Nếu các cổng lượng tử có thể đảo ngược, làm thế nào chúng có thể thực hiện các hoạt động AND và OR cổ điển không thể đảo ngược?

Cổng lượng tử được cho là đơn nhất và có thể đảo ngược. Tuy nhiên, cổng cổ điển có thể không thể đảo ngược, như cổng OR logic và logic. Sau đó, làm thế nào có thể mô hình các cổng AND và OR cổ điển không thể đảo ngược bằng các cổng lượng tử?

Giả sử chúng ta có hàm ánh xạ bit thành bit (trong đó ).n m m < $f$$n$$m$$m<n$

Tất nhiên chúng ta có thể thiết kế một mạch cổ điển để thực hiện thao tác này. Hãy gọi nó là . Nó nhận như là bit đầu vào . Giả sử nó lấy đầu vào và đầu ra . n X f ( X $C_f$$n$$X$$f(X)$

Bây giờ, chúng tôi muốn làm điều tương tự bằng cách sử dụng một mạch lượng tử. Hãy gọi nó là , lấy đầu vào và đầu ra| X ⟩ | f ( X ) ⟩ . Bây giờ hãy nhớ rằng vì cơ học lượng tử là tuyến tính, các qubit đầu vào dĩ nhiên có thể nằm trong sự chồng chất của tất cả cácchuỗi n -bit. Vì vậy, đầu vào có thể ở một số trạng thái ∑ X ∈ { 0 , 1 } n α X | X ⟩ . Theo tuyến tính, đầu ra sẽ là ∑ X ∈ { 0 , 1 } n α X | f ( X ) $U_f$$|X\rangle$$|f(X)\rangle$$n$$\sum_{X\in\{0,1\}^{n}}\alpha_X|X\rangle$$\sum_{X\in\{0,1\}^{n}}\alpha_X|f(X)\rangle$.

Sự tiến hóa trong cơ học lượng tử là đơn nhất . Và bởi vì nó là đơn nhất, nó có thể đảo ngược. Điều này về cơ bản có nghĩa là nếu bạn áp dụng cổng lượng tử trên trạng thái đầu vào | x ⟩ và nhận được một trạng thái ouput U | x ⟩ , bạn luôn có thể áp dụng một cổng ngược U † để lấy lại cho nhà nước | x ⟩ .$U$$|x\rangle$$U|x\rangle$$U^{\dagger}$$|x\rangle$

Lưu ý, cẩn thận trong hình trên rằng số lượng dòng đầu vào (tức là sáu) hoàn toàn giống với số lượng dòng đầu ra ở mỗi bước. Điều này là do tính không thống nhất của các hoạt động. Hãy so sánh này để hoạt động cổ điển như logic AND nơi đưa ra một sản lượng bit 0 . Bạn không thể tái tạo lại các bit ban đầu 0 và 1 từ đầu ra, vì thậm chí 0 ∧ 0 và 1 ∧ 0 sẽ ánh xạ tới cùng đầu ra 0 . Nhưng, hãy xem xét cổng KHÔNG cổ điển. Nếu đầu vào là 0 thì nó xuất hiện 1 , trong khi nếu đầu vào là$0\wedge1$$0$$0$$1$$0\wedge 0$$1\wedge0$$0$$0$$1$ nó xuất 0 . Vì ánh xạ này là một, nên nó có thể được thực hiện dễ dàng như một cổng đơn vị có thể đảo ngược, cụ thể là cổngPauli-X. Tuy nhiên, để thực hiện một cổng AND cổ điển hoặc OR cổ điển, chúng ta cần suy nghĩ thêm một chút.$1$$0$

Hãy xem xét cổng CSWAP . Đây là một sơ đồ thô cho thấy sơ đồ:

Trong cổng SWAP tùy thuộc vào bit điều khiển, hai cái còn lại có thể bị hoán đổi. Lưu ý rằng có ba dòng đầu vào và ba dòng đầu ra. Vì vậy, nó có thể được mô hình hóa như một cổng lượng tử đơn nhất. Bây giờ, nếu : Nếu x = 0 , đầu ra là 0 , trong khi nếu x = 1 , đầu ra là y .$z=0$$x=0$$0$$x=1$$y$

Nếu bạn nhận thấy, nếu , chúng tôi xuất ra ˉ x ∧ y trong khi nếu x = 1 chúng ta xuất ra x ∧ y . Vì vậy, chúng tôi có thể tạo thành công đầu ra x ∧ y mà chúng tôi muốn mặc dù chúng tôi đã kết thúc với một số đầu ra "rác" ˉ x ∧ y và x . Một sự thật thú vị là nghịch đảo của cổng CSWAP là cổng CSWAP (kiểm tra!).$x=0$$\bar{x}\wedge y$$x=1$$x\wedge y$$x\wedge y$$\bar{x}\wedge y$$x$

Đó là tất cả! Hãy nhớ rằng tất cả các cổng cổ điển có thể được xây dựng với cổng NAND , tất nhiên có thể được xây dựng một cổng AND và KHÔNG. Chúng tôi đã mô hình hóa một cách hiệu quả cổng KHÔNG cổ điển và cổng AND cổ điển bằng cách sử dụng cổng lượng tử đảo ngược. Để đảm bảo an toàn, chúng tôi cũng có thể thêm cổng CNOT vào danh sách của mình, vì sử dụng CNOT, chúng tôi có thể sao chép bit.

Do đó, thông điệp cơ bản là sử dụng các cổng CSWAP, CNOT và cổng lượng tử, chúng ta có thể sao chép bất kỳ cổng cổ điển nào . BTW, có một mẹo thông minh để loại bỏ các bit "rác" được tạo ra khi sử dụng cổng lượng tử, nhưng đó là một câu chuyện khác.

PS: Điều rất quan trọng để loại bỏ các bit "rác" hoặc nếu không chúng có thể gây ra lỗi tính toán!

Tín dụng tham chiếu & hình ảnh: Cơ học lượng tử và tính toán lượng tử MOOC do UC Berkeley cung cấp trên edX.