Sự vướng víu lượng tử là gì và nó đóng vai trò gì trong việc sửa lỗi lượng tử?

Tôi muốn hiểu sự vướng víu lượng tử là gì và nó đóng vai trò gì trong việc sửa lỗi lượng tử.

LƯU Ý : Theo đề xuất của @JamesWootton và @NielDeBeaudrap, tôi đã hỏi một câu hỏi riêng cho sự tương tự cổ điển ở đây .

Mối tương quan cổ điển giữa các biến xảy ra khi các biến xuất hiện ngẫu nhiên, nhưng có giá trị được tìm thấy để đồng ý một cách có hệ thống (hoặc không đồng ý) theo một cách nào đó. Tuy nhiên, sẽ luôn có một ai đó (hoặc một cái gì đó) 'biết' chính xác những gì các biến đang làm trong bất kỳ trường hợp cụ thể nào.

Sự vướng víu giữa các biến là như nhau, ngoại trừ phần cuối cùng. Sự ngẫu nhiên là thực sự ngẫu nhiên. Kết quả ngẫu nhiên là hoàn toàn không quyết định cho đến thời điểm đo lường. Nhưng bằng cách nào đó, các biến, mặc dù chúng có thể được phân tách bởi các thiên hà, vẫn biết đồng ý.

Vì vậy, điều này có nghĩa là gì để sửa lỗi? Hãy bắt đầu bằng cách suy nghĩ về sửa lỗi cho một chút đơn giản .

Khi lưu trữ một bit cổ điển, các loại lỗi bạn cần lo lắng là những thứ như lật bit và tẩy xóa. Vì vậy, một cái gì đó có thể làm cho bạn 0trở thành một 1, hoặc ngược lại. Hoặc bit của bạn có thể đi lang thang ở đâu đó.

Để bảo vệ thông tin, chúng tôi có thể đảm bảo rằng các bit logic của chúng tôi (thông tin thực tế chúng tôi muốn lưu trữ) không chỉ tập trung vào các bit vật lý đơn lẻ . Thay vào đó, chúng tôi trải rộng nó ra. Vì vậy, chúng ta có thể sử dụng một mã hóa lặp lại đơn giản, ví dụ, nơi chúng ta sao chép thông tin của mình qua nhiều bit vật lý. Điều này cho phép chúng tôi vẫn lấy thông tin của mình, ngay cả khi một số bit vật lý bị lỗi.

Đây là công việc cơ bản của sửa lỗi: chúng tôi truyền bá thông tin của mình ra, để làm cho các lỗi khó có thể gây rối.

Đối với qubit, có nhiều loại lỗi phải lo lắng hơn. Ví dụ, bạn có thể biết rằng các qubit có thể ở trạng thái chồng chất và các phép đo thay đổi những điều này. Do đó, các phép đo không mong muốn là một nguồn nhiễu khác, do môi trường tương tác với (và theo một nghĩa nào đó là 'nhìn vào' các qubit của chúng ta). Loại tiếng ồn này được gọi là trang trí.

Vậy điều này ảnh hưởng đến mọi thứ như thế nào? Giả sử chúng ta sử dụng mã hóa lặp lại với qubit. Vì vậy, chúng tôi thay thế trong trạng thái qubit logic mong muốn của chúng tôi bằng , lặp lại trên nhiều qubit vật lý và thay thế bằng . Điều này một lần nữa bảo vệ chống lại sự lật và xóa bit, nhưng nó thậm chí còn dễ dàng hơn cho các phép đo đi lạc. Bây giờ, môi trường đo xem chúng ta có hay bằng cách xem xét bất kỳ qubit nào. Điều này sẽ làm cho hiệu ứng trang trí mạnh mẽ hơn nhiều, đó không phải là điều chúng tôi muốn chút nào!| 000 ... 000 ⟩ | 1 ⟩ | 111 ... 111 ⟩ | 0 ⟩ | 1 $|0\rangle$$|000...000\rangle$$|1\rangle$$|111...111\rangle$$|0\rangle$$|1\rangle$

