Giá trị nguyên tối thiểu để làm cho hệ số lượng tử trở nên đáng giá là gì?

Chúng ta hãy giả sử rằng chúng ta có các máy tính lượng tử và cổ điển sao cho bằng thực nghiệm, mỗi hoạt động logic cơ bản của nhân tố toán học đều tốn thời gian như nhau trong cổ điển và trong nhân tố lượng tử: Giá trị nguyên nào thấp nhất mà tiến trình lượng tử nhanh hơn so với cổ điển một?

Phần lượng tử của thuật toán của Shor về cơ bản là một phép lũy thừa mô-đun duy nhất được thực hiện dưới sự chồng chất theo sau là một phép biến đổi Fourier và sau đó là phép đo. Các lũy thừa mô-đun là phần đắt nhất.

Chúng ta hãy giả sử rằng [...] mỗi hoạt động logic cơ bản của nhân tố toán học đều tốn thời gian như nhau trong cổ điển và trong nhân tố lượng tử

Nếu chúng ta giả sử rằng lũy ​​thừa mô-đun mất nhiều thời gian chính xác trên máy tính lượng tử như trên máy tính cổ điển, thì quá trình chuyển đổi nơi tính toán lượng tử trở nên tốt hơn sẽ xảy ra với số lượng rất thấp. Tính toán lũy thừa mô-đun là rất nhanh, kinh điển, bởi vì bạn có thể sử dụng bình phương lặp đi lặp lại. Tôi cực kỳ ước tính sự giao nhau xảy ra ngay cả trước khi bạn thậm chí có được số 30 bit (số hơn một tỷ).

Nhưng máy tính lượng tử sẽ không làm toán nhanh như máy tính cổ điển . Ví dụ, trên máy tính xách tay của tôi, tôi có thể thực hiện phép lũy thừa mô-đun 1000 bit trong python trong một phần của giây. Nhưng trên các máy tính lượng tử có thể thấy trước, sẽ mất hàng giờ hoặc nhiều ngày. Vấn đề là sự khác biệt lớn ( lớn ) trong chi phí của cổng AND.

$|T\rangle$

Vì vậy, giả sử chúng ta nhận được một triệu trạng thái T mỗi giây và chúng tôi muốn chuyển đổi trạng thái này thành tỷ lệ bổ sung 64 bit để so sánh với máy cổ điển. Một bổ sung 64 bit yêu cầu 64 cổng AND, mỗi cổng yêu cầu 4 cổng T. 1 triệu chia cho 4 chia cho 64 cho ... khoảng 4KHz. Ngược lại, một cỗ máy cổ điển sẽ dễ dàng thực hiện một tỷ lần bổ sung mỗi giây. Bộ cộng lượng tử chậm hơn một triệu lần so với bộ cộng cổ điển (một lần nữa, ước tính một cách điên cuồng và hãy nhớ rằng con số này sẽ được cải thiện theo thời gian).

Một yếu tố khác đáng xem xét là chi phí khác nhau của máy tính lượng tử và cổ điển. Nếu bạn có một trăm triệu đô la và bạn đang chọn giữa một máy tính lượng tử và một nghìn máy tính cổ điển, thì yếu tố 1000 đó phải được tính đến. Theo nghĩa này, chúng ta có thể nói các bộ cộng lượng tử có hiệu suất thấp hơn hàng tỷ lần so với các bộ cộng cổ điển (tính theo FLOPS / $).

Một hình phạt yếu tố không đổi của một tỷ thường là một công cụ thỏa thuận ngay lập tức. Và đối với các thuật toán lượng tử với một lợi thế bậc hai (như Grover), tôi cho rằng trên thực tế nó là một công cụ giải quyết thỏa thuận. Nhưng thuật toán của Shor trở nên tốt hơn theo cấp số nhân so với chiến lược cổ điển khi bạn tăng số lượng bit trong số thành yếu tố. Có bao nhiêu bit trước khi chúng ta ăn đi "hằng số" 10 ^ 9 với lợi thế tăng trưởng theo cấp số nhân của chúng ta?

Hãy xem xét rằng RSA-640 đã được trang bị vào năm 2005 bằng cách sử dụng ~ 33 năm CPU. Một máy tính lượng tử sẽ có thể thực hiện số đó dưới một ngày. Nếu bạn có một ngàn máy tính cổ điển giải quyết vấn đề, chúng sẽ hoàn thành sau khoảng hai tuần. Vì vậy, có vẻ như lượng tử đang chiến thắng 640 bit, nhưng chỉ bằng một thứ tự cường độ hoặc ba. Vì vậy, có thể việc cắt sẽ xảy ra ở đâu đó khoảng 500 bit?

