Có nghĩa là gì khi hai qubit bị vướng?

Tôi đã thực hiện một số nghiên cứu trực tuyến về các qubit và các yếu tố khiến chúng trở nên khét tiếng tức là cho phép các qubit giữ 1 và 0 cùng một lúc và một cách khác là các qubit có thể bị vướng víu để chúng có thể có dữ liệu liên quan trong chúng cho dù có bao xa chúng là (thậm chí ở hai phía đối diện của các thiên hà).

Trong khi đọc về điều này trên Wikipedia tôi đã thấy một số phương trình mà tôi vẫn khó hiểu. Đây là liên kết đến Wikipedia .

Câu hỏi:

1. Làm thế nào họ vướng vào nơi đầu tiên?

2. Làm thế nào để họ liên quan đến dữ liệu của họ?

Ví dụ đơn giản, giả sử bạn có hai qubit ở trạng thái xác định và | 0 ⟩ . Trạng thái kết hợp của hệ thống là | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ hay | 00 ⟩ ở tốc ký.$|0\rangle$$|0\rangle$$|0\rangle\otimes |0\rangle$$|00\rangle$

Sau đó, nếu chúng ta áp dụng các toán tử sau cho các qubit (hình ảnh được cắt từ trang wiki mã hóa siêu nặng ), trạng thái kết quả là trạng thái vướng víu, một trong những trạng thái chuông .

Đầu tiên trong hình ảnh, chúng ta có cổng hadamard hoạt động trên qubit đầu tiên, ở dạng dài hơn là để nó là toán tử nhận dạng trên qubit thứ hai.$H\otimes I$

Ma trận hadamard trông giống như trong đó cơ sở được đặt hàng{| 0⟩,| 1⟩}.

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $\{|0\rangle,|1\rangle\}$

Vì vậy, sau khi toán tử hadamard hoạt động, trạng thái bây giờ

$$(H\otimes I)(|0\rangle\otimes|0\rangle)=H|0\rangle\otimes I |0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes (|0\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle)$$

Phần tiếp theo của mạch là một cổng không được điều khiển, nó chỉ hoạt động trên qubit thứ hai nếu qubit đầu tiên là $1$ .

Bạn có thể đại diện cho là | 0 ⟩ ⟨ 0 | ⊗ Tôi + | 1 ⟩ ⟨ 1 | ⊗ X , ở đâu | 0 ⟩ ⟨ 0 | là một toán tử chiếu lên bit 0 hoặc ở dạng ma trận ( 1 0 0 0 ) . Tương tự | 1 ⟩ ⟨ 1 $CNOT$$|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$$|0\rangle\langle0|$$0$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle\langle1|$là .$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Chữ $X$ điều hành là các nhà điều hành chút lật biểu diễn dưới dạng .$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Nhìn chung, ma trận là ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0$CNOT$$\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\0 & 0 &1 & 0 \\\end{pmatrix}$

Khi chúng ta áp dụng chúng ta có thể sử dụng phép nhân ma trận bằng cách viết trạng thái của chúng ta dưới dạng một vectơ ( $CNOT$, hoặc chúng ta chỉ có thể sử dụng mẫu sản phẩm tenor.$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\0 \end{pmatrix}$

$$CNOT (\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle))=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$

Chúng tôi thấy rằng cho phần đầu tiên của nhà nước bit đầu tiên là 0 , vì vậy các bit thứ hai còn lại một mình; phần thứ hai của nhà nước | 10 $|00\rangle$$0$$|10\rangle$ bit đầu tiên là , vì vậy các bit thứ hai được quay ngược từ 0 để 1 .$1$$0$$1$

Trạng thái cuối cùng của chúng tôi là

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$ là một trong bốn tiểu bang Chuông mà là tối đa trạng thái vướng víu.

Để xem ý nghĩa của việc chúng bị vướng víu, hãy lưu ý rằng nếu bạn đo trạng thái của qubit đầu tiên, nếu bạn phát hiện ra rằng đó là thì ngay lập tức cho bạn biết qubit thứ hai cũng phải là 0 , bởi vì đó là khả năng duy nhất của chúng tôi$0$$0$

So sánh với trạng thái này chẳng hạn:

$$\frac{1}{2}(|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle).$$

Nếu bạn đo rằng qubit đầu tiên bằng 0, thì trạng thái sụp đổ thành , nơi vẫn còn một cơ hội 50-50 qubit thứ hai là một0hoặc1.$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|01\rangle)$$0$$1$

