Nếu tất cả các cổng lượng tử phải là đơn nhất, thì đo lường thì sao?

23

Tất cả các hoạt động lượng tử phải được thống nhất để cho phép đảo ngược, nhưng về đo lường thì sao? Phép đo có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận và ma trận đó được áp dụng cho các qubit, do đó dường như tương đương với hoạt động của một cổng lượng tử. Điều đó chắc chắn không thể đảo ngược. Có bất kỳ tình huống mà các cổng không đơn nhất có thể được cho phép?

— thạch nam
nguồn

21

Các hoạt động đơn nhất chỉ là một trường hợp đặc biệt của các hoạt động lượng tử , là các bản đồ tuyến tính, hoàn toàn tích cực ("kênh") ánh xạ các toán tử mật độ đến các toán tử mật độ. Điều này trở nên rõ ràng trong đại diện Kraus của kênh, trong đó các toán tử Kraus được gọi là thực hiện ( ký hiệu ). Thông thường người ta chỉ xem xét các hoạt động lượng tử bảo toàn dấu vết, mà sự bình đẳng trong bất đẳng thức trước đó giữ. Nếu thêm vào đó chỉ có một toán tử Kraus (vì vậy ), thì chúng ta thấy rằng phép toán lượng tử là đơn nhất.

Φ (ρ) = \sum_{i = 1}^{n} K_{i} ρ K_{i}^{†},

$\Phi(\rho)=\sum_{i=1}^n K_i \rho K_i^\dagger,$

K_{i}

$K_i$

\sum_{i = 1}^{n} K_{i}^{†} K_{i} \leq I

$\sum_{i=1}^n K_i^\dagger K_i\leq \mathbb{I}$

n = 1

$n=1$

Tuy nhiên, các cổng lượng tử là đơn nhất, bởi vì chúng được thực hiện thông qua hành động của người Hamilton trong một thời gian cụ thể, điều này mang lại sự tiến hóa theo thời gian đơn nhất theo phương trình Schrödinger.

— M. Stern
nguồn

4

+1 Mọi người quan tâm đến cơ học lượng tử (không chỉ là thông tin lượng tử) nên biết về các hoạt động lượng tử, ví dụ từ Nielsen và Chuang. Tôi nghĩ điều đáng nói (vì trang Wikipedia về sự giãn nở của Stinespring quá kỹ thuật) rằng mọi hoạt động lượng tử hữu hạn đều tương đương về mặt toán học với một số hoạt động đơn nhất trong một không gian Hilbert lớn hơn theo sau là một hạn chế đối với hệ thống con (theo dấu vết từng phần) .

— Ninnat Dangniam

13

Câu trả lời ngắn

Hoạt động lượng tử không cần phải đơn nhất. Trong thực tế, nhiều thuật toán và giao thức lượng tử sử dụng tính phi quân sự.

Câu trả lời dài

Đo được cho là ví dụ rõ ràng nhất của sự chuyển tiếp không đồng nhất là một thành phần cơ bản của thuật toán (theo nghĩa là một "đo lường" là tương đương với việc lấy mẫu từ phân phối xác suất thu được sau khi phẫu thuật decoherence ). $\sum_k c_k\lvert k\rangle\mapsto\sum_k |c_k|^2\lvert k\rangle\langle k\rvert$

Tổng quát hơn, bất kỳ thuật toán lượng tử nào liên quan đến các bước xác suất đều yêu cầu các hoạt động không đơn nhất. Một ví dụ đáng chú ý xuất hiện trong đầu là thuật toán của HHL09 để giải các hệ phương trình tuyến tính (xem 0811.3171 ). Một bước quan trọng trong thuật toán này là ánh xạ , nơi là vector riêng của một số nhà điều hành. Ánh xạ này nhất thiết phải có xác suất và do đó không đơn nhất. $|\lambda_j\rangle\mapsto C\lambda_j^{-1}|\lambda_j\rangle$ $|\lambda_j\rangle$

Bất kỳ thuật toán hoặc giao thức nào sử dụng chuyển tiếp (cổ điển) cũng sử dụng các hoạt động không đơn nhất. Đây là toàn bộ các giao thức tính toán lượng tử một chiều (như tên gọi của nó, yêu cầu các hoạt động không thể đảo ngược).

