Điều gì làm cho máy tính lượng tử rất giỏi trong việc tính toán các yếu tố chính?

Một trong những tuyên bố phổ biến về máy tính lượng tử là khả năng "phá vỡ" mật mã thông thường. Điều này là do mật mã thông thường dựa trên các yếu tố chính, một thứ đắt tiền về mặt tính toán cho các máy tính thông thường để tính toán, nhưng đó là một vấn đề tầm thường đối với máy tính lượng tử.

Tính chất nào của máy tính lượng tử làm cho chúng có khả năng thực hiện nhiệm vụ này khi máy tính thông thường thất bại và làm thế nào các qubit được áp dụng cho vấn đề tính toán các yếu tố chính?

Câu trả lời ngắn

$\newcommand{\modN}[1]{#1\,\operatorname{mod}\,N}\newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}}$Máy tính lượng tử có thể chạy chương trình con của một thuật toán để bao thanh toán, nhanh hơn theo cấp số nhân so với bất kỳ đối tác cổ điển nào đã biết. Điều này không có nghĩa là máy tính cổ điển cũng không thể làm điều đó nhanh chóng, ngày nay chúng ta không biết cách để các thuật toán cổ điển chạy hiệu quả như thuật toán lượng tử

Câu trả lời dài

Máy tính lượng tử rất tốt trong các Biến đổi Fourier rời rạc. Có rất nhiều trò chơi ở đây không bị bắt bởi chỉ " nó song song " hoặc " nhanh thôi ", vì vậy hãy đi vào máu của con thú.

Các vấn đề thanh toán được những điều sau đây: Cho một số nơi p , q là số nguyên tố, làm thế nào để bạn khôi phục p và q ? Một cách tiếp cận là lưu ý những điều sau:$N = pq$$p,q$$p$$q$

Nếu tôi nhìn vào một số , hoặc x chia sẻ một yếu tố chung với N , hoặc không.$\modN{x}$$x$$N$

Nếu chia sẻ một yếu tố chung và không phải là bội số của chính N , thì chúng ta có thể dễ dàng hỏi các yếu tố chung của x và N là gì (thông qua thuật toán Euclide cho các yếu tố chung lớn nhất).$x$$N$$x$$N$

Bây giờ một thực tế không quá rõ ràng: tập hợp tất cả không chia sẻ một yếu tố chung với N tạo thành một nhóm nhân N mod . Điều đó nghĩa là gì? Bạn có thể xem định nghĩa của một nhóm trong Wikipedia ở đây . Hãy để hoạt động nhóm được nhân lên để điền vào các chi tiết, nhưng tất cả những gì chúng tôi thực sự quan tâm ở đây là hậu quả sau đây của lý thuyết đó là: trình tự$x$$N$$\on{mod} N$

$$\modN{x^0}, \quad\modN{x^1}, \quad\modN{x^2}, ...$$

là định kỳ, khi không chia sẻ các yếu tố phổ biến (thử x = 2 , N = 5 ) để xem nó là:$x,N$$x = 2$$N = 5$

$$\newcommand{\mod}[1]{#1\,\operatorname{mod}\,5} \mod1 = 1,\quad \mod4 = 4,\quad \mod8 = 3,\quad \mod{16} = 1.$$

Bây giờ có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn N không chia sẻ bất kỳ yếu tố chung nào với N ? Điều đó được trả lời bởi hàm tổng của Euler , đó là ( p - 1 ) ( q - 1 ) .$x$$N$$N$$(p-1)(q-1)$

Cuối cùng, nhấn vào chủ đề của lý thuyết nhóm, độ dài của chuỗi lặp lại

$$\modN{x^0}, \quad\modN{x^1}, \quad\modN{x^2}, ...$$

chia số đó . Vì vậy, nếu bạn biết thời kỳ của các quyền hạn của x $(p-1)(q-1)$ sau đó bạn có thể bắt đầu đưa ra một dự đoán cho ( p - 1 ) ( q - 1 ) là gì. Hơn nữa, nếu bạn biết ( p - 1 ) ( q - 1 ) là gì và p q là gì (đó là đừng quên!), Thì bạn có 2 phương trình với 2 ẩn số, có thể được giải thông qua đại số sơ cấp để riêng p , q .$x \mod N$$(p-1)(q-1)$$(p-1)(q-1)$$pq$$p,q$

Máy tính lượng tử đi vào đâu? Thời kỳ tìm kiếm. Có một hoạt động được gọi là biến đổi Fourier, lấy một hàm được viết dưới dạng tổng của các hàm tuần hoàn a 1 e 1 + a 2 e 2 . . . nơi một tôi là những con số, e i là hàm tuần hoàn với chu kỳ p i và bản đồ nó vào một chức năng mới f mà f ( p i ) = một i .$g$$a_1 e_1 + a_2 e_2 ...$$a_i$$e_i$$p_i$$\hat{f}$$\hat{f}(p_i) = a_i$

