Mục đích sử dụng Fidelity trong đo điểm chuẩn ngẫu nhiên

Thông thường, khi so sánh hai ma trận mật độ, và (chẳng hạn như khi là một triển khai thử nghiệm của một lý tưởng ), sự gần gũi của hai trạng thái này được đưa ra bởi độ trung thực của trạng thái lượng tử với sự không chung thủy được xác định là . $\rho$ $\sigma$ $\rho$ $\sigma$

F = t r (\sqrt{\sqrt{ρ} σ \sqrt{ρ}}),

$F = tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right),$

1 - F

$1-F$

Tương tự, khi so sánh mức độ thực hiện của một cổng với một phiên bản lý tưởng, độ trung thực trở thành trong đó là thước đo Haar trên các trạng thái thuần túy. Không có gì đáng ngạc nhiên, điều này có thể trở nên tương đối khó chịu để làm việc với.

F (U, \tilde{U}) = \int {[t r (\sqrt{\sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}} \tilde{U} | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\tilde{U}}^{†} \sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}}})]}^{2} d ψ,

$F\left( U, \tilde U\right) = \int\left[tr\left(\sqrt{\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}\tilde U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\tilde U^\dagger\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}}\right)\right]^2\,d\psi,$

d ψ

$d\psi$

Bây giờ, hãy xác định ma trận trong trường hợp ma trận mật độ hoặc khi làm việc với các cổng. Sau đó, các chỉ tiêu Schatten ¹ , chẳng hạn như , hoặc các chỉ tiêu khác, chẳng hạn như định mức kim cương có thể được tính toán. $M = \rho - \sigma$ $M = U - \tilde U$ $\| M\|_1 = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}\right)$ $\| M\|_2^2 = tr\left(M^\dagger M\right)$

Các chỉ tiêu này thường dễ tính ² hơn Fidelity ở trên. Điều làm cho vấn đề tồi tệ hơn là trong các tính toán điểm chuẩn ngẫu nhiên , sự không chung thủy thậm chí dường như không phải là một thước đo tuyệt vời , nhưng con số được sử dụng mỗi lần tôi nhìn thấy khi nhìn vào các giá trị điểm chuẩn cho bộ xử lý lượng tử. ³

Vì vậy, tại sao (trong) độ trung thực là giá trị đi để tính toán sai số cổng trong bộ xử lý lượng tử (sử dụng điểm chuẩn ngẫu nhiên), khi nó dường như không có ý nghĩa hữu ích và các phương pháp khác, như định mức Schatten, dễ tính toán hơn trên một máy tính cổ điển?

^{1 Chỉ tiêu p Schatten của $M$ là $\| M\|_p^p = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}^p\right)$}

^{2 tức là cắm mô hình tiếng ồn trên máy tính (cổ điển) và mô phỏng}

^{3 Chẳng hạn như QMX5 của IBM}

quantum-information randomised-benchmarking fidelity

— Mithrandir24601
nguồn

Nielsen và Chuang trong cuốn sách "Tính toán lượng tử và thông tin lượng tử" của họ có phần (Chương 9) về các thước đo khoảng cách cho thông tin lượng tử.

Đáng ngạc nhiên là họ nói trong Phần 9.3 "Kênh lượng tử bảo quản thông tin tốt đến mức nào?" rằng khi so sánh độ trung thực với chỉ tiêu theo dõi:

Phần lớn, sử dụng các thuộc tính của khoảng cách theo dõi được thiết lập trong phần cuối, không khó để tạo ra sự phát triển song song dựa trên khoảng cách theo dõi. Tuy nhiên, hóa ra độ trung thực là một công cụ dễ tính toán hơn và vì lý do đó, chúng tôi hạn chế xem xét dựa trên độ trung thực.

Tôi tưởng tượng đây là một phần lý do tại sao độ trung thực được sử dụng. Có vẻ như nó khá hữu ích như một thước đo tĩnh của khoảng cách.

