Thay thế cho hình cầu Bloch để đại diện cho một qubit duy nhất

Để đại diện cho qubit đơn chúng tôi sử dụng một vector đơn nhất trong một không gian Hilbert có (một trong những) cơ sở trực chuẩn là .$|\psi\rangle$$\mathbb{C}^2$$(|0\rangle, |1\rangle)$

Chúng ta có thể vẽ bằng một quả bóng Bloch . Tuy nhiên, tôi thấy ký hiệu này khá khó hiểu, bởi vì các vectơ trực giao là phản đối không gian ( giải thích ngắn gọn trong câu hỏi Vật lý Stackexchange này ).$|\psi\rangle$

Bạn có biết bất kỳ biểu diễn đồ họa khác nhau cho một qubit không?

Trong liên kết có trong câu hỏi của bạn, về một câu hỏi khác được viết bởi user098876, "Tìm hiểu về quả cầu Bloch", Daniel đưa ra một nhận xét hữu ích:

"Vẽ các điểm trên quả cầu để biểu thị trạng thái của hệ hai cấp lượng tử không có nghĩa là bạn nên nghĩ về các điểm đó như các vectơ thực trong không gian 3D. - DanielSank 3 tháng 9 '15 lúc 20:17".

Giải thích đơn giản: Đó là một mặt phẳng hai mặt (hoặc hai mặt phẳng) được chiếu trên một mặt cầu.

"Tôi thấy ký hiệu này khá khó hiểu, bởi vì các vectơ trực giao là đối nghịch không gian ( giải thích ngắn gọn trong câu hỏi Vật lý Stackexchange này ). Bạn có biết cách biểu diễn đồ họa nào khác cho một qubit không?"

Có một số nỗ lực đang được tiến hành để cung cấp một đại diện tổng quát hơn kéo dài từ qubit đến qudits. Giải thích và biểu diễn này bằng cách sử dụng một hình cầu Majorana không quá khác biệt , nó vẫn là một hình cầu, nhưng có lẽ nó ít gây nhầm lẫn:

Đối với các qubit trên quả cầu Majorana, hãy xem: " N-qubit trạng thái như các điểm trên quả cầu Bloch ".

"Tóm tắt. Chúng tôi chỉ ra cách biểu diễn Majorana có thể được sử dụng để thể hiện trạng thái thuần túy của hệ thống qubit N ... Tóm lại, biểu diễn Majorana rất hữu ích khi các hạt spin- được nghiên cứu, trong khi cách biểu diễn thay thế thích hợp hơn khi Các trạng thái của hệ thống N -qubit được thảo luận. Bên cạnh việc giúp trực quan hóa các trạng thái N -qubit và cách chúng biến đổi trong các phép quay và các hoạt động khác, đại diện sau cũng có thể giúp xác định một số trạng thái N -bitbit đặc biệt , như đại diện Majorana đã làm trong bối cảnh của chất ngưng tụ Bose-Einstein. ".$S$$N$$N$$N$

Xem: " Đại diện Majorana, không gian qutrit Hilbert và triển khai NMR của cổng qutrit ":

Trang 1:

"Hình cầu Bloch cung cấp một đại diện cho các trạng thái lượng tử của một qubit đơn trên (một hình cầu đơn vị trong ba chiều thực), với các trạng thái tinh khiết được ánh xạ trên bề mặt và các trạng thái hỗn hợp nằm trong phần bên trong. Biểu diễn hình học này rất hữu ích trong cung cấp một hình dung về các trạng thái lượng tử và các biến đổi của chúng, đặc biệt trong trường hợp tính toán lượng tử dựa trên NMR, trong đó spin- 1$\mathcal S^2$$\frac{1}{2}$ từ hóa và biến đổi của nó thông qua các xung rf NMR được hiển thị trên hình cầu Bloch. Đã có một số đề xuất về biểu diễn hình học cho các hệ lượng tử cấp cao hơn, tuy nhiên, việc mở rộng một hình ảnh giống như hình cầu Bloch lên các vòng quay cao hơn không đơn giản. Một biểu diễn hình học đã được đề xuất bởi Majorana trong đó, một trạng thái tinh khiết của một spin '' được đại diện bởi '2sđiểm' trên bề mặt của một hình cầu đơn vị, được gọi là lĩnh vực Majorana.$s$$_s$

