Giới hạn vận tốc Lieb-Robinson

Giới hạn Lieb-Robinson mô tả cách các hiệu ứng được lan truyền qua một hệ thống do người Hamilton địa phương. Chúng thường được mô tả dưới dạng

| [A, B (t)] | \leq C e^{v t - l},

$\left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l},$ nơi

A

$A$ và

B

$B$ là các nhà khai thác được ngăn cách bởi một khoảng cách

l

$l$ trên mạng nơi Hamilton có (ví dụ như người hàng xóm gần nhất) tương tác cục bộ trên mạng đó, được giới hạn bởi một số sức mạnh

J

$J$ . Bằng chứng về ràng buộc Lieb Robinson thường cho thấy sự tồn tại của vận tốc

v

$v$ (điều đó phụ thuộc vào

J

$J$ ). Điều này thường thực sự hữu ích cho các thuộc tính ràng buộc trong các hệ thống này. Ví dụ, có một số kết quả thực sự tốt ở đây liên quan đến việc mất bao lâu để tạo trạng thái GHZ bằng cách sử dụng Hamiltonian láng giềng gần nhất.

Vấn đề mà tôi đã có là chứng minh là đủ generic rằng rất khó để có được một giá trị chặt chẽ vào những gì vận tốc thực sự là đối với bất kỳ hệ thống nhất định.

Để cụ thể, hãy tưởng tượng một chuỗi chiều qubit cùng bởi một Hamilton

\begin{matrix} (1) & H = \sum_{n = 1}^{N} \frac{B_{n}}{2} Z_{n} + \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{J_{n}}{2} (X_{n} X_{n + 1} + Y_{n} Y_{n + 1}), \end{matrix}

$H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1}$ trong đó

J_{n} \leq J

$J_n\leq J$ với mọi

n

$n$ . Ở đây

X_{n}

$X_n$ ,

Y_{n}

$Y_n$ và

Z_{n}

$Z_n$ đại diện cho một toán tử Pauli được áp dụng cho một qubit

n

$n$ nhất địnhvà

I

$\mathbb{I}$ ở mọi nơi khác. Bạn có thể đưa ra một giới hạn tốt (tức là càng chặt càng tốt) cho vận tốc Lieb-Robinson $v$ cho hệ thống trong biểu thức. (1)?

Câu hỏi này có thể được hỏi theo hai giả định khác nhau:

Các $J_n$ và $B_n$ đều cố định trong thời gian
Các $J_n$ và $B_n$ được phép thay đổi trong thời gian.

Cái trước là một giả định mạnh mẽ hơn có thể làm cho bằng chứng dễ dàng hơn, trong khi cái sau thường được bao gồm trong tuyên bố của giới hạn Lieb-Robinson.

Động lực

Tính toán lượng tử, và thông tin lượng tử nói chung, đi xuống để tạo ra các trạng thái lượng tử thú vị. Thông qua các công trình như thế này , chúng ta thấy rằng thông tin cần một khoảng thời gian nhất định để truyền từ nơi này sang nơi khác trong một hệ thống lượng tử trải qua quá trình tiến hóa do một người Hamilton như trong phương trình. (1) và các trạng thái lượng tử đó, chẳng hạn như trạng thái GHZ, hoặc trạng thái có thứ tự tôpô, mất một khoảng thời gian nhất định để sản xuất. Có gì kết quả hiện chương trình là một mối quan hệ rộng, ví dụ như thời gian cần thiết là $\Omega(N)$ .

Vì vậy, chúng ta hãy nói rằng tôi đưa ra một kế hoạch mà không chuyển giao thông tin, hoặc tạo ra một GHZ nhà nước vv trong một cách mà quy mô tuyến tính trong $N$ . Chương trình đó thực sự tốt như thế nào? Nếu tôi có một vận tốc rõ ràng, tôi có thể thấy hệ số tỷ lệ phù hợp chặt chẽ như thế nào trong sơ đồ của tôi so với giới hạn dưới.

Nếu tôi nghĩ rằng một ngày nào đó tôi muốn thấy là một giao thức được triển khai trong phòng thí nghiệm, thì tôi rất quan tâm đến việc tối ưu hóa các hệ số tỷ lệ này, không chỉ là chức năng mở rộng, bởi vì tôi có thể thực hiện giao thức càng nhanh thì càng ít cơ hội là cho tiếng ồn đi cùng và làm rối tung mọi thứ.

