Làm thế nào để đo lường một qubit ảnh hưởng đến những người khác?

Để biểu diễn trạng thái của máy tính lượng tử, tất cả các qubit đóng góp vào một vectơ trạng thái (đây là một trong những khác biệt chính giữa điện toán lượng tử và cổ điển như tôi hiểu). Tôi hiểu rằng chỉ có thể đo được một qubit trong một hệ thống gồm nhiều qubit. Làm thế nào để đo lường một qubit ảnh hưởng đến toàn bộ hệ thống (cụ thể, nó ảnh hưởng đến vectơ trạng thái như thế nào)?

quantum-state measurement

— thạch nam
nguồn

Câu trả lời:

Có rất nhiều cách khác nhau để xem xét các qubit, và chủ nghĩa hình thức vector nhà nước chỉ là một trong số đó. Trong một ý nghĩa đại số tuyến tính nói chung, một phép đo được chiếu lên một cơ sở. Ở đây tôi sẽ cung cấp cái nhìn sâu sắc với một ví dụ từ quan điểm có thể quan sát được của Pauli, đó là mô hình mạch thông thường của QC.

Đầu tiên, điều quan tâm là vectơ trạng thái được cung cấp trong đó - mọi toán tử đo đều đi kèm với một tập hợp các hàm riêng, và bất kỳ phép đo nào bạn nhìn vào (ví dụ: $X,Y,Z, XX, XZ$ , v.v.) xác định cơ sở có thể là tốt nhất để bạn viết vectơ trạng thái. Cách dễ nhất để trả lời câu hỏi của bạn là nếu bạn biết cơ sở nào quan tâm đến bạn, và quan trọng hơn, liệu nó có bắt đầu với phép đo bạn vừa thực hiện hay không .

Vì vậy, để đơn giản, giả sử bạn bắt đầu với hai qubit được ghép nối ở trạng thái tùy ý được viết bằng chữ $Z$ cho cả hai qubit:

| ψ ⟩ = a | 0_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + b | 0_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩ + c | 1_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + d | 1_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩

$| \psi \rangle = a | 0_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle +b | 0_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle + c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle$

Các phép đo đơn giản nhất bạn có thể thực hiện sẽ là , đó là toán tử trên qubit đầu tiên, tiếp theo là , toán tử trên qubit thứ hai. Đo lường làm gì? Nó dự án nhà nước thành một trong những người bản địa. Bạn có thể nghĩ về điều này như loại bỏ tất cả các câu trả lời có thể không phù hợp với câu trả lời chúng tôi vừa đo. Chẳng hạn, giả sử chúng ta đo và thu được kết quả , thì trạng thái kết quả mà chúng ta sẽ có là: $Z_{1}$ $Z$ $Z_{2}$ $Z$ $Z_{1}$ $1$

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{| c |^{2} + | d |^{2}}} (c | 1_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + d | 1_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩)

$| \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{|c|^{2} +|d|^{2}}} \left(c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle \right)$

Lưu ý rằng hệ số ra phía trước chỉ dành cho tái chuẩn hóa. Vậy xác suất đo của chúng tôi là $Z_{2}=0$ . Lưu ý điều này khác với xác suất chúng tôi có ở trạng thái ban đầu, đó là. $\frac{1}{|c|^{2} +|d|^{2}} |c^{2}|$ $|a|^{2}+|c|^{2}$

Tuy nhiên, giả sử phép đo tiếp theo bạn thực hiện không đi lại với phép đo trước đó. Điều này là khó khăn hơn bởi vì bạn phải thực hiện một sự thay đổi cơ sở trên vectơ trạng thái để hiểu xác suất. Tuy nhiên, với các phép đo Pauli, nó có xu hướng dễ dàng vì các eigenbase liên quan theo một cách tốt đẹp, đó là:

| 0_{Z} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0_{X} ⟩ + | 1_{X} ⟩)

$| 0_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle + |1_{X} \rangle )$

| 1_{Z} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0_{X} ⟩ - | 1_{X} ⟩)

$| 1_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle - |1_{X} \rangle )$

Một cách tốt để kiểm tra sự hiểu biết của bạn: xác suất đo sau phép đo ở trên là bao nhiêu? Xác suất nếu chúng ta chưa thực hiện phép đo gì? Sau đó, một câu hỏi phức tạp hơn là xem xét các toán tử sản phẩm hoạt động trên cả hai qubit cùng một lúc, ví dụ, phép đo ảnh hưởng đến trạng thái ban đầu như thế nào? Ở đây đo sản phẩm của hai nhà khai thác. $X= +1$ $Z_{1}=1$ $Z_{1}$ $Z_{1}Z_{2}=+1$ $Z_{1}Z_{2}$

— Emily Tyhurst
nguồn

Nice and simple answer. I think it is important to note, that what you describe is only true if you a) perform projective measurements and b) you know the outcome of the measurement. Just keep in mind that in general you will need mixed states to describe the post-measurement state.

— M. Stern

Suppose that, prior to measurement, your $n$ -qubit system is in some state $\lvert \psi \rangle \in \mathcal H_2^{\otimes n}$ , where $\mathcal H_2 \cong \mathbb C^2$ is the Hilbert space of a single qubit. Write

| ψ ⟩ = \sum_{x \in {0, 1}^{n}} u_{x} | x ⟩

$\lvert \psi \rangle = \sum_{x \in \{0,1\}^n} u_x \lvert x \rangle$ for some coefficients

u_{x} \in C

$u_x \in \mathbb C$ such that

\sum_{x} | u_{x} |^{2} = 1

$\sum_x \lvert u_x \rvert^2 = 1$ .

