Tại sao chúng ta sử dụng bộ cổng tiêu chuẩn mà chúng ta làm?

Cổng được sử dụng điển hình được thiết lập cho tính toán lượng tử bao gồm các quẻ đơn Cliffords (Paulis, H và S) và Z được kiểm soát và / hoặc kiểm soát-Z.

Để vượt ra ngoài Clifford, chúng tôi muốn có các vòng quay qubit duy nhất. Nhưng nếu chúng ta đang ở mức tối thiểu, chúng ta chỉ cần tìm T (gốc thứ tư của Z).

Hình thức đặc biệt này của bộ cổng bật lên mọi thứ. Chẳng hạn như Thí nghiệm lượng tử p của IBM chẳng hạn.

Tại sao các cổng này, chính xác? Ví dụ, H thực hiện công việc ánh xạ giữa X và Z. S tương tự như công việc ánh xạ giữa Y và X, nhưng hệ số $-1$ cũng được giới thiệu. Tại sao chúng ta không sử dụng một Hadamard như đơn nhất $(X+Y)/\sqrt{2}$ thay vì S? Hoặc tại sao chúng ta không sử dụng căn bậc hai của Y thay vì H? Tất nhiên, nó sẽ tương đương về mặt toán học, nhưng nó có vẻ phù hợp hơn một chút như một quy ước.

Và tại sao cổng không đến Clifford của chúng ta là gốc thứ tư của Z? Tại sao không phải là gốc thứ tư của X hoặc Y?

Những quy ước lịch sử nào dẫn đến sự lựa chọn đặc biệt này của bộ cổng?

Bất cứ ai đã viết một bài báo và tự hỏi liệu họ có thể cải thiện ký hiệu, hoặc trình bày phân tích một chút khác biệt để làm cho nó thanh lịch hơn, quen thuộc với thực tế rằng các lựa chọn ký hiệu, mô tả và phân tích có thể là một tai nạn - được chọn không có động lực sâu sắc. Không có gì sai với nó, nó chỉ không có lý do chính đáng để trở thành một cách cụ thể. Trong các cộng đồng lớn của những người quan tâm nhiều hơn (có thể có lý do) với việc hoàn thành công việc thay vì đưa ra bức tranh sạch nhất có thể, điều này sẽ xảy ra mọi lúc.

Tôi nghĩ rằng câu trả lời cuối cùng cho câu hỏi này sẽ nằm dọc theo những dòng này: nó chủ yếu là một tai nạn lịch sử. Tôi nghi ngờ rằng có bất kỳ lý do nào được xem xét sâu sắc cho các bộ cổng như hiện tại, bất kỳ lý do nào được xem xét sâu sắc tại sao chúng ta nói về trạng thái Bell thường xuyên hơn nhà nước| Ψ-⟩=(|$\lvert \Phi^+ \rangle = ( \lvert 00 \rangle + \lvert 11 \rangle ) \big/ \sqrt 2$ .$\lvert \Psi^- \rangle = ( \lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle ) \big/ \sqrt 2$

Nhưng chúng ta vẫn có thể xem xét tai nạn xảy ra như thế nào, và liệu có điều gì chúng ta có thể tìm hiểu về cách suy nghĩ có hệ thống có thể dẫn chúng ta đến đó không. Tôi hy vọng rằng những lý do cuối cùng đến từ các ưu tiên văn hóa của các nhà khoa học máy tính, với cả những thành kiến ​​sâu sắc và hời hợt đóng vai trò trong cách chúng ta mô tả mọi thứ.

Một cuộc cải cách về bang Bell

Nếu bạn đồng ý với tôi, tôi muốn sống theo ví dụ của hai trạng thái Chuông và | Ψ - ⟩ làm ví dụ chỉ mang tính cách một ước cuối cùng tùy ý có thể xảy ra một cách tình cờ, một phần vì những thành kiến mà không có gốc rễ sâu toán học.$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$

Một lý do rõ ràng để thích qua | Ψ - ⟩ là cựu rõ ràng là đối xứng hơn. Khi chúng ta thêm hai thành phần cho | Φ + ⟩ , không có nhu cầu rõ ràng để bảo vệ lý do tại sao chúng tôi viết nó như chúng tôi làm. Ngược lại, chúng ta có thể dễ dàng xác định | Ψ - ⟩ = ( | 10 ⟩ - | 01 ⟩ ) /$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$ với dấu hiệu ngược lại, không có động lực tốt hơn hoặc xấu hơn so với sự lựa chọn| Ψ-⟩=(|01⟩$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 10 \rangle - \lvert 01 \rangle) \big/ \sqrt 2$$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle) \big/ \sqrt 2$ . Điều này làm cho nó cảm thấy như thể chúng ta đang có nhiều lựa chọn tùy ý hơn khi định nghĩa .$\lvert \Psi^- \rangle$