Thêm thông tin

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ Có một số tính năng hay của Hamiltonian này mà tôi cho rằng việc tính toán dễ dàng hơn. Cụ thể, Hamilton có cấu trúc không gian con dựa trên số lượng 1 trong cơ sở tiêu chuẩn (được cho là bảo toàn kích thích) và, thậm chí tốt hơn, phép biến đổi Jordan-Wigner cho thấy tất cả các thuộc tính của không gian kích thích cao hơn có thể được suy ra từ không gian con kích thích 1. Đây thực chất nghĩa là chúng ta chỉ cần làm toán trên $N\times N$ ma trận $h$ thay vì đầy đủ $2^N\times 2^N$ ma trận $H$ , nơi

h = \sum_{n = 1}^{N} B_{n} | n ⟩ ⟨ n | + \sum_{n = 1}^{N - 1} J_{n} (| n ⟩ ⟨ n + 1 | + | n + 1 ⟩ ⟨ n |) .

$h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}).$ Có một số bằng chứng cho thấy vận tốc Lieb-Robinson là

v = 2 J

$v=2J$ , chẳng hạn nhưở đâyvàở đây, nhưng tất cả đều sử dụng một chuỗi kết hợp gần giống nhau, có vận tốc nhóm

2 J

$2J$ (và tôi cho rằng vận tốc nhóm được kết nối chặt chẽ với vận tốc Lieb - Robinson). Nó không chứng minh rằng tất cả các lựa chọn khả năng của sức mạnh khớp nối có vận tốc bị giới hạn.

Tôi có thể thêm một chút nữa để tạo động lực. Xem xét sự tiến hóa thời gian của một kích thích duy nhất bắt đầu từ một đầu của chuỗi, $\ket{1}$ , và những gì biên độ của nó là cho đến ở đầu kia của chuỗi $\ket{N}$ , một thời gian ngắn $\delta t$ sau. Để đặt hàng đầu tiên trong $\delta t$ , đây là

⟨ N | e^{- i h δ t} | 1 ⟩ = \frac{δ t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} + O (δ t^{N}) .

$\bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}).$ Bạn có thể thấy các chức năng mũ mà bạn mong đợi ở ngoài trời của hình nón ánh sáng 'xác định bởi một hệ thống Lieb-Robinson, nhưng quan trọng hơn, nếu bạn muốn tăng tối đa biên độ đó, bạn nên đặt tất cả các

J_{n} = J

$J_n=J$ . Vì vậy, trong thời gian ngắn, hệ thống kết hợp đồng đều dẫn đến chuyển giao nhanh nhất. Đang cố gắng để thúc đẩy hơn nữa này, bạn có thể yêu cầu, như một chút kẹo mềm, khi có thể

\frac{t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} \sim 1

$\frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1$ Lấy lớn

N

$N$ giới hạn, và sử dụng công thức Stirling về việc dẫn thừa để

\frac{e t J}{N - 1} \sim 1,

$\frac{etJ}{N-1}\sim 1,$ điều này gợi ý một vận tốc tối đa khoảng

e J

$eJ$ . Gần, nhưng hầu như không nghiêm ngặt (vì các điều khoản bậc cao là không đáng kể)!

simulation performance many-body-systems

— DaftWullie
nguồn

Bạn đã tính được giới hạn LR tốt nhất từ các bằng chứng cho mô hình đó chưa? Làm thế nào để nó so sánh với vận tốc bạn trích dẫn?

— Norbert Schuch

Ok, tôi thừa nhận đây là một câu hỏi điện toán lượng tử, ít nhất là cách tôi diễn giải nó bây giờ: "Sự lựa chọn của

và

(chịu một số ràng buộc) mang lại vận tốc tối đa cho thông tin / trạng thái / ... chuyển khoản." --- Đây có phải là giải thích đúng?

J_{n}

$J_n$

B_{n}

$B_n$

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch Không hoàn toàn. Tôi muốn có thể nói rằng "Tôi đã đưa ra một bộ khớp nối đạt được một giao thức với một tỷ lệ nhất định. Giao thức đó được biết là bị giới hạn bởi giới hạn Lieb-Robinson. Tôi gần đến mức nào để bão hòa ràng buộc đó?" như một thước đo về tốc độ của giao thức của tôi.

— DaftWullie

@DaftWullie Vì vậy - bạn có thắc mắc: "Tôi gần tối ưu đến mức nào" hay "Tôi gần với một loại ràng buộc nào đó (lấy cái chặt nhất có thể)"?