Dường như cũng có những phần mở rộng tương đối đơn giản về độ trung thực đối với các quốc gia

F = \sum_{j} p_{j} F (ρ_{j}, E (ρ_{j}))^{2},

$F =\sum_j p_jF(\rho_j,\mathcal{E}(\rho_j))^2,$

$p_j$ xác suất chuẩn bị hệ thống ở các trạng thái và kênh quan tâm ồn ào cụ thể, . $\rho_j$ $\mathcal{E}$ $0\leq F\leq 1$

Ngoài ra còn có một phần mở rộng cho độ trung thực vướng víu, để đo lường mức độ bảo vệ kênh vướng víu. Theo một cách nào đó, trạng thái được cho là bị vướng vào thế giới bên ngoài theo một cách nào đó và thanh lọc trạng thái (hệ thống giả tưởng ), sao cho toàn trong sạch. Trạng thái chịu sự biến động trong kênh . Các số nguyên tố chỉ trạng thái sau khi áp dụng hoạt động lượng tử. là bản đồ sắc trên hệ thống . $Q$ $R$ $RQ$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{I}_R$ $R$

F (ρ, E) \equiv F (R Q, R' Q')^{2} = ⟨ R Q | (I_{R} \otimes E) (| R Q ⟩ ⟨ R Q |) | R Q ⟩

$F(\rho,\mathcal{E}) ≡ F(RQ,R′Q′)^2= ⟨RQ| \left(\mathcal{I}_R \otimes \mathcal{E}\right)\left(|RQ⟩⟨RQ|\right) |RQ⟩$

Có một số công thức xuất phát để đơn giản hóa các tính toán về độ trung thực và độ trung thực vướng víu cũng được đưa ra trong chương này.

Một trong những tính chất hấp dẫn của độ trung thực vướng víu là có một công thức rất đơn giản cho phép tính toán chính xác.

F (ρ, E) = \sum_{i} tr | (ρ E_{i}) |^{2}

$F(\rho,\mathcal{E})=\sum_i\operatorname{tr}|(\rho E_i)|^2$

trong đó 'phần tử hoạt động' thỏa mãn mối quan hệ hoàn chỉnh. Có lẽ ai đó khác có thể nhận xét về các triển khai thực tế hơn, nhưng đây là những gì tôi đã thu thập được từ việc đọc. $E_i$

Cập nhật 1: Re M.Stern

Đó là cùng một tài liệu tham khảo Nielsen và Chuang. Họ bình luận về điều đó bằng cách nói "Bạn có thể tự hỏi tại sao độ trung thực xuất hiện ở phía bên phải của định nghĩa là bình phương. Có hai câu trả lời cho câu hỏi này, một đơn giản và một phức tạp. Câu trả lời đơn giản là bao gồm cả thuật ngữ vuông này. Độ trung thực của nhóm có liên quan tự nhiên hơn với độ trung thực vướng víu, như được định nghĩa dưới đây. Câu trả lời phức tạp hơn là thông tin lượng tử hiện nay ở trạng thái sơ khai và không hoàn toàn rõ ràng định nghĩa 'chính xác' cho các khái niệm như thông tin như thông tin là gì Tuy nhiên, như chúng ta sẽ thấy trong Chương 12, độ trung thực trung bình và độ trung thực vướng víu dẫn đến một lý thuyết phong phú về thông tin lượng tử, khiến chúng ta tin rằng các biện pháp này đang đi đúng hướng,

Để trả lời câu hỏi thứ hai của bạn là tại sao không nhìn vào độ trung thực của , có một điểm hay được đề cập trong "Các biện pháp phân biệt giữa các trạng thái lượng tử" mà tôi nghĩ là ở PhysRevA nhưng có phiên bản arXiv ở đây . $\bar{\rho}$

Điểm họ đề cập trên pg 4, giả sử bạn có hai nhóm và xảy ra có cùng ma trận mật độ trung bình giống nhau, , sau đó là độ trung thực không thể phân biệt giữa chúng. $rho$ $\sigma$ $\bar{\rho}=\bar{\sigma}$ $F(\bar{\rho},\bar{\sigma})$

Cập nhật 2: Re Mithrandir24601 Vì vậy, một định nghĩa cho độ trung thực của cổng được thúc đẩy bằng cách suy nghĩ hành vi trong trường hợp xấu nhất của kênh , đối với trạng thái đầu vào đã cho. $\mathcal{E}$

F_{m i n} = min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩ ⟨ ψ |, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |)) \equiv min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F_{min}=\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle\langle\psi|,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))\equiv\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

Do tính đồng nhất trong cả hai đối số, bạn có thể giới hạn ở trạng thái thuần túy trong việc giảm thiểu này, sự tương đương trong phần thứ hai chỉ là ký hiệu.

