Sự biện minh toán học cho tính phổ quát của người Viking là tập hợp các cổng lượng tử phổ quát (CNOT, H, Z, X và π / 8) là gì?

Trong câu trả lời này, tôi đã đề cập rằng các cổng CNOT, H, X, Z và tạo thành một bộ cổng phổ quát, được cung cấp đủ số lượng cổng có thể đến gần để sao chép bất kỳ cổng lượng tử đơn nhất nào (tôi đã biết thực tế này từ các bài giảng EdX của giáo sư Umesh Vazirani). Nhưng, có bất kỳ biện minh toán học cho điều này? Nên có! Tôi đã cố gắng tìm kiếm các giấy tờ có liên quan nhưng không thể tìm thấy nhiều. $\pi/8$

quantum-gate universal-gates gate-synthesis

— Daya
nguồn

Câu trả lời:

Câu trả lời mà bạn đề cập có liên quan đến cuốn sách của Michael Nielsen và Isaac Chuang, Tính toán lượng tử và Thông tin lượng tử (Nhà xuất bản Đại học Cambridge), trong đó có bằng chứng về tính phổ quát của các cổng này. (Trong phiên bản 2000 của tôi, có thể tìm thấy điều này trên trang 194.) Cái nhìn sâu sắc quan trọng là cổng (hoặc ), cùng với cổng , tạo ra hai góc quay khác nhau trên quả cầu Bloch với các góc mà là bội số vô tỷ của . Điều này cho phép kết hợp các cổng và để lấp đầy bề mặt của hình cầu Bloch và do đó xấp xỉ bất kỳ toán tử đơn vị một qubit nào. $T$ $\pi/8$ $H$ $2\pi$ $T$ $H$

Rằng điều này có thể được thực hiện một cách hiệu quả được thể hiện bởi định lý Solovay-Kitaev . Ở đây, "hiệu quả" có nghĩa là đa thức trong , trong đó là độ chính xác mong muốn. Điều này cũng được chứng minh trong cuốn sách của Nielsen và Chuang (Phụ lục 3 trong phiên bản 2000). Một cấu trúc rõ ràng có thể được tìm thấy trong https://arxiv.org/abs/quant-ph/0505030 . $\log(1/\epsilon)$ $\epsilon$

Kết hợp các cổng CNOT cho phép người ta ước chừng các đơn vị đa qubit tùy ý, như được thể hiện bởi Barenco et al. trong Vật lý. Mục sư A 52 3457 (1995). (Bản in lại của bài viết này có thể được tìm thấy tại https://arxiv.org/abs/quant-ph/9503016 .) Điều này cũng được thảo luận trong Nielsen và Chuang (trang 191 trong phiên bản 2000).

— Brian R. La Cour
nguồn

Người ta có thể nhận được một kết quả thậm chí còn mạnh mẽ hơn khi sử dụng Kliuchnikov, Maslov và Mosca đã được chứng minh trong Giles Selinger .

— AHusain

Bạn thậm chí không cần và . , và là đủ. $Z$ $X$
$\rm{CNOT}$ $H$ $T=\pi/8$

1) và là đủ để thực hiện bất kỳ chuyển đổi đơn vị có thể có trên một qubit. 2) Thêm , bạn có thể tổng hợp một phép biến đổi đơn vị chung thành trong bất kỳ lỗi nào chỉ sử dụng các .. $H$ $T$
$\rm{CNOT}$ $\epsilon>0$ $\mathcal{O}(\log^2(1/\epsilon))$

Nếu bạn muốn lỗi là và bạn chỉ sẵn sàng thêm cổng pha , thì vẫn có thể , nếu và chỉ khi các yếu tố của đơn vị bạn muốn thực hiện có dạng: , trong đó tất cả các biến là số nguyên. Đáng chú ý, tối đa 1 qubit phụ là cần thiết cho sự tổng hợp chính xác này. $\epsilon=0$ $\pi/2$ $\frac{a+ib}{2^n} + \frac{c+id}{2^{n+1/2}}$

Một bộ cổng phổ quát khác là và trên thực tế, có một cổng duy nhất không phổ biến: cổng Đức 3 qubit . $\{{\rm{CCNOT}},H\}$ ${D(\theta)}$

— người dùng 1271772
nguồn

CCNOT + H là phổ quát theo một nghĩa khác, mặc dù: Nó là phổ quát về mặt tính toán, nhưng nó không thể nhận ra bất kỳ cổng nào.

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch: Có phải vấn đề duy nhất với CCNOT + H, thực tế là nó không thể nhận ra cổng 2 qubit? Không phải đó cũng là một vấn đề với cổng tiếng Đức sao? Nếu một bộ cổng có thể mô phỏng bất kỳ tính toán lượng tử nào với tùy ý , thì chắc chắn nó có thể mô phỏng bất kỳ cổng lượng tử nào với tùy ý ?

ϵ > 0

$\epsilon>0$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

— 1271772

Không. Nó không thể nhận ra bất kỳ cổng nào có hệ số phức tạp (= không có thực), vì những lý do rõ ràng. Nó là tính toán phổ quát, tức là nó có thể chạy bất kỳ q. tính toán, nhưng nó không làm như vậy bằng cách thực hiện từng cổng một, nhưng một số thực hiện tương đương. Vì vậy, nếu bạn muốn nhận ra sự bất hợp pháp (dường như là điểm chính của câu hỏi), thì đó không phải là một bộ cổng phổ quát.

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch: Một ví dụ về tính toán lượng tử đang mô phỏng một đơn vị phức tạp. Vì vậy, nếu CCNOT + H có thể làm bất kỳ q. tính toán, nó có thể không được tùy tiện gần để mô phỏng bất kỳ đơn vị nào không?

— 1271772

Cả CCNOT và H chỉ có mục thực sự. KHÔNG CÓ CÁCH NÀO bạn sẽ nhận được bất kỳ cổng nào với các mục phức tạp. --- Tổng quát hơn, có (ít nhất) 3 khái niệm "mô phỏng": Lấy bất kỳ đơn vị nào, lấy số liệu thống kê đo lường của máy tính lượng tử hoặc giải quyết vấn đề BQP. CCNOT + H là phổ quát theo nghĩa thứ 2 (và thứ 3), nhưng không phải theo nghĩa thứ nhất.

— Norbert Schuch