Ngay cả việc lựa chọn cơ sở cũng có phần linh hoạt trong trường hợp : chúng ta có thể viết | Φ + ⟩ : = ( | + + ⟩ + $\lvert \Phi^+ \rangle$ và có được trạng thái tương tự. Nhưng mọi thứ bắt đầu tồi tệ hơn một chút nếu bạn bắt đầu xem xét các bản địa| ±i⟩:=(|0⟩±$\lvert \Phi^+ \rangle := (\lvert ++ \rangle + \lvert -- \rangle)\big/\sqrt 2$ củatoán tửY: chúng ta có| Φ+⟩=(|+i⟩|-i⟩+|-i⟩|+i⟩) /$\lvert \pm i \rangle := (\lvert 0 \rangle \pm i \lvert 1 \rangle)\big/\sqrt 2$$Y$ . Điều này vẫn có vẻ khá đối xứng, nhưng rõ ràng là sự lựa chọn cơ sở của chúng ta đóng một vai trò không hề nhỏ trong cách chúng ta định nghĩa| Φ+⟩.$\lvert \Phi^+ \rangle = (\lvert +i \rangle\lvert -i \rangle + \lvert -i \rangle \lvert +i \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \Phi^+ \rangle$

Trò đùa là ở chúng tôi. Lý do tại sao có vẻ "đối xứng" hơn | Ψ - ⟩ là vì | Ψ - ⟩ là nghĩa đen tình trạng hai qubit đối xứng nhất, và điều này làm cho nó tốt hơn thúc đẩy hơn | Φ + ⟩ thay vì ít thúc đẩy. các | Ψ - ⟩ nhà nước là độc đáo antisymmetric trạng thái: trạng thái độc đáo đó là - $\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+\rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$-1$ eigenvector của hoạt động SWAP, và do đó liên quan đến thử nghiệm SWAP có kiểm soát để phân biệt trạng thái qubit, trong số những thứ khác.

• Chúng ta có thể mô tả lên đến một giai đoạn toàn cầu như ( | alpha ⟩ | alpha ⊥ ⟩ - | alpha ⊥ ⟩ | $\lvert \Psi^- \rangle$ cho nghĩa đen bất kỳ trạng thái qubit đơn| alpha$(\lvert \alpha \rangle \lvert \alpha^\perp \rangle - \lvert \alpha^\perp \rangle \lvert \alpha \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \alpha \rangle$ và nhà nước trực giao , có nghĩa là các thuộc tính mà làm cho nó thú vị không phụ thuộc vào sự lựa chọn của cơ sở.$\lvert \alpha^\perp \rangle$
• Ngay cả giai đoạn toàn cầu mà bạn sử dụng để viết trạng thái không ảnh hưởng đến định nghĩa về | Ψ - ⟩ lên đến hơn một giai đoạn toàn cầu. Điều tương tự không đúng với | Φ + ⟩ : như một bài tập cho người đọc, nếu | 1 ′ ⟩ = i | 1 ⟩ , sau đó là những gì ( | 00 ⟩ + | 1 ' 1 $\lvert \alpha^\perp \rangle$$\lvert \Psi^-\rangle$$\vert \Phi^+\rangle$$\lvert 1' \rangle = i \lvert 1 \rangle$ ?$(\lvert 00 \rangle + \lvert 1' 1' \rangle)\big/\sqrt 2$

Trong khi đó, chỉ là một trạng thái tối đa vướng vào không gian con đối xứng ba chiều trên hai qubit - không gian con của + 1 vector riêng của hoạt động SWAP - và do đó không còn phân biệt về nguyên tắc hơn, chẳng hạn, | Φ - ⟩ alpha | 00 ⟩ - | 11 ⟩ .$\lvert \Phi^+ \rangle$$+1$$\lvert \Phi^- \rangle \propto \lvert 00 \rangle - \lvert 11 \rangle$

Sau khi biết một hoặc hai điều về các trạng thái Bell, chúng ta thấy rõ rằng mối quan tâm của chúng ta đối với đặc biệt chỉ được thúc đẩy bởi một đối xứng trên bề mặt của ký hiệu, chứ không phải bất kỳ tính chất toán học thực sự có ý nghĩa. Nó chắc chắn là một sự lựa chọn tùy ý hơn | Ψ - ⟩ . Động lực rõ ràng duy nhất để thích | Φ + ⟩ những lý do xã hội học phải làm với tránh dấu hiệu trừ và đơn vị ảo. Và lý do chính đáng duy nhất tôi có thể nghĩ đến đó là về văn hóa: cụ thể, để giúp sinh viên tốt hơn hoặc các nhà khoa học máy tính.$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$

Ai đã đặt hàng CNOT?