Hy vọng rằng điều này cho một ý tưởng làm thế nào các quốc gia có thể bị vướng mắc. Nếu bạn muốn biết một ví dụ cụ thể, như vướng víu photon hoặc electron, v.v., thì bạn sẽ phải xem xét cách thực hiện một số cổng nhất định, nhưng bạn vẫn có thể viết toán học theo cách tương tự, và 1 có thể đại diện cho những thứ khác nhau trong tình huống vật lý khác nhau.$0$$1$

---

Cập nhật 1: Hướng dẫn nhỏ về ký hiệu QM / QC / Dirac

Thông thường có một cơ sở tính toán tiêu chuẩn (ortho-normal) cho một qubit duy nhất là , nói H = khoảng { | 0 ⟩ , | 1 ⟩ } là không gian vector.$\{|0\rangle,|1\rangle\}$$\mathcal{H}=\operatorname{span}\{|0\rangle,|1\rangle\}$

Theo thứ tự cơ sở này, chúng ta có thể xác định với ( 1 0 ) và | 1 ⟩ với ( 0 1 ) . Bất kỳ toán tử qubit đơn nào sau đó có thể được viết dưới dạng ma trận sử dụng cơ sở này. Ví dụ: toán tử lật bit X (sau pauli- σ x ) sẽ lấy | 0 ⟩ ↦ | 1 ⟩ và | 1 ⟩ ↦ | 0 ⟩ , có thể được viết như sau ( 0 1 1 $|0\rangle$$\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle$$\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$$X$$\sigma_x$$|0\rangle\mapsto |1\rangle$$|1\rangle \mapsto |0\rangle$$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , cột đầu tiên của ma trận là hình ảnh của vectơ cơ sở đầu tiên, v.v.

Khi bạn có nhiều tiếng nói -qubits họ phải thuộc về không gian H ⊗ n : = n - t i m đ s ⏞ H ⊗ H ⊗ ⋯ ⊗ H . Một cơ sở cho không gian này được gắn nhãn bởi các chuỗi số không và số không, ví dụ | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ ⊗ ... ⊗ | 0 ⟩ , thường được viết tắt vì đơn giản như | 011 ... 0 ⟩ .$n$$\mathcal{H}^{\otimes n}:=\overbrace{\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}}^{n-times}$$|0\rangle\otimes|1\rangle\otimes |1\rangle\otimes\ldots \otimes|0\rangle$$|011\ldots0\rangle$

Một ví dụ đơn giản cho hai qubit, cơ sở cho , là { | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ , | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ , | 1 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ , | 1 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ } hoặc trong viết tắt { | 00 ⟩ , | 01 ⟩ , | 10 ⟩ $\mathcal{H}^{\otimes 2}=\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}$$\{|0\rangle\otimes|0\rangle,|0\rangle\otimes|1\rangle,|1\rangle\otimes|0\rangle,|1\rangle\otimes|1\rangle\}$ .$\{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\}$

Có nhiều cách khác nhau để sắp xếp cơ sở này để sử dụng ma trận, nhưng một cách tự nhiên là sắp xếp các chuỗi như thể chúng là các số ở dạng nhị phân như trên. Ví dụ: đối với qubit, bạn có thể đặt cơ sở là { | 000 ⟩ , | 001 ⟩ , | 010 ⟩ , | 011 ⟩ , | 100 ⟩ , | 101 ⟩ , | 110 ⟩ , | 111 ⟩ } $3$

$$\{|000\rangle,|001\rangle,|010\rangle,|011\rangle,|100\rangle,|101\rangle,|110\rangle,|111\rangle\}.$$

Lý do tại sao điều này có thể hữu ích là vì nó tương ứng với sản phẩm Kronecker cho ma trận của các nhà khai thác. Ví dụ, đầu tiên nhìn vào các vectơ cơ sở:

$$|0\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$

và

$$|0\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

và tương tự

$$|1\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\1\\0 \end{pmatrix},\quad |1\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

$X_1X_2:=X\otimes X$ , hoạt động trên hai qubit và chúng ta đặt hàng cơ sở như trên, chúng ta có thể lấy sản phẩm kronecker của ma trận để tìm ma trận trong cơ sở này:

$$X_1X_2=X\otimes X=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\ 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 0\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &0&0&1\\ 0 &0&1&0\\0 &1&0&0\\1 &0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

$CNOT$$|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$$^*$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$CNOT$

$2^n$$n$$8\times 8$$4$$16\times 16$

$^*$$|0\rangle$$\langle 0|$$\langle 0|1\rangle$$|0\rangle$$|1\rangle$$X=|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|$

$P_0=|0\rangle\langle0|$$P^2=P$$P^\dagger=P$

Mặc dù bài viết trên wikipedia được liên kết đang cố gắng sử dụng sự vướng víu như một đặc điểm khác biệt với vật lý cổ điển, tôi nghĩ người ta có thể bắt đầu hiểu được về sự vướng víu bằng cách nhìn vào những thứ cổ điển, nơi trực giác của chúng ta hoạt động tốt hơn một chút ...