Đại diện Majorana cho hệ spin đã tìm thấy các ứng dụng rộng rãi như xác định pha spin hình học, đại diện cho N spinor bằng N điểm, biểu diễn hình học của các trạng thái vướng víu đa qubit, thống kê các hệ động lực lượng tử hỗn loạn và đặc trưng ánh sáng phân cực. Một qutrit duy nhất (hệ lượng tử ba cấp) có tầm quan trọng đặc biệt trong các sơ đồ tính toán lượng tử dựa trên qudit ( hệ thống lượng tử d -level). Một qutrit là hệ thống nhỏ nhất thể hiện các đặc tính lượng tử vốn có như ngữ cảnh, được phỏng đoán là một tài nguyên cho điện toán lượng tử . Có thể thực hiện tính toán lượng tử NMR qudit bằng cách sử dụng hạt nhân với spin s> 1$s$$N$$N$$d$$\frac{1}{2}$ hoặc có thể được mô hình hóa bằng hai hoặc nhiều spin kết hợp-$\frac{1}{2}$ hạt nhân. Trong tác phẩm này, chúng tôi sử dụng mô tả hình cầu Majorana của một qutrit duy nhất, trong đó các trạng thái của một qutrit được biểu thị bằng một cặp điểm trên một hình cầu đơn vị, để cung cấp cái nhìn sâu sắc về không gian trạng thái qutrit.

Trang 5:

Độ lớn của vectơ từ hóa → M | trong một tập hợp thuần túy của một qutrit đơn có thể giả sử các giá trị trong phạm vi [ 0 , 1 ] . Ngược lại, tập hợp thuần túy của một qubit luôn sở hữu cường độ đơn vị của vectơ từ hóa liên kết với nó$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$ . Hình ảnh hình học của vectơ từ hóa qutrit đơn được cung cấp bởi đại diện Majorana. Giá trị → M | phụ thuộc vào chiều dài của phân giác O O ' và những lời dối trá dọc theo $\vert-$$\vec{M}$$\vert$$OO'$$z$-axis và là bất biến luân phiên. Do đó, tương ứng với một giá trị nhất định về chiều dài của bộ chia, người ta có thể giả sử các quả cầu đồng tâm có bán kính thay đổi liên tục, có bề mặt là các bề mặt từ hóa không đổi. Bán kính của các mặt cầu này bằng → M | , khác nhau trong phạm vi [ 0 , 1 ] .$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$

Trang 10:

KẾT LUẬN

Một biểu diễn hình học của một qutrit được mô tả trong tác phẩm này, trong đó các trạng thái qutrit được biểu thị bằng hai điểm trên một hình cầu đơn vị theo đại diện Majorana. Một tham số hóa của các trạng thái qutrit đơn đã thu được để tạo ra các trạng thái tùy ý từ một họ một tham số của các trạng thái chính tắc thông qua hành động của các phép biến đổi . Vectơ từ hóa spin- 1 được biểu diễn trên hình cầu Majorana và các trạng thái được xác định là 'trỏ' hoặc 'không trỏ' tùy thuộc vào giá trị 0 hoặc không của từ hóa spin. Các phép biến đổi được tạo ra bởi tác động của S U ( 3 $SO(3)$$1$$SU(3)$máy phát điện cũng được tích hợp vào bức tranh hình học Majorana. Không giống như các qubit, sự phân rã của các cổng lượng tử một qutrit về các xung tần số vô tuyến không đơn giản và biểu diễn hình cầu Majorana cung cấp một cách để mô tả hình học các cổng này. Các quan sát chặt chẽ về động lực học của các điểm đại diện cho một qutrit trên quả cầu Majorana dưới tác động của các cổng lượng tử khác nhau đã được sử dụng để thu được các phân tách xung rf và các cổng đơn qutrit cơ bản được thực hiện bằng thực nghiệm sử dụng NMR.

QUẢ SUNG. 1. Một qutrit trên hình cầu Majorana được biểu thị bằng hai điểm và P 2 , được kết nối với tâm của hình cầu bằng các đường thẳng hiển thị màu đỏ và màu xanh lam. θ 1 , φ 1 là góc cực và phương vị tương ứng với điểm P 1 ( θ 2 , φ 2 là góc cho điểm P 2 ). (a) Roots của đa thức Majorana được hiển thị trong mặt phẳng z = 0 bởi các điểm P ' 1 và P ' $P_1$$P_2$$\theta_1$$\phi_1$$P_1$$\theta_2$$\phi_2$$P_2$$z = 0$$P'_1$$P'_2$, có phép chiếu lập thể làm phát sinh đại diện Majorana. Ba ví dụ được hiển thị tương ứng với biểu diễn Majorana của vectơ cơ sở qutrit đơn , ( c $(b)\;\vert+1\rangle$ và ( d $(c)\;\vert0\rangle$ . Một trong những điểm được hiển thị dưới dạng một vòng tròn rắn (màu đỏ), trong khi điểm khác được thể hiện bằng một vòng tròn trống (màu xanh).$(d)\;\vert-1\rangle$

Xem: " Đại diện Majorana của các quốc gia có độ xoáy cao hơn " (.PDF) của Wheeler (Trang web) hoặc " Chụp cắt lớp Wigner của các trạng thái lượng tử multispin ":

Nó trông như thế nào khi sử dụng Chụp cắt lớp - "Trong bài báo này, về mặt lý thuyết, chúng tôi phát triển sơ đồ chụp cắt lớp cho các chức năng hình cầu của các trạng thái lượng tử đa cực tùy ý. Chúng tôi nghiên cứu các sơ đồ thử nghiệm để tái tạo biểu diễn Wigner tổng quát của một toán tử mật độ đã cho (đại diện cho các trạng thái lượng tử hỗn hợp hoặc thuần nhất) ). "

So sánh điều đó với sự phức tạp của hình cầu Bloch được mô tả trong: " Biểu diễn hình cầu của các pha hình học ba đỉnh ". Hình dạng giống như tất cả cách bạn hình dung ra hình chiếu được sử dụng.