Dù sao, tôi biết đây không phải là một câu trả lời khó và nhanh. Nhưng hy vọng tôi đã truyền đạt một số ý nghĩa về số lượng mà tôi sẽ nghĩ về khi so sánh cổ điển và lượng tử. Thực sự không ai biết các yếu tố liên tục được nêu ra, vì vậy tôi sẽ ngạc nhiên nếu có ai có thể đưa ra cho bạn một ước tính đúng đắn hơn là "đâu đó trong hàng trăm bit".

Như tôi đã đề cập trong các ý kiến, một câu trả lời rất chính xác có thể sẽ phụ thuộc vào rất nhiều lựa chọn kỹ thuật có phần tùy ý. Nó có thể là quan trọng hơn để có được một ước tính thứ tự độ lớn, và tính toán càng nhiều càng tốt trong việc thực hiện nó.

Câu trả lời này không nhằm mục đích trả lời dứt khoát, mà là một bước đi đúng hướng bằng cách tham khảo tài liệu hiện có (mặc dù đến nay đã được thừa nhận hơn một thập kỷ), cụ thể:

• Van mét, Itoh, và Ladd. Kiến trúc phụ thuộc thời gian thực hiện thuật toán của Shor . Proc. Siêu dẫn siêu âm + Điện tử học 2006; [ arXiv: quant-ph / 0507023 ]

Van Meter, Itoh và Ladd cố gắng so sánh hiệu suất của thuật toán của Shor với công nghệ điện toán có sẵn thực hiện Bộ sàng trường số (thuật toán cổ điển nổi tiếng nhất cho hệ số). Tôi chưa có thời gian để xem qua các chi tiết của bài báo - một câu trả lời vượt trội có thể có được bằng cách làm như vậy - nhưng Hình 1 của bài viết đó cho phép chúng tôi đưa ra ước tính số hợp lý:

Ở đây, các đường cong dốc biểu thị thời gian tính toán của các mạng máy tính cổ điển. Đường cong có nhãn 'NFS, 104 PC, 2003' dường như chỉ ra các tính toán (và thời gian tính toán dự kiến) của một trăm bốn máy tính cá nhân vào khoảng năm 2003, theo báo cáo của RSA Security Inc. vào năm 2004 [ http: //www.rsasecurance. com / rsalabs / node.asp? id = 2096] .

$n$$n \cdot v$$v$$2 \times 10^{11}$hoạt động mỗi giây. Một điểm chuẩn giả thuyết về thuật toán của Shor sẽ phải được thực hiện đối với một máy tính lượng tử hoạt động ở tốc độ xung nhịp tương đương.

$10^9$

• Mặc dù có lợi thế hoạt động mỗi giây của hệ số 200 trở lên, âm mưu cho biết khi nào việc triển khai NFS cổ điển 200 GHz này bị vượt qua bởi một máy tính lượng tử 1GHz thực hiện thuật toán của Shor (ở khoảng 200 chữ số) và bằng máy tính lượng tử 1 MHz ( ở khoảng 330 chữ số).
• Chúng tôi cũng có một đường cong dự kiến ​​hiệu suất "trong năm 2018", đại diện cho 1000 lần công suất tính toán cổ điển: các chặn với các máy tính lượng tử 1GHz và 1 MHz là ở số 350 bit và 530 bit.

Sự gia tăng các điểm giao nhau so với các tính toán lượng tử, từ tính toán năm 2003 đến dự kiến ​​vào năm 2018, đại diện cho mức tăng tốc độ xung nhịp 1000, là một hệ số khoảng 5/3. Từ đó, chúng ta có thể ước tính rằng lợi thế tính toán đến kích thước của các số có thể được giải quyết nhanh chóng bằng máy tính cổ điển, do tốc độ tăng của hệ số 200, là khoảng 7/6. Sau đó, chúng ta có thể ước tính rằng điểm giao nhau của một máy tính cổ điển 1GHz thực hiện NFS, với máy tính lượng tử 1GHz thực hiện thuật toán của Shor, là khoảng 170 bit.

Điểm mấu chốt - một câu trả lời chính xác sẽ phụ thuộc vào nhiều giả định kỹ thuật có thể thay đổi kết quả chính xác đáng kể, vì vậy tốt hơn là tìm kiếm một ước tính sơ bộ. Nhưng câu hỏi này đã được nghiên cứu ít nhất một lần trước đây và đưa ra một số giả định và ngoại suy về hiệu suất dựa trên hiệu suất cổ điển năm 2003, có vẻ như các thuật toán của Shor sẽ vượt trội hơn thuật toán cổ điển nổi tiếng nhất trên cơ sở hoạt động của các con số khoảng 170 bit.