Khi xác định cổng được triển khai tốt như thế nào, người ta cũng có thể nhìn vào trường hợp xấu nhất thực hiện cổng đơn nhất bằng kênh bằng cách xác định $U$ $\mathcal{E}$

F (U, E) = min_{| ψ ⟩} F (U | ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F(U,\mathcal{E})=\min_{|\psi\rangle}F(U|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

Trong công thức bạn đã đưa ra và bài báo bạn đã liên kết, họ tích hợp qua , với một biện pháp thích hợp . Điều này khiến tôi nghĩ rằng điều này nên được xem xét thay vì độ trung thực trung bình , mà bạn có thể tưởng tượng có thể hữu ích hơn trong các thử nghiệm thực tế, đặc biệt nếu bạn đang lặp lại thử nghiệm. Có lẽ không thể đạt được mức tối thiểu chính xác. $\psi$ $^*$ $\bar{F}(U,\tilde{U})$

Có một phiên bản arXiv của một bài báo ở đây bởi Michael Nielsen, nơi ông nói về độ trung thực của cổng trung bình.

Sự khác biệt duy nhất giữa độ trung thực cho một cổng và độ trung thực trung bình của một cổng được đề cập so với công thức bạn cung cấp ban đầu, là bình phương của dấu vết: bạn có. Như trong Bản cập nhật 1, một số người thích sử dụng làm độ trung thực hơn là , vì nó có thể được kết nối dễ dàng hơn với độ trung thực vướng víu. Tôi cần phải đọc thêm một chút về điều đó để bình luận đúng. $[\operatorname{trace}]^2$ $F^2$ $F$

( ) Ngoài ra : Tôi nghĩ gọi nó là 'biện pháp Haar' có thể gây hiểu lầm, tôi cũng đã thấy trong đó trên các tờ báo. Theo như tôi biết, không gian của các trạng thái thuần túy thường là về mặt tôpô , đối với một không gian hilbert chiều. Rõ ràng biện pháp họ sử dụng được kế thừa từ biện pháp haar trên bởi một thương số hoặc vì vậy tôi đã đọc ở đây: /physics//a/98869/41998 . $\,^*$ $\Bbb{CP}^n$ $n$ $U(n)$

— khoa
nguồn

Điều đó đưa ra một lời giải thích hợp lý về lý do tại sao nó có thể hữu ích cho các tiểu bang và một chút về độ trung thực vướng víu chắc chắn là thú vị, chắc chắn. Tuy nhiên, vấn đề tôi gặp phải là (theo bài viết này ) rằng làm điều tương tự cho các cổng chỉ không hoạt động theo cùng một cách. (trừ khi tôi thiếu thứ gì khác)

— Mithrandir24601

Bạn có thể đưa ra một tài liệu tham khảo cho sự trung thực của các bản hòa tấu mà bạn đề cập? Tại sao nó khác với độ trung thực của trạng thái hỗn hợp ?

\sum_{j} p_{j} ρ_{j}

$\sum_j p_j \rho_j$

— M. Stern

@ M.Stern Tôi đã chuyển nhận xét của mình sang bản cập nhật.

— khoa

@ Mithrandir24601 Xin lỗi vì trả lời chậm, tôi đã cố gắng tìm thời gian để đọc bài báo bạn liên kết và thời gian để viết phản hồi! Xem Cập nhật 2.

— sn Khoa

Về phần bạn, bạn đúng - tôi chỉ là một nhà vật lý lười biếng. Đó là (theo hiểu biết của tôi) là một biện pháp Haar, nhưng gọi nó là "biện pháp Haar đối với các quốc gia", vâng, không chính xác là tuyên bố chính xác nhất về mặt kỹ thuật từ trước đến nay ... Điều đáng lo ngại hơn một chút là arXiv hiện đang xuống cấp :(

— Mithrandir24601