— Norbert Schuch

@ user1271772 Đúng vậy.

B (t) = e^{- i H t} B (0) e^{i H t}

$B(t)=e^{-iHt}B(0)e^{iHt}$

— DaftWullie

Trước tiên, hãy để tôi trả lời câu hỏi chung làm thế nào để có được tốc độ Lieb-Robinson (LR) khá chặt chẽ khi bạn phải đối mặt với một mô hình mạng tương tác cục bộ chung, và sau đó tôi sẽ quay lại mô hình XY 1D trong câu hỏi của bạn, rất đặc biệt để có thể giải quyết chính xác.

Phương pháp chung

Phương pháp để có được ràng buộc chặt chẽ nhất cho đến nay (đối với mô hình tương tác tầm ngắn chung) được giới thiệu trong Ref1 = arXiv: 1908.03997 . Ý tưởng cơ bản là các chỉ tiêu thời gian chuyển mạch bất bình đẳng $\|[A_X(t),B_Y(0)]\|$ giữa các nhà khai thác địa phương tùy ý có thể bị chặn trên bởi giải pháp cho một tập hợp các đơn hàng đầu tiên tuyến tính phương trình vi phân sống trên đồ thị giao hoán của mô hình. Đồ thị giao hoán, như đã giới thiệu ở Sec.II A Ref1, có thể dễ dàng rút ra từ mô hình Hamilton $\hat{H}$ , Và được thiết kế để phản ánh các mối quan hệ nghịch đảo giữa các nhà khai thác địa phương khác nhau được trình bày trong . Trong các hệ thống bất biến dịch, này tập hợp các phương trình vi phân có thể dễ dàng giải quyết bằng một biến đổi Fourier, và một trên ràng buộc của tốc độ LR có thể được tính từ eigenfrequency lớn nhất sử dụng phương trình. (31) của Ref1 . Sau đây tôi sẽ áp dụng phương pháp này cho mô hình XY 1D làm ví dụ sư phạm. Để đơn giản, tôi sẽ tập trung vào trường hợp bất biến độc lập về thời gian và dịch thuật , $\hat{H}$ $\omega_{\max}(i\vec{\kappa})$ $|B_n|=B>0$ $|J_n|=J>0$ (giới hạn kết quả không phụ thuộc vào dấu hiệu của $B_n,J_n$ ). Đối với trường hợp dịch bất biến, phụ thuộc thời gian, bạn có thể giải phương trình vi phân bằng số (đây là một nhiệm vụ tính toán dễ dàng cho các hệ thống của hàng ngàn trang web) hoặc bạn có thể sử dụng giới hạn trên tổng thể $|J_n(t)|\leq J,~|B_n(t)|\leq B$ và tiếp tục sử dụng phương pháp dưới đây (nhưng điều này hơi thỏa hiệp kín so với phương pháp số).

Đầu tiên chúng ta vẽ biểu đồ giao hoán, như dưới đây. Mỗi toán tử trong Hamiltonian ( $X_{n}X_{n+1}$ , $Y_nY_{n+1}$ , $Z_n$ ) is represented by a vertex, and we link two vertices if and only if the corresponding operators don't commute (or, in the current case, anti-commute).
Then write down the differential equations Eq.(10) of Ref1:
$\begin{array}{rcl} {\dot{\bar{γ}}}_{α, n} & = & J [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n + 1} (t)] + B [{\bar{γ}}_{3, n} (t) + {\bar{γ}}_{3, n + 1} (t)], α = 1, 2, \\ {\dot{\bar{γ}}}_{3, n} & = & J \sum_{α = 1, 2} [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n} (t)] . \end{array}$ $\begin{eqnarray} \dot{\bar{\gamma}}_{\alpha,n}&=&J[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n+1}(t)]+B[\bar{\gamma}_{3,n}(t)+\bar{\gamma}_{3,n+1}(t)],~~\alpha=1,2,\nonumber\\ \dot{\bar{\gamma}}_{3,n}&=&J\sum_{\alpha=1,2}[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n}(t)]. \end{eqnarray}$
Fourier transforming the above equation, we have
$\frac{d}{d t} (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 J \cos k & 0 & B (1 + e^{i k}) \\ 0 & 2 J \cos k & B (1 + e^{i k}) \\ J (1 + e^{- i k}) & J (1 + e^{- i k}) & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) .$ $\begin{equation} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2J\cos k & 0 & B(1+e^{ik})\\ 0 & 2J\cos k & B(1+e^{ik})\\ J(1+e^{-ik}) & J(1+e^{-ik}) & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}. \end{equation}$ The eigenfrequencies are $2J\cos k,J\cos k\pm \sqrt{(J\cos k)^2+2BJ(1+\cos k)}$ . The LR speed is given by Eq.(31) of Ref1: $v_{LR} \leq min_{κ > 0} \frac{ω_{max} (i κ)}{κ} = Z_{\frac{B}{2 J}} J,$ $v_{\text{LR}}\leq \min_{\kappa>0}\frac{\omega_{\max}(i\kappa)}{\kappa} =\mathcal{Z}_{\frac{B}{2J}}J,$ where $Z_{y} \equiv min_{κ > 0} \frac{\cosh κ + \sqrt{\cosh^{2} κ + 4 y (1 + \cosh κ)}}{κ} .$ $\begin{equation}\label{eq:vLRFHWy} \mathcal{Z}_y\equiv \min_{\kappa>0}\frac{\cosh\kappa+\sqrt{\cosh^2\kappa+4y(1+\cosh\kappa)}}{\kappa}. \end{equation}$