Các sơ đồ đáng chú ý nhất cho tính toán lượng tử quang học với các photon đơn lẻ cũng yêu cầu các phép đo và đôi khi chọn sau để làm vướng víu các trạng thái của các photon khác nhau. Ví dụ, giao thức KLM tạo ra các cổng xác suất, do đó ít nhất là một phần không thể đảo ngược. Một đánh giá tốt về chủ đề này là quant-ph / 0512071 .

Các ví dụ ít trực quan hơn được cung cấp bởi kỹ thuật trạng thái lượng tử gây ra tiêu tan (ví dụ 1402.0529 hoặc srep10656 ). Trong các giao thức này, người ta sử dụng một động lực phân tán bản đồ mở và các kỹ sư tương tác giữa trạng thái với môi trường theo cách mà trạng thái đứng yên trong thời gian dài của hệ thống là trạng thái mong muốn.

— glS
nguồn

11

Có nguy cơ lạc đề từ điện toán lượng tử và vào vật lý, tôi sẽ trả lời những gì tôi nghĩ là một câu hỏi phụ có liên quan của chủ đề này, và sử dụng nó để thông báo thảo luận về các cổng đơn nhất trong điện toán lượng tử.

Câu hỏi ở đây là: Tại sao chúng ta muốn có sự thống nhất trong các cổng lượng tử?

Câu trả lời ít cụ thể hơn như trên, nó cho chúng ta 'khả năng đảo ngược', hoặc như các nhà vật lý thường nói về nó, một loại đối xứng cho hệ thống. Tôi đang tham gia một khóa học trong cơ học lượng tử ngay bây giờ, và cách cổng đơn nhất nảy sinh trong quá trình đó đã được thúc đẩy bởi mong muốn có sự biến đổi về thể chất : đó là hành động như đối xứng. Đây áp đặt hai điều kiện về việc chuyển đổi : $\hat{U}$ $\hat{U}$

Các phép biến đổi sẽ hoạt động tuyến tính trên trạng thái (đây là những gì mang lại cho chúng ta một biểu diễn ma trận).
Các biến đổi nên bảo tồn xác suất, hoặc cụ thể hơn là sản phẩm bên trong . Điều này có nghĩa là nếu chúng ta xác định:

| ψ^{'} ⟩ = U | ψ ⟩, | ϕ^{'} ⟩ = U | ϕ ⟩

$|\psi '\rangle = U |\psi\rangle, |\phi'\rangle = U |\phi\rangle$

Bảo quản các phương tiện sản phẩm bên trong mà . Từ đặc điểm kỹ thuật thứ hai này, tính không thống nhất có thể được rút ra (để biết chi tiết đầy đủ, xem ghi chú của Tiến sĩ van Raamsdonk tại đây ). $\langle \phi | | \psi \rangle= \langle \phi' | | \psi'\rangle$

Vì vậy, điều này trả lời câu hỏi tại sao các hoạt động giữ cho mọi thứ "đảo ngược" phải được thống nhất.

Câu hỏi tại sao bản thân phép đo không đơn nhất có liên quan nhiều hơn đến tính toán lượng tử. Một phép đo là một phép chiếu trên cơ sở; về bản chất, nó phải "trả lời" với một hoặc nhiều trạng thái cơ bản như chính trạng thái đó. Nó cũng rời khỏi trạng thái theo cách phù hợp với "câu trả lời" cho phép đo và không phù hợp với xác suất cơ bản mà trạng thái bắt đầu. Vì vậy, hoạt động thỏa mãn đặc điểm kỹ thuật 1. của phép biến đổi của chúng tôi , nhưng chắc chắn không thỏa mãn đặc điểm kỹ thuật 2. Không phải tất cả các ma trận đều được tạo ra như nhau! $U$

Để làm tròn mọi thứ trở lại tính toán lượng tử, thực tế là các phép đo có tính phá hủy và phóng xạ (nghĩa là chúng ta chỉ có thể tái cấu trúc sự chồng chất thông qua các phép đo lặp lại của các trạng thái giống hệt nhau và mọi phép đo chỉ cho chúng ta câu trả lời 0/1), là một phần của những gì tạo ra sự tách biệt giữa điện toán lượng tử và điện toán thông thường tinh tế (và một phần lý do tại sao khó xác định điều đó). Người ta có thể cho rằng điện toán lượng tử mạnh hơn do kích thước đơn thuần của không gian Hilbert, với tất cả các siêu chồng trạng thái có sẵn cho chúng ta. Nhưng khả năng của chúng tôi để trích xuất thông tin đó bị hạn chế rất nhiều.