Tính toán biến đổi Fourier thường giới thiệu như là một không thể thiếu, nhưng khi bạn muốn chỉ áp dụng nó vào một mảng dữ liệu (tôi ^thứ phần tử của mảng là ), bạn có thể sử dụng công cụ này được gọi là một rời rạc Fourier Transform mà lượng để nhân "mảng" của bạn như thể nó là một vectơ, bằng một ma trận đơn vị rất lớn.$f(I)$

Nhấn mạnh vào từ đơn nhất: đó là một tài sản thực sự độc đoán được mô tả ở đây . Nhưng điều quan trọng nhất là:

Trong thế giới vật lý, tất cả các nhà khai thác đều tuân theo cùng một nguyên tắc toán học chung: tính phi quân sự .

Vì vậy, điều đó có nghĩa là không hợp lý khi sao chép hoạt động ma trận DFT đó như là một toán tử lượng tử.

Bây giờ đây là nơi nó được một sâu qubit Array có thể đại diện cho 2 n thể các phần tử mảng (tham khảo bất cứ nơi nào trực tuyến với một lời giải thích về điều đó hoặc thả một bình luận).$n$$2^n$

Và tương tự, một toán tử lượng tử Qubit có thể tác động lên toàn bộ không gian lượng tử 2 n đó và đưa ra một câu trả lời mà chúng ta có thể diễn giải.$n$$2^n$

Xem bài viết Wikipedia này để biết thêm chi tiết.

Nếu chúng ta có thể thực hiện chuyển đổi Fourier này trên một tập dữ liệu lớn theo cấp số nhân, chỉ sử dụng Qubits, thì chúng ta có thể tìm thấy khoảng thời gian rất nhanh.$n$

$(p-1)(q-1)$

$N=pq$$p,q$

Đó là những gì đang diễn ra ở đây, ở mức rất cao.

Điều làm cho máy tính lượng tử trở nên tốt trong việc bao thanh toán số lượng lớn là khả năng giải quyết vấn đề tìm thời gian (và một thực tế toán học liên quan đến việc tìm các yếu tố chính để tìm thời gian). Về cơ bản, đó là thuật toán của Shor. Tuy nhiên, nó chỉ đặt ra câu hỏi điều gì làm cho máy tính lượng tử tốt trong giai đoạn tìm kiếm.

Cốt lõi của việc tìm thời gian là khả năng tính giá trị của hàm trên toàn bộ miền của nó (nghĩa là, cho mọi đầu vào có thể hiểu được). Điều này được gọi là song song lượng tử. Điều này tự nó không đủ tốt, nhưng cùng với sự can thiệp (khả năng kết hợp các kết quả từ sự song song lượng tử theo một cách nhất định), nó là như vậy.

Tôi cho rằng câu trả lời này có thể là một chút của một vách đá: Làm thế nào một người sử dụng những khả năng này để thực sự yếu tố? Tìm câu trả lời cho điều đó tại wikipedia về thuật toán của Shor .

Trước hết, bao thanh toán có thể được thực hiện trên một máy tính lượng tử (với việc sử dụng cổng lượng tử 'đơn nhất') bằng thuật toán của Shor .

Một lời giải thích không yêu cầu toán học nâng cao cũng như bất kỳ kiến ​​thức nâng cao nào về vật lý là bài đăng trên blog này của Scott Aaronson , có tiêu đề "Shor, tôi sẽ làm điều đó".

Một bản tóm tắt ngắn gọn về ý tưởng của anh ấy như sau:

Đầu tiên, chúng tôi đại diện cho cổng / qubit lượng tử của chúng tôi bằng đồng hồ (sử dụng 'số phức làm mũi tên (tức là các yếu tố của $\mathbb{R}^2$ với phép nhân lạ), biểu diễn ')

Sau đó, chúng tôi lưu ý rằng một nhà nghiên cứu CS có thời gian ngủ rất bất thường. Để tìm thấy thời kỳ kỳ lạ này, chúng tôi sử dụng đồng hồ. Sau đó, chúng tôi lưu ý rằng việc tìm kiếm giai đoạn này có thể được sử dụng cho các số nguyên (sử dụng cấu trúc tương tự như trong Pollard ngẫu nhiên -$\rho$ thuật toán)

Do đó, đồng hồ lượng tử kỳ lạ của chúng tôi có thể giúp chúng tôi yếu tố hiệu quả!