Đưa ra một phân rã cho một

13

Giả sử chúng ta có một phân rã mạch của một đơn nhất bằng cách sử dụng một số bộ cổng phổ quát (ví dụ: cổng CNOT và các đơn vị qubit đơn). Có cách nào trực tiếp để ghi lại mạch của đơn vị được kiểm soát tương ứng bằng cách sử dụng cùng một bộ cổng phổ quát không? $U$ $C_U$

Ví dụ: lấy , làm mạch: $U=i Y = H X H X$

Chúng ta có thể thay thế các cổng bằng các cổng (CNOT) để có được : $X$ $C_X$ $C_U$

Này hoạt động bởi vì nếu kiểm soát qubit ở trạng thái hành động trên mục tiêu là , trong khi đối với nó áp dụng các mạch cho . Đối với các khác nhau , đặc biệt nếu nó hoạt động trên một số qubit, việc tạo ra một mạch như vậy có thể là cồng kềnh. Có một công thức để có được mạch cho rằng bạn biết cách xây dựng ? $|0\rangle$ $H^2=\mathbb{I}$ $|1\rangle$ $U$ $U$ $C_U$ $U$

— M. Stern
nguồn

bạn đang hỏi làm thế nào để xây dựng một CU ra khỏi một qubit U tùy ý? Một phương pháp để làm điều đó có thể được tìm thấy trong chương 4 của N & C (xem ví dụ hình 4.6 trong phiên bản trước), về cơ bản là khái quát hóa sự phân rã mà bạn đã thể hiện

— glS 26/03/18

@glS oh wow, tôi đã không nhận ra điều đó. Trông giống hệt ví dụ của tôi. Thật tốt khi thấy cách nó thực hiện giai đoạn . Nhưng dường như họ không thảo luận về việc khái quát hóa cho nhiều qubit mục tiêu hơn?

α

$\alpha$

— M. Stern

15

Câu hỏi có thể không hoàn toàn được xác định rõ, theo nghĩa là để yêu cầu cách tính từ phân tách bạn cần chỉ định bộ cổng mà bạn sẵn sàng sử dụng. Thật vậy, một kết quả đã biết là bất kỳ cổng -bit nào cũng có thể được phân tách chính xác bằng cách sử dụng và các hoạt động của một qubit, do đó, một câu trả lời ngây thơ cho câu hỏi sẽ là: chỉ phân tách bằng cách sử dụng một qubit và . $C(U)$ $U$ $n$ $\text{CNOT}$ $C(U)$ $\text{CNOT}$

Một cách giải thích khác nhau của câu hỏi là những điều sau đây: cho , tôi có thể tính toán sử dụng một tập hợp các hoạt động đơn qubit và s không phải trên qubit kiểm soát , và s với sự kiểm soát là qubit đầu tiên? Điều này có thể được thực hiện khái quát hóa một kết quả được tìm thấy trong chương bốn của Nielsen & Chuang . $U$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ $\text{CNOT}$

Đặt là một cổng qubit đơn. Sau đó, có thể chứng minh rằng luôn có thể được viết là , trong đó là cổng Pauli X và và là các phép toán một qubit sao cho ( xem N & C để biết bằng chứng). Theo sau $U$ $U$ $U = e^{i\alpha} AXBXC$ $X$ $A, B$ $C$ $ABC=I$ trong đó là cổng pha được áp dụng cho qubit đầu tiên và là áp dụng cho qubit thứ hai. Điều này là ngay lập tức khi bạn nhận ra rằng, nếu qubit đầu tiên đó là , sau đó

C (Bạn) = = Φ_{1} (α) {Một}_{2} C (X) B_{2} C (X) C_{2},

$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$

Φ_{1} (α) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i α} \end{matrix}) \otimes I

$\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$

A_{2}, B_{2}, C_{2}

$A_2, B_2, C_2$

A, B, C

$A, B, C$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

C (X)

$C(X)$ trở thành một danh tính và trên qubit thứ hai, bạn có các hoạt động

, cung cấp danh tính. Mặt khác, nếu qubit đầu tiên là

, sau đó trên đường sắt thứ hai bạn có

, trong đó (cùng với giai đoạn) bằng

theo định nghĩa.