Theo như tôi hiểu thì điều này cho thấy rằng với mục đích lưu trữ thông tin, một qubit chỉ tốt như một bit thông thường, và không tốt hơn. Nhưng chúng ta có thể thông minh trong tính toán lượng tử với cách thông tin được giao dịch xung quanh, bởi vì cấu trúc đại số tuyến tính cơ bản.

— Emily Tyhurst
nguồn

1

Tôi tìm thấy đoạn cuối một chút khó hiểu. Bạn có ý nghĩa gì khi tách "trơn" ở đây? Nó cũng không rõ ràng như thế nào thực tế rằng các phép đo là phá hoại ngụ ý một cái gì đó về sự tách biệt như vậy. Bạn có thể làm rõ những điểm này?

— glS

2

@glS, điểm tốt, đó là từ kém. Không giúp đỡ à? Tôi không nghĩ rằng tôi đang nói bất cứ điều gì đặc biệt sâu sắc, đơn giản rằng Hilbert kích thước không gian một mình không phải là một tiên nghiệm những gì làm cho tính toán lượng tử mạnh mẽ (và nó không cung cấp cho chúng tôi bất kỳ lợi thế lưu trữ thông tin) là

— Emily Tyhurst

8

Có một số quan niệm sai lầm ở đây, hầu hết trong số chúng bắt nguồn từ việc chỉ tiếp xúc với chủ nghĩa hình thức trạng thái thuần túy của cơ học lượng tử, vì vậy hãy giải quyết chúng từng cái một:

Tất cả các hoạt động lượng tử phải được thống nhất để cho phép đảo ngược, nhưng về đo lường thì sao?

Điều này là sai. Nói chung, các tiểu bang của một hệ thống lượng tử không chỉ vectơ trong một không gian Hilbert nhưng ma trận mật độ đơn vị theo dõi, các nhà khai thác semidefinite tích cực tác động lên không gian Hilbert tức, , và (Lưu ý rằng các vectơ trạng thái tinh khiết không phải là vectơ trong không gian Hilbert nhưng tia trong một không gian xạ phức tạp , vì một qubit lượng này để không gian Hilbert là và không $\mathcal{H}$ $-$ $\mathcal{H}$ $\rho: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ $Tr(\rho) = 1$ $\rho \geq 0$ $\mathbb{C}P^1$ $\mathbb{C}^2$ ). Ma trận mật độ được sử dụng để mô tả một tập hợp thống kê của các trạng thái lượng tử.

Ma trận mật độ được gọi là tinh khiết nếu và hỗn hợp nếu . Một khi chúng ta đang đối phó với một ma trận mật độ trạng thái tinh khiết (có nghĩa là, không có sự không chắc chắn liên quan đến thống kê), vì , ma trận mật độ thực sự là một nhà điều hành dự báo và người ta có thể tìm thấy một mà . $\rho^2 = \rho$ $\rho^2 < \rho$ $\rho^2 = \rho$ $|\psi\rangle \in \mathcal{H}$ $\rho = |\psi\rangle \langle\psi|$

Các hoạt động học lượng tử nói chung nhất là một CP-bản đồ (bản đồ hoàn toàn tích cực), tức là mà (nếu sau đó chúng được gọi là CPTP (hoàn toàn tích cực và dấu vết bảo quản ) bản đồ hoặc một $\Phi: L(\mathcal{H}) \rightarrow L(\mathcal{H})$

Φ (ρ) = \sum_{i} K_{i} ρ K_{i}^{†}; \sum_{i} K_{i}^{†} K_{i} \leq I

$\Phi(\rho) = \sum_i K_i \rho K_i^\dagger; \sum_i K_i^\dagger K_i \leq \mathbb{I}$

\sum_{i} K_{i}^{†} K_{i} = I

$\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$ kênh lượng tử ) trong đó

được gọi là toán tử Kraus .

{K_{i}}

$\{K_i\}$

Bây giờ, đến với tuyên bố của OP rằng tất cả các hoạt động lượng tử là đơn nhất để cho phép đảo ngược - điều này không đúng. Tính không thống nhất của toán tử tiến hóa thời gian ( ) trong cơ học lượng tử (đối với tiến hóa lượng tử hệ kín) chỉ đơn giản là hệ quả của phương trình Schrödinger. $e^{-iHt/\hbar}$

Tuy nhiên, khi chúng tôi xem xét ma trận mật độ, sự tiến hóa chung nhất là bản đồ CP (hoặc CPTP cho một hệ thống khép kín để bảo toàn dấu vết và do đó xác suất).