Hãy tưởng tượng bạn có một trình tạo số ngẫu nhiên, mỗi lần, sẽ tạo ra một số 0,1,2 hoặc 3. Thông thường bạn sẽ tạo ra những xác suất như nhau, nhưng chúng ta có thể gán bất kỳ xác suất nào cho mỗi kết quả mà chúng ta muốn. Ví dụ: hãy đưa ra 1 và 2 cho mỗi xác suất 1/2 và không bao giờ cho 0 hoặc 3. Vì vậy, mỗi lần trình tạo số ngẫu nhiên chọn thứ gì đó, nó sẽ cho 1 hoặc 2 và bạn không biết trước điều gì sẽ xảy ra được. Bây giờ, hãy viết các số này thành nhị phân, 1 là 01 và 2 là 10. Sau đó, chúng tôi đưa từng bit cho một người khác nhau, nói Alice và Bob. Bây giờ, khi trình tạo số ngẫu nhiên chọn một giá trị, là 01 hoặc 10, Alice có một phần và Bob có phần khác. Vì vậy, Alice có thể nhìn vào bit của cô ấy, và bất cứ giá trị nào cô ấy nhận được, cô ấy biết rằng Bob có giá trị ngược lại. Chúng tôi nói rằng các bit này là hoàn toàn chống tương quan.

$$\left|\psi\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|01\right\rangle-\left|10\right\rangle\right)$$ $\left|\psi\right\rangle$

Sự khác biệt đến từ thực tế là điều này đúng với mọi cơ sở đo lường có thể, và trong trường hợp đó, kết quả đo phải không thể đoán trước được và đó là điểm khác với trường hợp cổ điển (bạn có thể muốn đọc về các bài kiểm tra Bell , cụ thể là kiểm tra CHSH ). Trong ví dụ về số ngẫu nhiên cổ điển mà tôi đã mô tả khi bắt đầu, một khi trình tạo số ngẫu nhiên đã chọn một cái gì đó, không có lý do gì nó không thể được sao chép. Ai đó sẽ có thể biết câu trả lời mà cả Alice và Bob sẽ nhận được. Tuy nhiên, trong phiên bản lượng tử, câu trả lời mà Alice và Bob nhận được không tồn tại là trước, và do đó không ai khác có thể biết chúng. Nếu ai đó biết họ, hai câu trả lời sẽ không hoàn toàn chống tương quan. Đây là cơ sở của Phân phối khóa lượng tử vì về cơ bản nó mô tả việc có thể phát hiện sự hiện diện của kẻ nghe trộm.

Một điều nữa có thể giúp ích trong việc cố gắng hiểu sự vướng víu: về mặt toán học, nó không khác gì sự chồng chất, chỉ là, đến một lúc nào đó, bạn tách các phần chồng lên nhau trong một khoảng cách lớn, và thực tế là điều đó có nghĩa là khó thực hiện việc tạo sự tách biệt cung cấp cho bạn một nguồn tài nguyên mà bạn có thể làm những điều thú vị. Thực sự, sự vướng víu là tài nguyên của cái mà người ta có thể gọi là 'chồng chất phân tán'.

Sự vướng víu là một hiện tượng vật lý lượng tử, được thể hiện trong các thí nghiệm thực tế, được mô hình hóa bằng toán học trong cơ học lượng tử. Chúng ta có thể đưa ra một vài suy đoán sáng tạo về nó là gì (về mặt triết học), nhưng vào cuối ngày, chúng ta chỉ cần chấp nhận nó và tin tưởng vào toán học.

Từ quan điểm thống kê, chúng ta có thể nghĩ về nó như một mối tương quan hoàn toàn (1 hoặc -1) giữa hai biến ngẫu nhiên (các qubit). Chúng tôi có thể không biết bất kỳ biến số nào có kết quả trước đó, nhưng một khi chúng tôi đo lường một trong số chúng, do mối tương quan, biến còn lại sẽ được dự đoán trước. Gần đây tôi đã viết một bài viết về cách vướng víu lượng tử được xử lý bởi một trình giả lập điện toán lượng tử, bạn cũng có thể thấy hữu ích.