Để khắc phục điều này, chúng ta cần làm cho việc trang trí trở nên khó khăn khi làm xáo trộn thông tin qubit logic của chúng ta, giống như chúng ta đã làm cho nó khó khăn khi lật và xóa. Để làm điều này, chúng ta phải làm cho việc đo lường qubit logic của chúng ta trở nên khó khăn hơn. Tất nhiên, không quá khó mà chúng ta không thể làm điều đó bất cứ khi nào chúng ta muốn, nhưng quá khó để môi trường có thể thực hiện dễ dàng. Điều này có nghĩa là đảm bảo rằng việc đo một qubit vật lý duy nhất sẽ không cho chúng ta biết gì về qubit logic. Trong thực tế, chúng ta phải làm cho nó để đo toàn bộ qubit và kết quả của chúng so với trích xuất bất kỳ thông tin nào về qubit. Trong một số ý nghĩa, nó là một hình thức mã hóa. Bạn cần có đủ các mảnh ghép để có bất kỳ ý tưởng nào về bức tranh.

Chúng tôi có thể cố gắng làm điều này một cách cổ điển. Thông tin có thể được trải ra trong mối tương quan phức tạp giữa nhiều bit. Bằng cách xem xét đủ các bit và phân tích các mối tương quan, chúng ta có thể trích xuất một số thông tin về bit logic.

Nhưng đây không phải là cách duy nhất để có được thông tin này. Như tôi đã đề cập trước đây, cổ điển luôn có một ai đó hoặc một cái gì đó đã biết tất cả mọi thứ. Không quan trọng đó là người hay chỉ là các kiểu trong không khí gây ra khi mã hóa được thực hiện. Dù bằng cách nào, thông tin tồn tại bên ngoài mã hóa của chúng tôi và đây thực chất là một môi trường biết tất cả mọi thứ. Chính sự tồn tại của nó có nghĩa là sự trang trí đã xảy ra ở một mức độ không thể khắc phục.

Vì vậy, đó là lý do tại sao chúng ta cần vướng mắc. Với nó, chúng ta có thể che giấu thông tin bằng cách sử dụng các mối tương quan trong các kết quả ngẫu nhiên thực sự và không thể biết được của các biến lượng tử.

Sự vướng víu là một phần tự nhiên của thông tin lượng tử và tính toán lượng tử. Nếu nó không có mặt --- nếu bạn cố gắng làm mọi thứ theo cách mà sự vướng víu không phát sinh --- thì bạn sẽ không nhận được lợi ích gì từ tính toán lượng tử. Và nếu một máy tính lượng tử đang làm điều gì đó thú vị, nó sẽ tạo ra rất nhiều vướng mắc, ít nhất là một tác dụng phụ.

Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là sự vướng víu là "điều làm cho máy tính lượng tử đi". Sự vướng víu giống như các bánh răng quay của máy: không có gì xảy ra nếu chúng không quay, nhưng điều đó không có nghĩa là việc các bánh răng đó quay nhanh là đủ để khiến máy thực hiện những gì bạn muốn. (Sự vướng víu là một tài nguyên nguyên thủy theo cách này để giao tiếp , nhưng không phải là tính toán như mọi người đã thấy.)

Điều này đúng với việc sửa lỗi lượng tử cũng như tính toán. Giống như tất cả các hình thức sửa lỗi, sửa lỗi lượng tử hoạt động bằng cách phân phối thông tin xung quanh một hệ thống lớn hơn, đặc biệt là trong mối tương quan của một số thông tin có thể đo lường được. Sự vướng víu chỉ là cách thông thường trong đó các hệ lượng tử trở nên tương quan, do đó, không có gì ngạc nhiên khi một mã sửa lỗi lượng tử tốt sau đó liên quan đến rất nhiều vướng mắc. Nhưng điều đó không có nghĩa là cố gắng "bơm hệ thống của bạn đầy vướng víu", giống như một loại khí cầu helium, là một việc hữu ích hoặc có ý nghĩa để bảo vệ thông tin lượng tử.