Có bất kỳ tình huống mà các cổng không đơn nhất có thể được cho phép?

Vâng. Một ví dụ quan trọng xuất hiện trong tâm trí là các hệ lượng tử mở trong đó các toán tử Kraus (không đơn nhất) là "cổng" mà hệ thống phát triển.

$\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$ $i$ $K^\dagger K = \mathbb{I}$ $K$ $\rho \rightarrow U \rho U^\dagger$

Đến điểm cuối cùng:

Phép đo có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận và ma trận đó được áp dụng cho các qubit, do đó dường như tương đương với hoạt động của một cổng lượng tử. Điều đó chắc chắn không thể đảo ngược.

$\{M_{i}\}$ $\mathcal{H}$ $\sum _{{i=1}}^{n}M_{i}=\mathbb{I}$

ρ \to \frac{E_{i} ρ E_{i}^{†}}{Tr (E_{i} ρ E_{i}^{†})}, where M_{i} = E_{i}^{†} E_{i} .

$\rho \rightarrow \frac{E_i \rho E_i^\dagger}{\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger)}, \text{ where } M_i = E_i^\dagger E_i.$

$\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger) =: p_i$ $M_i$ $\rho \rightarrow E_i \rho E_i^\dagger$ $p_i$

Chỉnh sửa 1: Bạn cũng có thể quan tâm đến định lý giãn nở Stinespring cung cấp cho bạn sự đồng hình giữa bản đồ CPTP và hoạt động đơn nhất trên không gian Hilbert lớn hơn, theo sau là theo dõi một phần không gian Hilbert (căng thẳng) (xem 1 , 2 ).

— keisuke.akira
nguồn

5

Tôi sẽ thêm một chút bổ sung cho các câu trả lời khác, chỉ là về ý tưởng đo lường.

Đo lường thường được thực hiện như một định đề của cơ học lượng tử. Thường có một số định đề trước về không gian hilbert, nhưng sau đó

$A$ $\hat{A}$ $\mathcal{H}$
$A$ $\psi$ $a_n$ $\frac{{\hat{P}}_{n} | ψ ⟩}{‖ {\hat{P}}_{n} | ψ ⟩ ‖},$ $\frac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|},$ where $\hat{P}_n$ is the projector onto the eigen-subspace of the eigenvalue $a_n$ .

Normally the projection operators themselves should satisfy $\hat{P}^\dagger=\hat{P}$ and $\hat{P}^2=\hat{P}$ , which means they themselves are observables by the above postulates, and their eigenvalues $1$ or $0$ . Supposing we take one of the $\hat{P}_n$ above, we can interpret the $1,0$ eigenvalues as a binary yes/no answer to whether the observable quantity $a_n$ is available as an outcome of measurement of the state $|\psi\rangle$ .

— snulty
nguồn

2

Measurements are unitary operations, too, you just don't see it: A measurement is equivalent to some complicated (quantum) operation that acts not just on the system but also on its environment. If one were to model everything as a quantum system (including the environment), one would have unitary operations all the way.

However, usually there is little point in this because we usually don't know the exact action on the environment and typically don't care. If we consider only the system, then the result is the well-known collapse of the wave function, which is indeed a non-unitary operation.

— pyramids
nguồn

1

Quantum states can change in two ways: 1. quantumly, 2. classically.

All the state changes taking place quantumly, are unitary. All the quantum gates, quantum errors, etc., are quantum changes.
There is no obligation on classical changes to be unitary, e.g. measurement is a classical change.

All the more reason, why it is said that the quantum state is 'disturbed' once it's measured.

— alphaQuant
nguồn

1

Why would errors be "quantum"?

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch: Some errors could come in the form of the environment "measuring" the state, which could be considered classical in the language of this user, but other errors may come in the form of rotations/transformations in the Bloch sphere which don't make sense classically. Certainly you need to do full quantum dynamics if you want to model decoherence exactly (non-Markovian and non-perturbative ideally, but even Markovian master equations are quantum).

— user1271772

Surely not all errors are 'quantum', but I meant to say that all 'quantum errors' (

σ_{x}, σ_{y}, σ_{z}

$\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ and their linear combinations) are unitary. Please correct me if I am wrong, thanks.

— alphaQuant

To be more precise, errors which are taken care of by QECCs.

— alphaQuant

1

I guess I'm not sure what "quantum" and "classical" means. What would a CP map qualify as?

— Norbert Schuch