Note: This bound diverges when $B/J\to \infty$ , while the physical information propagation speed stays finite. We can get rid of this problem by using the method in Sec. VI of Ref1. The result is $v_{\text{LR}}\leq 4\mathcal{X}_0 J$ in this limit, where $\mathcal{X}_y$ is defined as the solution to the equation $x\mathrm{arcsinh}(x)=\sqrt{x^2+1}+y$ .

Velocity bounds for some classic models

The above method is completely general. In case you are interested in more, I listed the velocity bounds for some classic models in the following table, obtained in a similar way. Notice that the LR velocity $v_{\text{LR}}$ is upper bounded by the smallest of the all the expressions listed (so in different parameter regions different expressions should be used). The function $F(J_x,J_y,J_z)$ is defined as the largest root of $x^3-(J_xJ_y+J_xJ_z+J_yJ_z)x-2J_xJ_yJ_z=0.$ All parameters are assumed positive (just take absolute value for the negative cases).

\begin{array}{cl} Model & v_{LR} \\ d -dimensional TFIM & 2 X_{0} \sqrt{d J h} = 3.02 \sqrt{d J h} \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩} X_{m} X_{n} + h \sum_{n} Z_{n} & 4 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 8.93 d J \\ 4 X_{0} d h = 6.04 d h \\ d -dimensional Fermi-Hubbard & 2 X_{\frac{3 U}{4 d J}} d J \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩, s =↑, ↓} (a_{m, s}^{†} a_{n, s} + H . c .) & 8 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 17.9 d J \\ + U \sum_{n} a_{n ↑}^{†} a_{n ↑} a_{n ↓}^{†} a_{n ↓} & Z_{U / J} J (d = 1) \\ 1D Heisenberg XYZ & 4 X_{0} F (J_{x}, J_{y}, J_{z}) \\ \hat{H} = \sum_{n} (J_{x} X_{n} X_{n + 1} + J_{y} Y_{n} Y_{n + 1} + J_{z} Z_{n} Z_{n + 1}) & 34.6 max {J_{x}, J_{y}} \end{array}

$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Model} & v_{\text{LR}} \\ \hline d\text{-dimensional TFIM} & 2\mathcal{X}_0\sqrt{dJh}= 3.02\sqrt{dJh} \\ \hat{H}= J\sum_{\langle mn\rangle} X_m X_{n}+h\sum_n Z_n & 4\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ \leq 8.93 d J \\ & 4\mathcal{X}_0dh = 6.04 d h \\ \hline d\text{-dimensional Fermi-Hubbard} & 2 \mathcal{X}_{\frac{3U}{4dJ}}dJ \\ \hat{H}=J\sum_{\langle mn\rangle, s=\uparrow,\downarrow} (a^\dagger_{m,s}a_{n,s}+\mathrm{H.c.}) & 8\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ\leq 17.9 d J \\ ~~+U \sum_n a^\dagger_{n\uparrow}a_{n\uparrow}a^\dagger_{n\downarrow}a_{n\downarrow} & \mathcal{Z}_{U/J}J~(d=1) \\ \hline \text{1D Heisenberg XYZ} & 4\mathcal{X}_0 F(J_x,J_y,J_z) \\ \hat{H}=\sum_n (J_x X_n X_{n+1}+J_y Y_n Y_{n+1}+J_z Z_n Z_{n+1}) & 34.6 \max\{J_x,J_y\}\\ \hline \end{array}$