Đây là một hình ảnh ít bận rộn hơn:

Hãy nghĩ về quả cầu Bloch bị cắt làm đôi bởi một tờ giấy rất lớn. Ở cạnh của tờ giấy (vô cực), bất kỳ điểm nào trên đỉnh của tờ đều vẽ một đường thẳng đến (vô cực) trên cùng của quả bóng (phần dưới của quả bóng cho mặt dưới của tờ). Các điểm gần trung tâm của tờ giấy (trạng thái hỗn hợp) vẽ các đường thẳng đến tâm của hình cầu. Điều đó thể hiện khoảng cách lên đến vô cùng trên một quả bóng nhỏ, một qubit / qudit là hữu hạn nên giấy không quá lớn.

Bây giờ, vẽ các điểm trên giấy 2D, vẽ các đường từ giấy đến quả bóng, loại bỏ giấy và nhìn hoặc qua bóng rõ ràng để xem điểm cuối khác của đường.

Một lời giải thích chính xác và khó khăn hơn nhiều được đưa ra trong các liên kết ở trên.

Thêm vào những gì @pyramids truyền đạt trong câu trả lời của họ :

$\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$\alpha, \beta \in \Bbb{C}$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

$\Bbb{C}^2(\Bbb{R})$$n$$\Bbb{R}^n(\Bbb{R})$$4$$(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$.

$\alpha = a + i b$$a,b\in \Bbb{R}$$\beta = c + id$$c,d\in \Bbb{R}$ được thỏa mãn, hàm ý trạng thái của qubit sẽ là một điểm trênhình cầu 3.$|a+ib|^2+|c+id|^2=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$

$4$$2$$\alpha,\beta$$1$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

Bây giờ, sử dụng tọa độ Hopf, hãy nói:

$$\alpha = e^{i\psi}\cos(\theta/2)$$

$$\beta = e^{i(\psi+\phi)}\sin(\theta/2)$$

$\theta$$0$$\pi$$\psi$$\phi+\psi$$0$$\pi$

$\theta/2$$\theta$

$\psi,\phi,\theta$

$\phi$$\alpha$$\beta$$\psi$$\alpha,\beta$$\phi$$\psi$$\alpha,\beta$$|e^{i\varphi}|=1$$\varphi$$\psi$$\alpha,\beta$ những hậu quả không thể quan sát được thể chất $\alpha$$e^{i\psi}$

Vì vậy, chúng tôi kết thúc với:

$$\alpha = \cos(\theta/2)$$ $$\beta=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$$ $\theta$$0$$\pi$$\phi$$0$$2\pi$

$2$$3$$2$

Về mặt toán học, không thể giảm mức độ tự do hơn nữa, và vì vậy, tôi muốn nói rằng không có biểu diễn hình học "hiệu quả" nào khác của một qubit đơn hơn hình cầu Bloch.

_{Nguồn: Wikipedia: Bloch_Sphere}

Quả cầu Bloch trong lịch sử đã xuất hiện để mô tả các spin trong đó thực tế lên và xuống có thể được xem là song song (chống) chứ không phải (về mặt toán học) trực giao.

Bạn có thể tự nhiên (và có lẽ tự nhiên hơn!) Mô tả trạng thái của một qubit theo cách các trạng thái trực giao thực sự là trực giao. Sau đó, trạng thái 1 qubit thuần túy chiếm một điểm trên bề mặt của hình cầu 4 chiều.

(Thứ nhất, yêu cầu "điểm danh tiếng" là ngu ngốc - nhận xét này phải là một nhận xét về bài viết trước.)

Một qubit duy nhất ở trạng thái thuần có 2 bậc tự do thực sự, không phải 3, khi bạn thương lượng cả độ lớn và pha (nghĩa là chuẩn hóa phức tạp). Vì vậy, hầu hết các bề mặt hai chiều hợp lý có thể được sử dụng (ví dụ: hình cầu 2 mặt hoặc bất cứ thứ gì tương đương về mặt tôpô).

Tìm một đại diện hữu ích là một câu chuyện khác. Quả cầu Bloch có phần mở rộng tự nhiên cho các trạng thái hỗn hợp (có 3 bậc tự do), trong khi điều này dường như không phải là trường hợp khác ..