Bạn hỏi tại sao chúng ta không nói nhiều hơn về . Đối với tôi câu hỏi thú vị hơn mà bạn cũng hỏi: chúng tôi nói rất nhiều vềH=(X+Z$(X + Y)\big/\sqrt 2$$H = (X + Z)\big/\sqrt 2$ , khi $\sqrt Y$ có nhiều điều giống nhau không? Tôi đã thấy cuộc đàm phán do nhà vật lý quang học thực nghiệm cho sinh viên, người thậm chí mô tả thực hiện $\sqrt Y$ trên trạng thái cơ bản tiêu chuẩn khi thực hiện cổng Hadamard: nhưng đó là $\sqrt Y$Cổng thực sự tự nhiên hơn đối với anh ta. Nhà điều hành cũng liên quan trực tiếp hơn đến các nhà khai thác Pauli, rõ ràng. Một nhà vật lý nghiêm túc có thể cho rằng điều đó gây tò mò rằng thay vào đó chúng ta sống rất nhiều trên Hadamard.$\sqrt Y$

Nhưng có một con voi lớn trong phòng - khi chúng ta nói về CNOT, tại sao chúng ta đang nói về CNOT, thay vì của người khác quấn cổng là đối xứng vào các yếu tố tensor của nó, hoặc tốt hơn là U = exp ( - i π ( Z ⊗ Z $\mathrm{CZ} = \mathrm{diag}(+1,+1,+1,-1)$$U = \exp(-i \pi (Z \otimes Z)/2)$cái nào liên quan chặt chẽ hơn với động lực tự nhiên của nhiều hệ vật lý? Chưa kể đến một đơn nhất như hoặc khác biến thể như vậy.$U' = \exp(-i \pi (X \otimes X)/2)$

Lý do, tất nhiên, là chúng tôi rõ ràng quan tâm đến tính toán hơn là vật lý mỗi se. Chúng tôi quan tâm đến CNOT vì cách nó biến đổi cơ sở tiêu chuẩn (một cơ sở được ưa thích không phải vì lý do toán học hoặc vật lý, mà vì lý do lấy con người làm trung tâm ). Cổng ở trên là hơi bí ẩn từ quan điểm của một nhà khoa học máy tính: nó không phải là rõ ràng trên bề mặt của nó nó là gì cho , và tồi tệ hơn, nó có đầy đủ các hệ số phức tạp icky. Và cánh cổng$U$ thậm chí còn tồi tệ hơn. Ngược lại, CNOT là một toán tử hoán vị, có đầy đủ 1 và 0, hoán vị cơ sở tiêu chuẩn theo cách rõ ràng có liên quan đến nhà khoa học máy tính.$U'$

Mặc dù tôi đang tạo ra một chút niềm vui ở đây, nhưng cuối cùng đây là những gì chúng tôi đang nghiên cứu tính toán lượng tử cho . Nhà vật lý có thể có cái nhìn sâu sắc hơn về hệ sinh thái của các hoạt động cơ bản, nhưng điều mà nhà khoa học máy tính quan tâm vào cuối ngày là làm thế nào những thứ nguyên thủy có thể được cấu thành thành các thủ tục dễ hiểu liên quan đến dữ liệu cổ điển. Và điều đó có nghĩa là không quan tâm quá nhiều đến sự đối xứng ở các mức logic thấp hơn, miễn là họ có thể có được những gì họ muốn từ các cấp thấp hơn đó.

Chúng tôi nói về CNOT vì đó là cánh cổng mà chúng tôi muốn dành thời gian suy nghĩ. Từ một cửa góc độ vật lý như và U $U$$U'$ như trên, trong nhiều trường hợp, các thao tác chúng ta sẽ nghĩ đến để hiện thực hóa CNOT, nhưng CNOT là điều chúng ta quan tâm.

Sâu, và không quá sâu, lý do để thích cổng Hadamard

Tôi hy vọng rằng các ưu tiên của các nhà khoa học máy tính thúc đẩy rất nhiều quy ước của chúng tôi, chẳng hạn như lý do tại sao chúng ta nói về , thay vì$(X + Z)\big/\sqrt 2$$\sqrt Y \propto (\mathbb 1 - i Y)\big/\sqrt 2$ .