As for how good these bounds are, I haven't investigated in general, but for the 1D TFIM at critical point $J=h$ , exact solution gives $v_{\text{LR}}=2J$ , while the above bound gives $2\mathcal{X}_0J\approx 3.02 J$ . Similarly, at the $U=0$ point of FH and the $J_x=J_y,J_z=0$ point of Heisenberg XYZ, the above bound are all larger than exact solution by a factor of $\mathcal{X}_0\approx 1.50888$ . [Actually at these special points the latter two are equivalent to decoupled chains of TFIM, as can be directly judged from their commutativity graph.]

Tighter bound for 1D XY by mapping to free fermions

Now let's talk more about the 1D XY model. As you noticed, it's exactly solvable by mapping to free fermions:

\hat{H} = \sum_{n} B_{n} (a_{n}^{†} a_{n} - 1 / 2) + \sum_{n} J_{n} (a_{n}^{†} a_{n + 1} + H . c .) .

$\hat{H}=\sum_nB_n(a_n^\dagger a_n-1/2)+\sum_n J_n(a_n^\dagger a_{n+1}+\mathrm{H.c.}).$ For general

B_{n} (t), J_{n} (t)

$B_n(t),J_n(t)$ you need to solve the free-fermion problem numerically, but let me mention two special cases that are analytically tractable.

$B_n(t)=B,J_n(t)=J$ are fixed and translation invariant. Then the exact solution is
$\begin{array}{rcl} a_{n} (t) & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- π}^{π} {\tilde{a}}_{k} e^{- i 2 J t \cos k} e^{i k x} d k \\ = & \sum_{m} J_{| n - m |} (2 J t) a_{m} (0), \end{array}$ $\begin{eqnarray}\label{eq:aisigmat} a_{n}(t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi \tilde{a}_{k}e^{-i2Jt\cos k }e^{ikx}d k\nonumber\\ &=&\sum_{m}\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt) a_{m}(0), \end{eqnarray}$ where $\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt)$ is the Bessel function of order $|n-m|$ . So the LR speed is $\color{red}{v^{\text{XY}}_{\text{LR}}=2J}$ .
$B_n,J_n$ are fixed in time but are completely random (quenched disorder). Then due to many-body localization (or Anderson localization in the fermion picture), information don't propagate in this system, so $v_{\text{LR}}=0$ . More rigorously, in arXiv:quant-ph/0703209, the following bound is proved for disordered case:
$[A_{X} (t), B_{Y} (0)] \leq c o n s t . t e^{- d_{X Y} / ξ},$ $[A_X(t),B_Y(0)]\leq \mathrm{const.}~ t ~e^{-d_{XY}/\xi},$ with a decelerating, logarithmic light cone $d_{XY}=\xi \ln t$ .

— Lagrenge
nguồn

Should I infer from what you say that for every

X Y

$XY$ model (including those without translation invariance) with

| J_{n} | \leq J

$|J_n|\leq J$ , that the velocity is

v_{L R}^{X Y} \leq 2 J

$v_{LR}^{XY}\leq 2J$ ?

— DaftWullie

@DaftWullie No, you can only use an overall upper bound for the parameters in the general method, since the general method always gives a bound that is strictly non-decreasing in the absolute value of any coefficient. The bound

2 J

$2J$ is obtained from the free-fermion exact solution, in which you cannot use an overall upper bound for parameters, and have to solve case by case. If the

B_{n} (t)

$B_n(t)$ is translation invariant, then you can set

B = 0

$B=0$ in the general method since the

B

$B$ term commute with

\hat{H}

$\hat{H}$ , and get

v_{LR} \leq 2 X_{0} J = 3.02 J

$v_{\text{LR}}\leq 2\mathcal{X}_0 J=3.02 J$ .

— Lagrenge

@DaftWullie Dear DaftWullie, if you think anything is still missing in my answer, or any point is still unclear, please let me know.

— Lagrenge

the answer looks potentially useful. I haven't had time to look at your paper yet (it may be a couple of weeks). Assuming I understand everything OK, that's the point I'll accept your answer.

— DaftWullie