Mặc dù sửa lỗi lượng tử đôi khi được mô tả một cách mơ hồ về sự vướng víu, quan trọng hơn là cách nó liên quan đến việc kiểm tra chẵn lẻ bằng cách sử dụng các 'quan sát' khác nhau. Công cụ quan trọng nhất để mô tả điều này là hình thức ổn định. Hình thức ổn định có thể được sử dụng để mô tả một số trạng thái có lượng vướng víu lớn, nhưng quan trọng hơn là nó cho phép bạn suy luận về các thuộc tính đa qubit ("quan sát") khá dễ dàng. Từ quan điểm đó, người ta có thể hiểu rằng sửa lỗi lượng tử có liên quan chặt chẽ hơn nhiều với vật lý nhiều cơ thể năng lượng thấp của người Hamilton, hơn là chỉ vướng víu nói chung.

Không có cổ điển tương đương với vướng mắc. Sự vướng víu có lẽ được hiểu rõ nhất bằng cách sử dụng ký hiệu Dirac (bra-ket).

Mỗi qubit có thể ở trạng thái (ket) hoặc trong tiểu bang | 1 ⟩ hoặc trong một chồng chất alpha | 0 ⟩ + beta | 1 ⟩ nơi α và β là những con số phức tạp mà thực hiện | alpha | 2 + | β | 2 = 1 . Nếu bạn có hai qubit, trạng thái cơ bản của hệ thống 2 qubit là | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ , | 0 ⟩ ⊗ $\left|0\right>$$\left|1\right>$$\alpha\left|0\right> + \beta \left|1\right>$$\alpha$$\beta$$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$\left|0\right> \otimes \left|0\right>$ , | 1 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ , và | 1 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ . Để đơn giản hóa ký hiệu, các nhà vật lý thường viết chúng là | 00 ⟩ , | 01 ⟩ , | 10 ⟩ , và | 11 ⟩ . Vì vậy, ở trong trạng thái | 01 ⟩ phương tiện mà qubit đầu tiên ở trạng thái | 0 ⟩ và qubit thứ hai ở trạng thái | 1 ⟩ .$\left|0\right> \otimes \left|1\right>$$\left|1\right> \otimes \left|0\right>$$\left|1\right> \otimes \left|1\right>$$\left|00\right>$$\left|01\right>$$\left|10\right>$$\left|11\right>$$\left|01\right>$$\left|0\right>$$\left|1\right>$

Bây giờ hãy xem xét sự chồng chất của loại . Điều này có nghĩa là qubit đầu tiên ở trạng thái | 0 ⟩ với xác suất | alpha | 2 và ở trạng thái | 1 ⟩ khác, trong khi các qubit thứ hai luôn luôn ở trạng thái ngược lại rằng một trong những đầu tiên là ở: Hai hạt bị vướng víu.$\alpha \left|01\right> + \beta \left|10\right>$$\left|0\right>$$|\alpha|^2$$\left|1\right>$

Điều không quan trọng là trong ví dụ này, các qubit bị vướng mắc xảy ra ở các trạng thái đối lập: Chúng cũng có thể ở cùng trạng thái và vẫn bị vướng. Điều quan trọng là nhà nước của họ không độc lập với nhau. Điều này đã gây đau đầu lớn cho các nhà vật lý bởi vì điều đó có nghĩa là các qubit (hoặc các hạt mang chúng) không thể đồng thời có các thuộc tính địa phương nghiêm ngặt và bị chi phối bởi một khái niệm gọi là chủ nghĩa hiện thực (phản ánh trạng thái của chúng là tài sản nội tại). Einstein nổi tiếng gọi là nghịch lý kết quả (nếu bạn vẫn cho rằng địa phương và chủ nghĩa hiện thực) là "hành động ma quái ở khoảng cách xa".