Hoạt động của Hadamard đã hơi đáng sợ đối với các nhà khoa học máy tính chưa làm quen với lý thuyết thông tin lượng tử. (Cách nó được sử dụng nghe có vẻ không xác định và thậm chí nó sử dụng các số vô tỷ!) Nhưng một khi một nhà khoa học máy tính vượt qua sự hồi sinh ban đầu, cổng Hadamard có các thuộc tính mà họ có thể thích: ít nhất nó chỉ liên quan đến các hệ số thực, nó là tự đảo ngược và thậm chí bạn có thể mô tả hệ sinh thái của chỉ với các hệ số thực.$H$

Một cách mà Hadamard thường phát sinh là mô tả việc chuyển đổi giữa cơ sở tiêu chuẩn và 'the' cơ sở liên hợp | + ⟩ , | - ⟩ (có nghĩa là để nói, eigenbasis của X điều hành, như trái ngược với Y điều hành) - cái gọi là 'chút' và 'giai đoạn' căn cứ, đó là hai căn cứ liên hợp mà bạn có thể thể hiện chỉ sử dụng hệ số thực . Tất nhiên,$\lvert 0 \rangle, \lvert 1 \rangle$$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$$X$$Y$ cũng biến đổi giữa các cơ sở này, nhưng cũng giới thiệu một phép biến đổi không tầm thường nếu bạn thực hiện hai lần. Nếu bạn muốn nghĩ đến việc "chuyển đổi giữa hai cơ sở khác nhau mà bạn có thể lưu trữ thông tin", cổng Hadamard sẽ tốt hơn. Nhưng - điều này chỉ có thể phòng thủ được nếu bạn nghĩ nó đặc biệt quan trọng$\sqrt Y$

• một cổng biến đổi giữa cơ sở tiêu chuẩn và cơ sở rất cụ thể của | + ⟩ , | - ⟩ ;$H$$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$
• nếu bạn quan tâm cụ thể về việc có đơn hàng 2 .$H$$2$

Bạn có thể phản đối và nói rằng việc cân nhắc chuyển đổi giữa các cơ sở 'bit' và 'pha' là điều rất tự nhiên. Nhưng dù sao chúng ta cũng có được khái niệm về hai cơ sở cụ thể cho 'bit' và 'pha'? Lý do duy nhất tại sao chúng tôi độc thân là '' cơ sở giai đoạn, như trái ngược với ví dụ để | + I ⟩ , | - i ⟩ , là bởi vì nó có thể được thể hiện với chỉ hệ số thực sự trong cơ sở tiêu chuẩn. Đối với việc thích một nhà điều hành với đơn đặt hàng$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$$\lvert +i \rangle, \lvert -i \rangle$$2$, để phù hợp với khái niệm bật tắt, điều này dường như chỉ ra một sở thích cụ thể để xem xét mọi thứ bằng cách 'lật' thay vì thay đổi cơ bản có thể đảo ngược. Những ưu tiên này đánh vào lợi ích của khoa học máy tính.

$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$H$$\sqrt Y$$(X + Y)\big/\sqrt 2$

Đối số đường chéo

Nếu bạn là một nhà khoa học máy tính, một khi bạn có Hadamard và CNOT, tất cả những gì còn lại là để có được những giai đoạn phức tạp phiền phức được sắp xếp như một suy nghĩ sau. Những giai đoạn này là vô cùng quan trọng, tất nhiên. Nhưng chỉ cách chúng ta nói về các giai đoạn tương đối cho thấy một sự khó chịu với ý tưởng. Ngay cả việc mô tả cơ sở tiêu chuẩn là cơ sở 'bit', để lưu trữ thông tin, nhấn mạnh mạnh rằng bất kể 'giai đoạn' là gì, đó không phải là cách thông thường mà bạn sẽ xem xét việc lưu trữ thông tin. Các giai đoạn của tất cả các loại là một cái gì đó sẽ được xử lý sau khi kinh doanh 'thực sự' đối phó với cường độ của biên độ; sau khi đối mặt với thực tế là người ta có thể lưu trữ thông tin trong nhiều hơn một cơ sở. Chúng tôi hầu như không nói gì về các giai đoạn tương đối tưởng tượng hoàn toàn nếu chúng tôi có thể giúp đỡ.

$T \propto \sqrt[4]Z$$X$$Y$$\sqrt[4]X$$\sqrt[4]Y$

Và không phải là một khoảnh khắc quá sớm - bởi vì các nhà khoa học máy tính không thực sự quan tâm chính xác những gì các hoạt động nguyên thủy đang được sử dụng là ngay khi họ có thể biện minh chuyển sang một cấp độ cao hơn.

Tóm lược

Tôi không nghĩ rằng có khả năng có bất kỳ lý do thúc đẩy vật lý rất thú vị nào tại sao chúng ta sử dụng một bộ cổng cụ thể. Nhưng chắc chắn có thể khám phá những lý do thúc đẩy tâm lý tại sao chúng ta làm. Trên đây là một suy đoán theo hướng này, được thông báo bởi kinh nghiệm lâu dài.