ' ⟩ = $\ket{\phi}=\ket{+}\otimes \ket{+}$$\langle X\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes X \rangle$$C_Z$$\langle X \otimes Z, Z \otimes X \rangle$, là đơn vị cục bộ tương đương với trạng thái Chuông)$\ket{\phi'}=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^T$

Các hình thức ổn định cũng đóng một vai trò quan trọng trong sửa lỗi lượng tử.

Người ta có thể sử dụng một biểu diễn nhỏ gọn hơn, theo nghĩa là nó sử dụng ít bộ nhớ và / hoặc sức mạnh tính toán hơn so với biểu diễn vectơ đơn giản? Làm thế nào nó hoạt động?

Nguồn: " Nhiều Qubits ":

"Một qubit duy nhất có thể được mô hình hóa một cách tầm thường, mô phỏng một tính toán lượng tử năm mươi qubit sẽ đẩy mạnh giới hạn của các siêu máy tính hiện có. Tăng kích thước tính toán chỉ bằng một qubit bổ sung tăng gấp đôi bộ nhớ cần thiết để lưu trữ trạng thái và tăng gấp đôi thời gian tính toán. Sự tăng gấp đôi sức mạnh tính toán nhanh chóng này là lý do tại sao một máy tính lượng tử với số lượng qubit tương đối nhỏ có thể vượt xa các siêu máy tính mạnh nhất hiện nay, ngày mai và xa hơn cho một số nhiệm vụ tính toán. ".

Vì vậy, bạn không thể sử dụng một kế hoạch Ponzi hoặc cướp Peter để trả Paul . Nén sẽ tiết kiệm bộ nhớ với chi phí phức tạp tính toán, hoặc biểu diễn trong một không gian linh hoạt hơn (lớn hơn) sẽ làm giảm độ phức tạp tính toán nhưng với chi phí bộ nhớ. Về cơ bản những gì cần thiết là phần cứng có khả năng hơn hoặc thuật toán thông minh hơn.

Dưới đây là một số phương pháp:

• Nén khối lượng tập hợp các trạng thái lượng tử của số liệu của Qubit:

Số liệu thông tin của Fisher có thể được sử dụng để ánh xạ khối lượng của qubit bằng cách sử dụng phương pháp hình học thông tin như được thảo luận trong " Khối lượng của hai trạng thái Qubit theo hình học thông tin ", " Phân tích thông tin của Fisher và giới hạn Cramer-Rao cho ước lượng tham số phi tuyến Sau khi nén cảm biến "và" giải thích trực quan về thông tin của Fisher và Cramer-Rao bị ràng buộc ".

• Tương tự với nén toán hạng:

Tính toán phân tách độ sâu tối ưu của các phép toán logic: " Thuật toán đáp ứng trung gian để tổng hợp nhanh các mạch lượng tử tối ưu hóa chiều sâu " hoặc thảo luận Quora này về " Mã hóa kích thước của hạt ".

• Tương tự như nén bộ nhớ:

Yếu tố Qutrit sử dụng số học ternary: " Bao thanh toán với Qutrits: Thuật toán của Shor trên các kiến ​​trúc lượng tử Ternary và Metaplectic " và " Tổng hợp mạch ba lượng tử sử dụng các phép chiếu ".

• Tương tự như tối ưu hóa truyền thống

" Thuật toán lượng tử để tìm biểu thức độc quyền tối thiểu hoặc biểu thức ".

• Khác:

Krull Kích thước hoặc tiên đề và viết lại biểu đồ: "Tính đầy đủ của phép tính ZX cho Cliff Qubit thuần túy + ​​Cơ học lượng tử T ".

Bằng cách kết hợp những kỹ thuật đó, bạn phải có thể ép chân vào trong giày. Điều đó sẽ cho phép mô phỏng các hệ thống lớn hơn trên các bộ xử lý thông thường, đừng yêu cầu tôi giải thích công việc cấp tiến sĩ hoặc viết mã. :)