Có kiểm soát lượng tử cho phép thực hiện bất kỳ cổng?

Sử dụng các kỹ thuật kiểm soát lượng tử, có thể điều khiển các hệ lượng tử trong một loạt các kịch bản khác nhau (ví dụ: 0910.2350 và 1406.5260 ).

Cụ thể, người ta đã chứng minh rằng sử dụng các kỹ thuật này có thể thực hiện các cổng như cổng Toffoli (lượng tử) ( 1501.04676 ) với độ chính xác tốt. Chính xác hơn, họ cho thấy rằng đã cung cấp cổng Toffoli , được định nghĩa là cổng C-CNOT và Hamiltonian H (t) phụ thuộc thời gian có chứa một bộ tương tác cụ thể, người ta có thể tìm thấy một tập hợp các tham số (phụ thuộc thời gian) của H (t) sao cho $\newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}}\mathcal{U}_{\on{Toff}}$

$$\newcommand{\ketbra}[2]{\lvert#1\rangle\langle#2\rvert} \newcommand{\ket}[1]{\lvert#1\rangle} \newcommand{\bra}[1]{\langle#1\rvert} \mathcal{U}_{\on{Toff}}\equiv \ket{0}_1\!\bra{0}\otimes \on{CNOT} + \ket{1}_1\!\bra{1}\otimes I,$$ $H(t)$$H(t)$ $$\mathcal T \exp\left(-i \int_0^\Theta H(\tau)d\tau\right) \simeq \mathcal U_{\on{Toff}}.$$

Có kết quả được biết đến về tính phổ quát của cách tiếp cận như vậy? Nói cách khác, các công cụ được cung cấp bởi lý thuyết điều khiển lượng tử có cho phép nói khi nào, tập hợp các ràng buộc trên các tham số Hamilton được phép, một cổng mục tiêu nhất định có thể được nhận ra không? (1)

Chính xác hơn, vấn đề là như sau: sửa một cổng đích hoạt động trên một tập hợp các qubit (hay nói chung là các qudits) và một Hamiltonian tham số có dạng , trong đó là một tập hợp các toán tử cố định và là các tham số phụ thuộc thời gian được xác định. Có cách nào để biết liệu có hệ số sao cho $\mathcal U$$H(t)=\sum_k c_k(t) \sigma_k$$\{\sigma_k\}_k$$c_k(t)$$\{c_k(t)\}_k$

$$\mathcal T\exp\left(-i\int_0^{\Theta} H(\tau)d\tau\right) \stackrel{?}{=} \mathcal U.$$

---

(1) Lưu ý rằng ở đây tôi chỉ nói về kiểm soát lượng tử vì đó là thuật ngữ được sử dụng trong bài báo. Nếu đây không phải là thuật ngữ phù hợp nhất để sử dụng để đề cập đến loại vấn đề này, vui lòng cho tôi biết.

Hơn nữa, cũng lưu ý rằng vấn đề được giải quyết trong bài báo hơi khác so với vấn đề tôi đã nêu ở đây. Cụ thể, người Hamilton mà họ cho là thực sự hoạt động trong không gian của ba câu hỏi bốn chiều và Toffoli chỉ được thực hiện như một động lực hiệu quả ở cấp độ thấp hơn của mỗi câu hỏi. Tôi cũng ổn với kết quả của loại khóa học này.

Có khái niệm về khả năng kiểm soát của một hệ lượng tử, tức là tập hợp các điều khiển nhất định có cho phép bạn tạo ra bất kỳ trạng thái hay đơn vị nào không? Thông thường, điều này được tính bằng cách nhìn vào Đại số Lie của hệ thống, và có thể khá lộn xộn; bạn cần thực hiện các thuật ngữ Hamilton riêng lẻ mà bạn có thể kiểm soát và tính toán tất cả các cổ góp của chúng theo các đơn đặt hàng tùy ý. Nếu bạn có thể thực hiện các kết hợp tuyến tính của những thứ đó và tạo bất kỳ Hamiltonian tùy ý, thì không gian Hilbert đầy đủ của bạn có thể kiểm soát được; bạn có thể thực hiện bất kỳ sự thống nhất nào bạn muốn và bất kỳ trạng thái lượng tử nào được cho là có thể truy cập được từ bất kỳ trạng thái nào khác. Xem toàn bộ khả năng kiểm soát của các hệ lượng tử (PRA 2001) để biết ví dụ.

Tuy nhiên, một điểm quan trọng cần nhấn mạnh là điều này không cho bạn biết gì về hiệu quả, tức là bạn mất bao lâu để đạt đến một trạng thái nhất định (như một chức năng của kích thước hệ thống). Có một cấu trúc rõ ràng mà bạn có thể thực hiện dựa trên sự phân tách ở trên về mặt cổ góp, nhưng thời gian cần thiết theo tỷ lệ theo cấp số nhân theo thứ tự của cổ góp cần thiết. Các kỹ thuật số của lý thuyết điều khiển là các phương pháp cố gắng tìm các trường điều khiển cần thiết (như một hàm của thời gian) theo cách hiệu quả hơn, nhưng (theo hiểu biết của tôi) hiếm khi mang lại cho bạn bất kỳ sự đảm bảo nào. Vì vậy, nếu bạn đã sửa và giới hạn , khái niệm kiểm soát có thể không đủ.$\Theta$$c_k(t)$

Kiểm soát lượng tử không nhất thiết cho phép thực hiện bất kỳ cổng nào. Hãy tưởng tượng sự kiểm soát hệ thống của bạn là một năng lượng phụ thuộc vào thời gian. Điều đó tương ứng với Hamiltonian . Sau đó, bạn chỉ có thể xoay khoảng một trục của quả cầu Bloch và lựa chọn duy nhất của bạn là xoay nhanh khi nào. Điều này rõ ràng là không đủ để thậm chí tạo ra các cổng đơn qubit tùy ý bởi vì sau đó bạn sẽ cần có thể thực hiện các phép quay về bất kỳ trục (tùy ý) nào.$\hat{H}(t) = c(t) \hat{Z}$

Tôi không thể trả lời phần thứ hai của câu hỏi của bạn, về kết quả đã biết cho tính phổ quát. Tuy nhiên, lưu ý rằng tôi đã chọn một trường hợp rất đặc biệt để minh họa rằng điều khiển lượng tử đơn giản là không đủ. Hãy tưởng tượng tôi đã chọn Hamiltonian . Đây là một vòng quay không đổi về một trục (do chênh lệch năng lượng giữa hai trạng thái của qubit đơn liên quan) cộng với một vòng quay mà bạn hoàn toàn kiểm soát về một trục trực giao. Vì bạn có thể tạo ra phép quay tùy ý với sự kết hợp phù hợp của các phép quay như vậy, nên điều này là phổ biến (đối với một hệ thống qubit duy nhất). Đây là nỗ lực của tôi trong việc minh họa rằng không có quyền kiểm soát phổ quát nếu bạn có bất kỳ quyền kiểm soát nào có thể được xem là trường hợp đặc biệt hơn là quy tắc.$\hat{H}(t) = c(t) \hat{X} + \frac{E_0}{2} \hat{Z}$$E_0$