Sự vướng víu không có vai trò đặc biệt trong sửa lỗi lượng tử: Sửa lỗi phải hoạt động cho mọi trạng thái trong cơ sở tính toán (không có vướng mắc). Sau đó, nó tự động hoạt động cũng cho sự chồng chất của các trạng thái này (có thể là trạng thái vướng víu).

Đối với một loại mã nhất định được gọi là thuần túy , sự hiện diện của sự vướng víu là một yêu cầu cần và đủ để sửa lỗi lượng tử, nghĩa là sửa tất cả các lỗi ảnh hưởng đến một số hệ thống con nhất định.

Nhắc lại các điều kiện Knill-Laflamme cho mã sửa lỗi lượng tử để có thể phát hiện một tập hợp lỗi nhất định $\{E_\alpha\}$ : chọn bất kỳ cơ sở trực giao nào $|i_\mathcal{Q}\rangle$ rằng nhịp mã không gian. Sau đó, lỗi $E_\alpha$ có thể được phát hiện khi và chỉ khi

Lưu ý rằng $C(E_\alpha)$ là hằng số chỉ phụ thuộc vào lỗi cụ thể $E_\alpha$ , nhưng không phụ thuộc vào $i$ và $j$ . (Điều này có nghĩa là lỗi $E_\alpha$ ảnh hưởng đến tất cả các trạng thái trong không gian con mã theo cùng một cách). Trong trường hợp $C(E_\alpha) \propto \operatorname{tr}(E_\alpha)$ , mã nếu được gọi là thuần . Nhiều mã ổn định được xem là thuộc dạng này, tuy nhiên không phải mã toric của Kitaev.

$E_\alpha$$(d-1)$ $d$$\lfloor(d-1)/2\rfloor$

$d$$(d-1)$$E_\alpha \neq \mathbb{1}$$|v_\mathcal{Q} \rangle$

$(d-1)$$(d-1)$$|v_\mathcal{Q}\rangle$$(d-1)$

$E_\alpha$$d$$|v\rangle, |w\rangle$

$d$

$d$

Phụ lục: chúng tôi đã xem xét thêm câu hỏi này, chi tiết có thể được tìm thấy trong bài báo Mã lượng tử về khoảng cách tối đa và không gian vướng víu cao . Có một sự đánh đổi: mã lượng tử có thể sửa càng nhiều lỗi, càng phải vướng víu trong mọi vectơ trong không gian mã. Điều này có ý nghĩa, bởi vì nếu thông tin không được phân phối giữa nhiều hạt, môi trường - bằng cách đọc một vài qubit - có thể khôi phục thông điệp trong không gian mã. Điều này sau đó nhất thiết sẽ phá hủy thông điệp được mã hóa, do định lý không nhân bản. Do đó một khoảng cách cao cần vướng mắc cao.

Đây là một cách để suy nghĩ về vai trò của sự vướng víu trong các mã lượng tử mà tôi nghĩ là bổ sung cho phản ứng của Felix Hubers.

$|\Psi\rangle_{RQ}$$Q$$Q$$S_1,S_2,S_3$

Sau đó, có một cách suy nghĩ ngẫu nhiên về các điều kiện sửa lỗi (so với các điều kiện Knill-Laflamme đại số hơn). Cụ thể, nếu

$Q$$S_1S_2$

Sử dụng phương pháp entropic này để sửa lỗi, có những con đường khá trực tiếp để hiểu sự vướng mắc trong mã. Chẳng hạn, chúng ta có thể chứng minh rằng,

như sau. Đầu tiên chúng tôi viết ra thông tin lẫn nhau này theo định nghĩa của nó,

$X$$RS_1S_2S_3X$

$Q$$S_1S_2$$I(R:S_3X)=I(R:X)=0$

$2 \log d_R$$S_3$$S_1$$Q$$S_3$$Q$$S_3$$2\log d_R$$2\log d_R$$I(R:S_1S_3) - I(R:S_1)$

$I(R:S_1S_3) \geq 2\log d_R$$S_1S_3$$Q$$I(R:S_1)=0$$S(S_3) + S(S_3|X)$$I(S_1S_2:S_3)$