A B C

$ABC$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

A X B X C

$AXBXC$

U

$U$

Phân tách trên có thể được sử dụng để tìm ra một cách ngây thơ để tính cho một cổng đơn vị -qubit chung . Các quan sát chính là nếu cho bất kỳ bộ cửa , sau đó $C(U)$ $n$ $U=A_1 A_2\cdots A_m$ $\{A_1,..,A_m\}$ Nhưng chúng ta cũng biết rằng bất kỳ -bitbit cũng có thể bị phân tách về mặt CNOT và các hoạt động của một qubit. Theo sau là một chuỗi các hoạt động CCNOT và , trong đó CCNOT ở đây mộtcổng được áp dụng cho một số qubit có điều kiện cho hai qubit khác là , và là một hoạt động đơn lẻ qubit trên một số qubit. Nhưng một lần nữa, bất kỳ hoạt động CCNOT nào (còn được gọi làToffoli), có thể được phân tách như trong Hình 4.9 trong N & C và

C (U) = C (A_{1}) C (A_{2}) \dots C (A_{m}) .

$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$

n

$n$

U

$U$

C (U)

$C(U)$

C (V)

$C(V)$

X

$X$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

V

$V$

C (V)

$C(V)$ được phân tách như thể hiện trong phần đầu tiên của câu trả lời.

Phương pháp này cho phép phân hủy một vị tướng -qubit cổng unita chỉ sử dụng và single-qubit cửa. Sau đó, bạn có thể đi xa hơn và khái quát hóa điều này để tìm ra sự phân tách cho trường hợp có nhiều qubit kiểm soát. Đối với điều này, bây giờ bạn chỉ cần một cách để phân hủy các cổng Toffoli, một lần nữa được tìm thấy trong Hình 4.9 của N & C. $n$ $U$ $\text{CNOT}$

— glS
nguồn

Tôi nghĩ đó là những gì tôi đang tìm kiếm. Chỉ cần chắc chắn rằng: Hãy nói nổi tiếng phân hủy

chứa

và cửa qubit đơn. Sau đó, đối với các cổng đơn qubit, chúng tôi thay thế

bằng

, được xây dựng theo mô tả trong N & C. Và

được thay thế bằng cổng Toffoli (cũng có thể bị phân hủy). Đúng?

U = A_{1} A_{2} \dots A_{m}

$U=A_1 A_2 \dots A_m$

C (X)

$C(X)$

A_{i}

$A_i$

C (A_{i})

$C(A_i)$

C (X)

$C(X)$

— M. Stern

@ M.Stern tốt gần như. Nếu

chứa

(chính xác hơn sẽ là

, hoạt động giữa qubit thứ

và thứ

, với

), thì cổng tương đương trong

là đã một cổng toffoli, với lần đầu tiên và

-TH qubit như kiểm soát và

qubit -thứ như mục tiêu. Do đó, bạn có thể đi và thay thế Toffolis bằng cách sử dụng phân tách đã biết

U

$U$

C (X)

$C(X)$

C (X)_{i j}

$C(X)_{ij}$

i

$i$

j

$j$

i, j > 1

$i, j>1$

C (U)

$C(U)$

i

$i$

j

$j$

— glS

5

Mặc dù điều này có thể không trả lời hoàn toàn câu hỏi của bạn, tôi nghĩ nó có thể cung cấp một số hướng suy nghĩ. Đây là hai sự thật quan trọng:

$2^{n}\times 2^{n}$ $M$ $n$
$U$ $2\times 2$ $\text{tr } U \neq 0$ $\text{tr} (UX) \neq 0$ $\text{det } U \neq 1$ $U$

$n\times n$

1 cổng sơ cấp để tính toán lượng tử - A. Barenco (Oxford), CH Bennett (IBM), R. Cleve (Calgary), DP DiVincenzo (IBM), N. Margolus (MIT), P. Shor (AT & T), T. Sleator (NYU), J. Smolin (UCLA ), H. Weinfurter (Innsbruck)

2 Nhận thức tối ưu về cổng đơn vị được kiểm soát - Guang Song, Andreas Klappenecker (Đại học Texas A & M)

— Daya
nguồn