If you are measuring the first qubit in the standard basis, define
$\begin{aligned} | φ_{0} ⟩ & = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} u_{0 x^{'}} | 0 ⟩ | x^{'} ⟩, \\ | φ_{1} ⟩ & = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} u_{1 x^{'}} | 1 ⟩ | x^{'} ⟩, \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{0x'} \,\lvert0\rangle \lvert x' \rangle, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{1x'} \,\lvert1\rangle \lvert x' \rangle,\end{aligned}$ and let $\lvert \psi_0 \rangle = \lvert \varphi_0 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_0 \vert \varphi_0 \rangle}\,$ and $\,\lvert \psi_1 \rangle = \lvert \varphi_1 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_1 \vert \varphi_1 \rangle}\,$ . It is not too difficult to show that, if you measure the first qubit and obtain the state $\lvert 0 \rangle$ , the state of the entire system "collapses" to $\lvert \psi_0 \rangle$ , and if you obtain $\lvert 1 \rangle$ what you obtain is $\lvert \psi_1 \rangle$ .
This is broadly analogous to the idea of conditional probability distributions: you might think of $\lvert \psi_0 \rangle$ as the state of the system conditioned on the first qubit being $\lvert 0 \rangle$ , and $\lvert \psi_1 \rangle$ as the state of the system conditioned on the first qubit being $\lvert 1 \rangle$ (except of course that the story is a bit more complicated, on account of the fact that the first qubit is not "secretly" in either the state $0$ or $1$ ).
The above is not strongly dependent on measuring the first qubit: we can define $\lvert \varphi_0 \rangle$ and $\lvert \varphi_1 \rangle$ in terms of fixing any particular bit in the bit string $x$ to either $0$ or $1$ , summing over only those components which are consistent with either the choice $0$ or $1$ , and proceeding as above.
The above is also not strongly dependent on measuring in the standard basis, as Emily indicates. If we wish to consider measuring the first qubit in the basis $\lvert \alpha \rangle, \lvert \beta \rangle$ , where $\lvert \alpha \rangle = \alpha_0 \lvert 0 \rangle + \alpha_1 \lvert 1 \rangle$ and $\lvert \beta \rangle = \beta_0 \lvert 0 \rangle + \beta_1 \lvert 1 \rangle$ , we define
$\begin{aligned} | φ_{0} ⟩ & = (| α ⟩ ⟨ α | \otimes I^{\otimes n - 1}) | ψ ⟩ = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} (α_{0}^{*} u_{0 x^{'}} + α_{1}^{*} u_{1 x^{'}}) | α ⟩ | x^{'} ⟩, \\ | φ_{1} ⟩ & = (| β ⟩ ⟨ β | \otimes I^{\otimes n - 1}) | ψ ⟩ = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} (β_{0}^{*} u_{0 x^{'}} + β_{1}^{*} u_{1 x^{'}}) | β ⟩ | x^{'} ⟩, \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \Bigl(\lvert \alpha \rangle\!\langle \alpha \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\alpha_0^\ast u_{0x'} + \alpha_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\alpha\rangle \lvert x' \rangle\,, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \Bigl(\lvert \beta\rangle\!\langle \beta \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\beta_0^\ast u_{0x'} + \beta_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\beta\rangle \lvert x' \rangle\,, \end{aligned}$ and then proceeding as above.

— Niel de Beaudrap
nguồn

Less formally-stated than the other answers, but for beginners I like the intuitive method outlined by Prof. Vazirani in this video.

Suppose you have a general two-qbit state:

$|\psi\rangle = \begin{bmatrix} \alpha_{00} \\ \alpha_{01} \\ \alpha_{10} \\ \alpha_{11} \end{bmatrix} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

Now suppose you measure the most-significant (leftmost) qbit in the computational basis (as in, collapse it to either $|0\rangle$ or $|1\rangle$ ). There are two questions we might ask:

What is the probability that the measured qbit collapses to $|0\rangle$ ? What about $|1\rangle$ ?
What is the state of the 2-qbit system after measurement?

For the first question, the intuitive answer is this: take the sum of squares of all amplitudes associated with the value for which you want to find the probability of collapse. So, if you want to know the probability of the measured qbit collapsing to $|0\rangle$ , you'd look at the amplitudes associated with cases $|00\rangle$ and $|01\rangle$ , because those are the cases where the measured qbit is $|0\rangle$ . Thus:

$P[|0\rangle] = |\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2$

Similarly, for $|1\rangle$ you look at the amplitudes associated with cases $|10\rangle$ and $|11\rangle$ , so:

$P[|1\rangle] = |\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2$

As for the state of the 2-qbit system after measurement, what you do is cross out all the components of the superposition which are inconsistent with the answer you got. So, if you measured $|0\rangle$ , then the state after measurement is:

$\require{cancel} |\psi\rangle = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \cancel{\alpha_{10}|10\rangle} + \cancel{\alpha_{11}|11\rangle} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle$

However, this state is not normalized - the sum of squares does not add up to 1, and so you have to normalize it:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle}{\sqrt{|\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2}}$

Similarly, if you measured $|1\rangle$ then you'd get:

$\require{cancel} |\psi\rangle = \cancel{\alpha_{00}|00\rangle} + \cancel{\alpha_{01}|01\rangle} + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle = \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

Normalized:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle}{\sqrt{|\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2}}$

And that's how you calculate the action of measuring one qbit in a multi-qbit state, in the simplest case!

— ahelwer
nguồn